Lognormal Karışımı Gölgeleme Modeli Ve Uygulamaları

Abstract

Alınan gücün ortalama değerinin etrafındaki değişimlerin yani gölgeleme etkisinin modellenmesi literatürde görece olarak az araştırılmış bir konudur. Gölgeleme etkisinin evrensel kabul gören modeli, değişimlerin lognormal rastlantı değişkeni olarak modellendiği lognormal gölgeleme modelidir. Ancak bu modelin eksikliği birçok çalışmada gösterilmiştir. Örnek olarak, kentsel mikrohücre ve makrohücre ölçümleri lognormal rastlantı değişkeni oluşturmak için gerekli sönümlemeye sahip olmayabilirler. Ayrıca varolan lognormal gölgeleme modeline göre standart sapma değeri alıcı-verici mesafesi arttıkça artması gerekirken birçok çalışma gölgeleme etkisinin standart sapma değerinin mesafeden bağımsız olduğunu ifade etmiştir. Bu eksiklikler varolan lognormal gölgeleme etkisi modelini geçersiz kılmaz ama bu modelin her zaman mükemmel sonuç vermeyeceğini gösterir. Bu yüzden Gamma ve Weibull gibi değişik rastlantı değişkenine sahip çeşitli gölgeleme modelleri de önerilmiştir. Bu modellerin oluşturulmasında sistem performans metrikleri için kapalı denklem çözümleri sunmaları önemli rol oynasa da bu modellerin oluşumu fiziksel süreçlere bağlı değildir ve teorik olarak önerilen modellerin fiziksel süreçlere bağlı olması oldukça önemlidir. Çoklu yansımaların lognormal dağılımı oluşturduğunun kabulü altında, bu tezde tekli lognormal dağılımın yetersizliğini çözmek amacıyla gölgeleme etkisi için genelleştirilmiş lognormal karışımı gölgeleme modeli önerilmiştir. Karışım modelleri makine öğrenmesinde sınıflandırma, olasılık yoğunluk fonksiyonu kestirimi ve imge bölütleme gibi birçok çalışma alanında kullanılmaktadır. Bu çalışmada önerilen lognormal karışımı gölgeleme modeli sayesinde gölgeleme etkisinin daha doğru modelleneceği iddia edilmiştir. Ayrıca gölgeleme etkisinin daha doğru modellemenin daha doğru (gerçeğe uygun) performans değerleri vereceği hizmet kesilme olasılığı ve hücresel kapsama alanı olasılığı analizleri kanıtlanmıştır. Önerilen lognormal karışım modelinin her gölgeleme etkisi koşulunda kullanılabileceğini göstermek amacıyla, herhangi bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun lognormal rastlantı değişkenleri karışımı şeklinde modellenebileceği gösterilmiştir. Karışım modelleri ile ilgili önemli konulardan biri de karışım modelini oluşturan dağılımların parametrelerinin bulunmasıdır. Bu çalışmada parametrelerin kestirimi için Dirichlet karışım süreci (Dirichlet process mixture-DPM) ve beklenti maksimizasyonu (expectation maximization-EM) algoritmaları kullanılmıştır. DPM algoritması, optimum bileşen sayısının bulunmasına dayanan bir tekniktir. DPM modelini bu çalışmada kullanabilmek için değişkenlerin aynı mesafe değerlerinde değişiklik göstermesi beklenmektedir. Bu çalışmada alınan güç değerleri aynı mesafe değerlerinde farklılık göstermektedir ve birbirlerinden bağımsız oldukları ispatlanmıştır. Dolayısıyla DPM modelinin karışım bileşenlerinin parametrelerinin kestiriminde kullanılması uygundur. EM algoritması ise uygulanması DPM modeline göre daha kolay olan bir yöntemdir. EM algoritması beklenti adımı (E-adım) ve maksimize adımı (M-adım) olmak üzere iki adımdan oluşan iteratif bir yöntemdir. Her iterasyonda, öncelikle E-adım ile başlayarak her veri noktası için herhangi bir bileşenin üyesine ait olma olasılıkları bulunur, daha sonra M-adım ile her sınıfın olasılık dağılımı fonksiyonuna ait parametre değerleri üretilir. Kabul edilebilir hata oranına yaklaşınca veya maksimum iterasyon sayısına ulaşıncaya kadar iterasyon devam eder. Önerilen lognormal karışımı gölgeleme modeli ile varolan lognormal, Gamma, Weibull gölgeleme modelleri iki ölçümsel veri seti kullanılarak karşılaştırılmıştır. Veri Seti I kentsel makrohücre ortamında oluşturulmuştur. GSM 900 bandında İstanbul Teknik Üniversite kampüsünde bulunan bir baz istasyonu kullanılarak alınan güç değerleri kaydedilmiştir. Veri setinin oluşturulmasında 940.51 Mhz frekansında 5 ayrı sabit ölçüm mesafesi kullanılarak toplamda 10000'in üzerinde alınan güç değeri kullanılmıştır. Ölçüm alınan baz istasyonunun boyu 6 metredir. Veri Seti II de kentsel makrohücre ortamında oluşturulmuş bir veri setidir. Almanya'da Ilmenau şehir merkezinde LTE bandında ölçüm yapılmıştır. 3 farklı baz istasyonundan 26250 görüş alanında olmayan ve 5391 görüş alanında olan alınan güç değerleri kullanılmıştır. Her iki veri seti için de karşılıklı ilinti fonksiyonları yardımıyla veri setindeki her alınan güç değerinin birbirinden bağımsız olduğu gösterilmiştir. Ayrıca mesafeye bağlı alınan güç saçılma grafiği de oluşturulmuştur. Bu çalışmada kullanılan iki veri setinin de gölgeleme etkisinin incelenmesi için uygun olduğu karşılıklı ilinti analizleriyle ve referanslarla belirtilmiştir. Önerilen lognormal karışımı gölgeleme modeli histogramının ve diğer aday modellerin histogramının gerçek verinin histogramına uyumluğunu belirlemek için Kolmogorov-Smirnov (K-S) uyum kalitesi testi kullanılmıştır. Oluşturulan histogram ile eldeki verinin histogramını hata metrikleri ile karşılaştırabilmek için bu testin yapılması gerekmektedir. K-S uyum kalitesi testi sonuçlarına göre oluşturulan tüm lognormal karışımı modellerinin ve diğer aday modellerin (lognormal, Gamma, Weibull) histogramının gerçek histograma uyumlu olduğu gösterilmiştir. Önerilen lognormal karışımı gölgeleme modelinin gerçek veriye uygunluk derecesi ortalama bağıl fark (mean relative difference-MRD), ağırlıklandırılmış ortalama bağıl fark (weighted mean relative difference-WMRD) ve KL uyumsuzluk hata metrikleri kullanılarak var olan lognormal, Gamma ve Weibull gölgeleme modelleri ile karşılaştırılmıştır. Literatürde sıklıkla kullanılan bu hata metrikleri, kestirilen olasılık yoğunluk fonksiyonu ile eldeki verinin olasılık yoğunluk fonksiyonu arasındaki farkı ölçmek için kullanılır. Bahsedilen hata metrikleri yardımıyla önerilen lognormal karışımı gölgeleme modelinin eldeki veriye uygunluğunun var olan diğer lognormal, Gamma ve Weibull gölgeleme modellerinden daha fazla olduğu doğrulanmıştır. Tez çalışmasının son bölümünde, hizmet kesilme olasılığı (p_(out)) ve hücresel kapsama alanı olasılığı (C(phi)) analizleri incelenmiştir. (p_(out)) ve (C(phi)) performansları gölgeleme etkisinin dağılımının özelliğinden doğruca etkilenmektedir. Önerilen lognormal karışımı gölgeleme modeli için hizmet (p_(out)) ve (C(phi))'nın matematiksel ifadeleri türetilmiştir. Ayrıca lognormal, Gamma ve Weibull modelleri için (p_(out)) ve (C(phi)) matematiksel denklemleri ifade edilmiştir. Oluşturulan teorik ifadeler benzetim sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Veri Seti I ve Veri Seti II yardımıyla oluşturulan benzetim sonuçlarına göre önerilen lognormal karışımı gölgeleme modeli diğer modellere göre gerçeğe çok daha yakın (p_(out)) ve (C(phi)) değerleri vermektedir. Ayrıca teorik oluşturulan modeller benzetim sonuçları ile uyuşmaktadır. (p_(out)) ve (C(phi)) analizlerinin yapılmasının amacı gölgeleme etkisini daha doğru modellemenin daha gerçekçi performans sonuçları vereceğini göstermektir.

