Behavioral Classification Of Stochastic Differential Equations In Mathematical Finance - İzgi, Burhaneddin (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015)
Stokastik diferansiyel denklemlerden Heston stokastik volatilite, Merton-Black Scholes ve Merton sıçramalı difüzyon modellerinin çözümlerinin davranışları üzerine çalışılmıştır. Literatürde oldukça çok kullanılan Heston modeli 1993 yılında; Cox, Ingersoll ve Ross (CIR) tarafından faiz oranları için 1985 yılında yapılan CIR modelinden türetilmiştir. Her iki modelin uygulamalarında da sırasıyla varyans ve faiz oranlarının pozitifliligi için Feller'in 1951 yılında yayınlanan makalesinde ortaya koyduğu Feller koşulunun dikkate alınması gerekmektedir. Bir diğer model olan Merton-Black Scholes modeli ise Robert C. Merton tarafından 1960'ların sonu ve 1970'lerin başlarında geliştirilmiştir. İlk olarak ise Fisher Black ve Myron Scholes tarafından 1973 yılında yayınlanan makalelerinde kullanılmıştır. Bu model sayesinde 1997 yılında Ekonomi dalında Nobel ödülüne layık görülmüşlerdir. Ortaya konan difüzyon modeli her ne kadar yol gösterici olması açısından kullanışlı olsa da, literatürdeki uygulama sonuçlarından da görülebileceği gibi piyasalardaki ani fiyat değişimlerini yansıtmakta yeterli değildi. Bu yüzden Merton 1976 yılında Merton-Black Scholes modelini geliştirerek hisse senedi fiyatlarındaki sıçrama durumlarını da yansıtan Merton sıçramalı difüzyon modelini elde etmiştir. Bu modellerin bazı parametrelerinin çözümlere olan etkileri ele alınan yöntemler yardımıyla ayrıntılı olarak incelenmiştir. Simülasyon uygulamalarından değişik volatilite durumlarında, simülasyon yöntemlerinin birikimli hatalarından kaynaklanan etkilerinin olup olmadığını araştırmak için Heston stokastik volatilite modeli Euler-Maruyama, Milstein ve Stokastik Runge-Kutta metodalarıyla analiz edilmiştir. Hisse senedi piyasalarının değişik koşulları için Borsa Istanbul - 100 (BIST - 100) endeksinin dataları kullanılarak simülasyonlar yapılmıştır. Yapılan simülasyonlardan elde edilen sonuçlar gerçek datalarla karşılaştırılarak analiz edilmiştir. Heston stokastik volatilite modelinin uygulamasında başlangıç ve uzun vadeli volatiliteleri elde etmek için üst üste gelme durumlarındaki ekstremum değerler yöntemi kullanılmıştır. Ekstremum değerler yöntemiyle yaklaşık olarak elde edilen günlük volatiliteler de kullanılarak modelin avantajları ve limitleri araştırılmıştır. Ayrıca, matris normlarının genellemeleri olarak 3-boyutlu matrisler için norm tanımlamaları ve ilgili lemmaların da ispatları, Duran ve İzgi 2015, uygun nümerik lineer cebir ve analiz argümanları kullanılarak yapılmıştır. Daha sonra, 2-boyutlu ve 3-boyutlu hareketli matris tanımlamaları yapılmış olup, tanımlanan 3-boyutlu matris normlarının uygulaması olarak da piyasanın izlenim matris normu, hareketli matrisler üzerinde tanımlanmıştır, Duran ve İzgi, 2015. Bu normların gerek simülasyon gerekse gerçek datalarla yapılan uygulamaları ayrıntılı ve karşılaştırmalı olarak ele alınmıştır. Yapılan analizler ve incelemeler ışığı altında izlenim matris normunun kullanışlılığı da ortaya konulmuştur. Birçok disiplin dallarında ekstremum durumları anlamak ve olasılıklarının tahmininde bulunmak için ekstremum değer teorisi oldukça önemli rol üstlenmektedir. Finans, ekonomi, yer bilimi ve hidroloji gibi alanlar da bu teorinin uygulama alanlarından bazılarıdır. Finansal anlamda, ekstremum durumlar kayıp veya kazançların oldukça yüksek olabileceği durumlar olmasından dolayı, dikkate alınması ve incelenmesi gereken önemli noktalardan biridir. Bu yüzden Heston, Merton-Black Scholes ve Merton sıçramalı