Mathematical Modeling Of Tumor Growth

Abstract

Bu çalışmada, tümörün damar içinde büyümesi incelenerek, sürekli ortamlar mekaniği temelleri üzerinden matematiksel bir modelleme yapılmıştır. Uygulanan modelin tutarlı olması adına denge denklemleri modele uygulanmıştır. Öncelikle kütlenin korunumu göz önünde tutulmuş ve büyümeden bağımsız olan deformasyon esnasında kütlenin korunduğu, büyüme de ise büyüme oranıyla arttığı gösterilmiştir. Ayrıca lineer momentumun korunumu yasası gereği oluşan koşullar belirlenip probleme uygulanmıştır. Sonrasında büyüme tensorü ve büyüme oranı arasındaki ilişki incelenmiş ve besin faktörlerininin iç enerjinin korunumu deklemini sağladığı gösterilmiştir. Bu verilerin ışığında oluşan bir takım denklemler ile tümör ve damar için uygun malzeme tipleri seçilmiştir. Tez kapsamında iki ayrı problem tipi incelenmiştir. İlk problemde tümör sıkışmaz olarak kabul edilen damarın içinde büyümektedir. Damarda deformasyon oluşmayacağı için tümör sadece Z doğrultusunda büyüme yapar ve gene Z doğrultusunda gerilme olmaz. Bu koşullardan elde edilen denklemlerden Z doğrultusunda oluşan deformasyon ile büyüme fonksiyonu arasındaki ilişki belirlenir. Yapılan hesaplamalarda değişik malzeme katsayıları verilerek oluşturulan bu ilişkide Z doğrultusunda oluşan deformasyonun büyümedeki artış ile üstel olarak arttığı gözlemlenir. İkinci problemde ise damar sıkışabilir kabul edilmiştir. Yani damarda da bir deformasyon gözlenecektir. Bu durumda hem tümör için hem damar için olan şekil değiştirme hem Z hem de R doğrultusunda olur. Sonuç olarak tümörün gelişiminin kandaki besin miktarına bağlı olan büyüme fonksiyonu ile doğru orantılı olduğu gösterilmiştir. Ayrıca damarın malzeme olarak sıkışabilir kabul edildiğinde ise seçilen bünye denklemlerinin tümörün R yönündeki şekil değişimi bileşenine ve Z yönünde olan şekil değişikliği bileşenine doğrudan kısıtlamalar getirdiği gözlenmiştir.

This thesis is a study for tumor growth within the framework of continuum mechanics. A mechanical model which splits volumetric growth and mechanical response into two separate contributions is applied to a tumor growing in a vessel where in one case the vessel is rigid and in the second case it is not rigid. The equations which construct the tumor growth problems are defined. The problems are analyzed with respect to the cylindrical coordinates. In the first problem, growth of a tumor in a rigid vessel is analyzed. Since the vessel is rigid, only tumor has a deformation and the deformation is only at Z direction. From the related equation, a relation between the growth tensor and deformation component at Z direction is obtained. It is shown that the axial displacement as elongation is increased as the growth tensor is increased. The displacement is an exponentially increasing function of growth. In the second example, the vessel is taken as a non-rigid elastic material. Since the cylinder can deform the equations are changed to different system. This differential equation is solved via Mathematica with the assumptions of the related material constants of the material and the growth rate and found that the displacement function of tumor at Z direction is a linear function under a restriction relation with the growth tensor, and deformation of the tumor.