Modeling the variations in the local mean received power, the shadow fading is a relatively understudied effect in the literature. The inaccuracy of the universally accepted lognormal model is shown in many works. However, proposing other statistical distributions, such as Gamma and Weibull, that are not stemmed from the natural underlying physical process, can not provide sufficient insights. Conceding the physical process of multiple reflections generating the lognormal distribution, in this thesis a generalised mixture model is proposed that can address the inaccuracies observed with a single lognormal distribution. In order to show that the lognormal mixture model can be used under any shadow fading condition, it is proven that an arbitrary probability density function can accurately be represented by a mixture of lognormal random variables. One of the main issues associated with mixture models is the determination of the mixture components. Here, two solutions are investigated; a Dirichlet process mixture based estimation technique that can provide the optimum number of components, and an expectation maximization algorithm based technique for a more practical implementation. The proposed lognormal mixture shadow fading model and existing different shadow fading models like lognormal, Gamma and Weibull are compared by using two real-life empirical datasets. The accuracy of the mixture model is verified with both confidence based and error vector norm based techniques. Concluding the thesis, the analysis associated with outage and cellular coverage probabilities are provided. Gamma, Weibull, lognormal, and the proposed lognormal mixture distributions for shadow fading model are investigated to determine outage and cellular coverage probabilities both empirically and theoretically. With the help of both theoretical and empirical results, it is verified that better fitting shadow fading models yield more realistic estimates.