Minimal yüzeylerin log-harmonik fonksiyonlarla karakterizasyonu

Abstract

Bu tez çalışmasının temel amacı izotermal parametrelerle verilen bir minimal yüzeyi yalınkat harmonik ve yalınkat log-harmonik fonksiyonlarla temsil etmek ve belirli tipteki minimal yüzeylerin Weierstrass-Enneper fonksiyonları ve Gauss eğriliği için genişleme teoremleri vermektir. Çalışma alanı olarak yalınkat log-harmonik fonksiyonlar seçilmiştir. Log-harmonik fonksiyonlar analitik ve ko-analitik iki fonksiyonun çarpımı şeklinde gösterilen ve genel anlamda logaritması harmonik olan fonksiyondur. Tez çalışması için yalınkat log-harmonik fonksiyonların bir alt sınıfı tanımlanmış ve bu sınıfta çalışılmıştır. İzotermal parametrelerle verilen minimal yüzeyler ele alınmış ve Weierstrass-Enneper gösterimi ve iyi bilinen minimal yüzey örnekleri verilmiştir. Bir minimal yüzeyin bir yalınkat harmonik dönüşümle temsil edilebilmesi için gerek ve yeter koşul verilmiştir ve bu fikir yalınkat log-harmonik fonksiyonlara genelleştirilmiştir. Bu fonksiyon sınıfında da harmonik dönüşümlerle benzer sonuçlara ulaşıldığı görülmüştür.

The aim of this thesis is to represent a minimal surface in isothermal parameters by univalent harmonic functions and univalent log-harmonic functions and to give growth theorem of Weierstrass-Enneper parameters and Gaussian curvature of a certain type of minimal surface. It is the well-known the connection between harmonic mappings and minimal surfaces. The connection arises from the fact that Euclidean coordinates of minimal surface are harmonic functions of isothermal parameters. The log-harmonic function is basically complex-valued function which has harmonic logarithm. Log- harmonic function can be represent as a multiplication of an analytic and co-analytic. function. The theory of log-harmonic mappings is relatively new compared to the theory of harmonic mappings. The studies which have been made in this theory are generally analogues of the studies have been for harmonic mappings. Main part of this study is the necessary and sufficient conditon for a minimal surface can be represented by univalent harmonic function and univalent log-harmonic function, also it is given a formula for Gaussian curvature of minimal surface lifted by log-harmonic mapping.