difüzyon modellerinin bazı parametrelerinin simülasyon sonuçlarındaki ekstremum durumlarına olan etkilerini incelemek için, uç nokta ve kalın kuyruk analizleri standartlaştırılmış ilk dört moment değerleri ve ekstremum değer teorisi araçlarından quantile quantile, ortalamayı aşan (mean excess) ve tepe (hill) grafikleri yardımıyla yapılmıştır. Bu metodlar kullanılarak BIST-100 endeksi için de uç nokta ve kalın kuyruk analizleri örneklendirilmiştir. Böylece gerçek dataların ekstremum durumlarındaki davranışları ile gerçek datalar kullanılarak elde edilen simülasyon sonuçlarındaki ekstremum durumlar karşılaştırılmıştır. Finans piyasaları dinamik olduğundan birden çok parametrenin birbirlerine göre etkilerini ve davranışlarını incelemek oldukça önemlidir. Bu yüzden modelleme ve simülasyonlar yapılırken ele alınan model parametrelerinin dinamiklerini kontrol altında tutmak zor ve gerekli işlemlerdendir. Bu sebepten ötürü Heston stokastik volatilite modeli ile yapılan simülasyonlarda; logaritmik hisse senedi getirisi, faiz oranı ve ortalamaya dönüş hızı dinamikleri 3-boyutlu olarak araştırılmıştır. Bu dinamiklerin birbirlerine olan etkileri 3-boyutlu grafikler yardımıyla da değişik market senaryoları için kapsamlı bir şekilde ayrı ayrı olarak ortaya konulmuştur. Ayrıca, dinamiklerdeki eş hareketlilik ve eş hareketlilikten zıt hareketliliğe geçişin ekstremum durumlarda önemli olduğuna inanılmaktadır. Bu yüzden, faiz oranı ve günlük BIST-100 endeks dinamiklerinin davranışlarını daha iyi anlamak için eş ve zıt hareketleri incelenmiştir. Heston modeli logaritmik hisse senedi getirisinin, faiz oranlarının artışına paralel olarak artacağını öngörmektedir. Aslında, Heston modelinin aksine yeterince geniş bir zaman aralığında faiz oranlarının düşerken gerek Amerikan hisse senedi piyasasının gerekse Borsa Istanbul endekslerinin arttığı gözlemlenmiştir. Bunun yanı sıra, gerçek piyasalarda karşımıza çıkan sıçrama durumlarını anlamak ve kontrol altında tutmak da yatırım stratejisi ve risk kontrolü için oldukça önemli ve gereklidir. Bu yüzden, Merton-Black Scholes modeli ile Merton sıçramalı difüzyon modelinin çözüm davranışları analiz edilerek, elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Özellikle, simülasyonlardan elde edilen logaritmik hisse senedi fiyat dağılımları incelenmiş olup, ilgili dağılımlar izlenim matris normu ve ekstremum değer teorisi kullanılarak analiz edilmiştir. Model parametrelerinin, sıçramalı stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözüm yöntemlerinden olan sıçrama uyumlu (jump-adapted) metodla elde edilen logaritmik hisse senedi fiyat dağılımına ve modellerin çözüm davranışlarına olan etkisi gösterilmiştir. İlgili analizler dahilinde Merton sıçramalı difüzyon modelinin Merton-Black Scholes modeline göre fiyatlardaki ekstremum durumlarını daha iyi yansıttığı gözlemlenmiştir. Merton sıçramalı difüzyon modelinin bu önemli özelliği dikkate alındığı takdirde yatırım stratejisi belirlenme aşamasında önemli olacağı kanaatine varılmıştır. Son olarak, Merton-Black Scholes modeli ile Merton sıçramalı difüzyon modelinin fiyat salınımları, sıçrama parametrelerinin etkilerini de yansıtan izlenim matris norm kullanılarak açık bir şekilde gösterilmiştir. İzlenim matris normunun simülasyon veya gerçek datalarla yapılan analizlerde sıçramaların varlığının belirlenmesinde alternatif bir araç olarak kullanılabileceği sonucu elde edilmiştir. Ayrıca izlenim matris normunun, sıçrama potansiyelinin olduğu tam olmayan marketlerdeki gerçek hisse senedi piyasalarında da hisse senedi fiyat salınımlarını ve davranışlarını anlamak için kullanışlı olacağı sonucuna varılmıştır.

We study the behavior of solutions for stochastic differential equations such as Heston stochastic volatility model, Merton-Black Scholes model and Merton's Jump Diffusion model. We examine the numerical solutions using Euler Maruyama, Milstein and stochastic Runge-Kutta methods when we analyze Heston stochastic volatility model to investigate whether there is a role of the methods for different volatility cases or not, related to the impact of cumulative errors on this application. We perform simulations for different stock market conditions by using the large data set from Borsa Istanbul-100 (BIST-100). We use volatilities in terms of extreme values at the overlapping case when we examine initial and long term volatilities for the application of the Heston model. While we explore strengths and limitations of Heston stochastic volatility model, Merton-Black Scholes model and Merton's Jump Diffusion model based on behavior of their numerical solutions, we suggest some model improvements in the light of the applications. Moreover, we introduce 3-dimensional matrix norms as generalizations of the matrix norms and prove the related lemmas, Duran and İzgi 2015, by using the applicable numerical linear algebra and analysis arguments. Furthermore, we define moving matrix for 2D and 3D matrices. Afterwards, we define market impression matrix norm as an application to the 3-dimensional matrix norms using moving matrices, Duran and İzgi, 2015. We can benefit from it to quantify market impression approximately by means of the numerical solutions for the stochastic differential equations. We analyze the simulation results for various parameters such that we perform high peak and fat-tail analysis for the impact of Heston, Merton-Black Scholes and Merton's jump diffusion models parameters' on the simulations of the extreme situations by using the first four standardized moments and extreme value tools such as quantile quantile (QQ), mean excess (ME) and Hill plots to examine the fat-tailness of the distributions. We also illustrate high peak and fat-tail analysis for BIST-100 index. On the other hand, we investigate 3D dynamics of the average logarithmic stock return, interest rate and speed of mean reversion variables, together. In addition, we believe that polarization and the transitions between polarizations and comovements are important part of extreme situation picture. Therefore, we investigate comovement and polarization of interest rates and daily returns of BIST-100 index in order to understand the corresponding behavioral dynamics. Heston stochastic volatility model predicts that the average logarithmic stock return increases as interest rate rises. Actually, we observe that there are also sufficiently large time intervals where interest rates were decreased and stock prices increased gradually in US stock markets and Borsa Istanbul, unlike the Heston stochastic volatility model suggests. Moreover, we analyze and compare the behavior of solutions for Merton-Black Scholes model and Merton's Jump Diffusion model. Especially, we focus on analyses of logarithmic stock price distributions obtained for these models using impression matrix norm and extreme value theory perspective. We achieved to present jump parameters' effects onto the behavior of solutions and also logarithmic stock price distributions using jump-adapted approximation method. Finally, we present price fluctuations for the Merton's jump diffusion and the Merton-Black Scholes models using impression matrix norm which reflects the effects of the jump parameters explicitly.
Matematiksel Finanstaki Stokastik Diferensiyel Denklemlerin Davranışsal Sınıflandırması
Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015
Thesis (Ph.D.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2015
Keywords: ekonomi; maliye; matematik; matematik; matematiksel analiz; matematiksel modelleme; matematiksel modeller; matris cebri; matris normları; nümerik analiz; sayısal analiz; sayısal çözüm; Stokastik yöntemler; economics; finance; mathematics; mathematical analysis; mathematical modelling; mathematical models; matrix algebra; matrix norms; numerical analysis; numerical solution; Stochastic methods