Quantum effects on conformally coupled scalars during inflation

Abstract

"Erken evrende küçük ölçekteki (kuantum) etkiler, bugünkü evrenimizi olus ̧turan büyük ölçek (kozmolojik) yapı olus ̧umunun temelini olus ̧turur", kozmolojik savından hareketle; bu tezde, evrenimizin bas ̧langıç zamanındaki bu küçük ölçekli etkilerin evren ivmelenerek genis ̧ledikçe evrenin dinamig ̆ine olan zamanla artan katkıları ile ilgilenildi. O halde, akla gelen ilk ifade, "enflasyonun bas ̧langıç zamanındaki bu kuantum etkilerinin kaynag ̆ının ne olabileceg ̆i hakkındadır". Birbirleriyle etkiles ̧mekte olan bazı parçacıklar bu kuantum etkilerinin nedeni olarak gösterilebilinir. Bahsedilen "bazı parçacıklar" ifadesi ise, bu tezde sunulan özel örnek için, "kütlesiz konformal bag ̆lanan skalerler (φ ̃)" ve "gravitonlar (hμν)" olarak atıflandırıldı. Özel olarak bu parçacıkların neden tercih edildig ̆inden bahsedilmesi gerekirse, s ̧u kısa açıklamanın yapılması yerinde olacaktır: Düz uzayda, sanal parçacıklar vakumda parçacık olus ̧umları üzerinde etkiye sahiptir. Planck zamanında bu etkinin yok olması gerektig ̆i için, etkiler uzun sürmez, kısıtlanır. ̇Ivmelenerek genis ̧leyen evren senaryolarından da bilineceg ̆i üzere, enflasyon zamanında vakumda sanal parçacıkların varolma zamanı kısıtsızdır. Uzay-zamanın bu genis ̧lemesinin hızı, artarak ivmelenmeye sahip s ̧ekilde ne denli gerçekles ̧iyorsa, etkisi de o denli kuvvetli olacaktır ve bu sanal parçacıklar konformal simetri özellig ̆ine sahipolmakzorundadeg ̆illerdir. Uzay-zamanınıngenis ̧lemesiile'Heisenberg'in enerji-zaman belirsizlik ilkesinin' (∆E ∆t > h ̄/2) deg ̆is ̧imi, sanal parçacıkların düz uzayda bulundug ̆undan daha uzun süre varolmasına imkân sag ̆lar. Buna ek olarak, sanal parçacıkların dig ̆er parçacıkları etkilemeleri için, vakumda sadece uzun süreli varolmaları yeterli olmaz, sıklıkla da varolmaları gerekir. Bu ise sanal parçacıkların birbirleriyle reaksiyona girme oranları ile belirlenir. Böylece,varolmasıklarınınartması,sanalparçacıklarındig ̆erparçacıklaraolanetkisini artırır. Konformal bag ̆lanan parçacıklar için reaksiyon hızı, parçacıkların olus ̧ma hızını azaltıcı etkiye sahiptir. Tüm bunların sonucu olarak, kütlesiz ve konformal etkiles ̧meyen parçacıklarla ilgilenilir. Bu özellig ̆e sahip çalıs ̧ılan iki özel parçacık ise kütlesiz minimal bag ̆lanan skalerler ve gravitonlardır. Enflasyon teorileri tarafından, bu parçacıklar sırasıyla, skaler pertürbasyonların ve tensör pertürbasyonların kaynakları olarak kabul edilirler. Yakın geçmis ̧te, Kozmik Arka Plan (CMB) güç tayfı ile kozmolojik pertürbasyonların gözlenmesinin gerçekles ̧ebilme düs ̧üncesi önem kazanmıs ̧tır. Bu gözlemlerin, kuantum kütle çekimsel gözlemlerin kaynag ̆ı olabileceg ̆ine dair ilk öngörüler ise, skaler pertürbasyonlar için Mukhanov ve Chibisov tarafindan 1981 yılında ve tensörler için Starobinsky tarafindan 1979 yılında ortaya atılmıs ̧tır. Her ne kadar kozmolojik tensörel pertürbasyon biles ̧enleri s ̧imdiye dek gözlemsel olarak haritalanmıs ̧ olmasa da, kozmolojik skaler pertürbasyon biles ̧enleri WMAP9 ve Planck ile haritalanmıs ̧tır. Fakat BICEP2'den gelen B-mod polarizasyon sonuçları, tensörel biles ̧enlerin görüntüsünün yakın gelecekte eldesi hakkında umut verici olmaktadır. Bu gözlemlenebilirler Kozmik Arka Plan (CMB) güç tayfı ile ön plana çıkmıs ̧tır. Bu tezde, yukarıda bahsedilen gravitonun kütlesiz konformal bag ̆lı skalerlerle olan etkiles ̧imi aras ̧tırıldı. Eg ̆er enflasyonu sürdüren skaler parçacık (inflaton), gravitona konformal bag ̆lı skaler parçacıksa, bunun fiziksel sonuçlarının da olması beklenir. Buraya dek kısaca deg ̆inildig ̆i gibi, bu tez için, kuantum kütle çekimsel etkilerin kaynag ̆ı olarak özel olarak "gravitonun, konformal skaler bag ̆lı parçacıklara" olan etkisi incelendi. Sırada ise, "bu iki parçacık arasındaki etkiles ̧imlerin kuantum seviyedeki katkılarının nasıl olabileceg ̆i" ile iligilenildi ve bu kuantum kütle çekimsel etkiles ̧imlerin katkılarına, efektif alan denkleminin çözüme kavus ̧turulması ile ulas ̧ılabileceg ̆i gösterildi. Bu tezde, eg ̆ri uzayda kuantum alan teorilerine özel hesaplama teknikleri uygulanıp oldukça uzun bir yol izlenerek efektif alan denkleminin çözümüne ulas ̧ıldıg ̆ı detaylı s ̧ekilde gösterildi. Sadece ilk seviye ilmek (tek-ilmek) Feynman diyagramları düzeltmeleri hesaplanarak kuantum kütle çekimsel katkı hesabı yapıldı. Hesaplamalarda ilk adımda, de Sitter enflasyon süresince konformal bag ̆lanan skaler- lerin, bu parçacıkların tamamiyle renormalize edilmis ̧ kendi karesi alınmıs ̧ kütleleri (−iM2(x;x′)) her bir etkiles ̧im (konformal-konformal etkiles ̧im, kinetik-kinetik etkiles ̧im, konformal-kinetik ve kinetik-konformal etkiles ̧im) için ayrı ayrı elde edildi. Bunun için, önce teoriyi veren lagrangian yog ̆unlug ̆undaki her terime ilmek saydırma parametresi (κ2 ≡ 16πG) cinsinden pertürbasyon açılımı uygulandı. Sonra ise tamamiyle renormalize edilmis ̧ kendi karesi alınmıs ̧ kütle hesaplanmasının yapılması için, tekniksel yöntem uygulandı. Kullanılan bu yöntem boyutsal regularizasyondur; burada, kars ̧ıt terimler yardımıyla hesaplarda yer alan sonlu terimler diverjanslıktan kurtarılır. Böylece elde edilen sonlu terimler, hesaplamaların gelecek adımında kullanımak üzere hazılanmıs ̧ olunur. Konformal-konformal etkiles ̧imler ile ilgili olan detaylı hesaplamalar ve elde edilen sonuçlar 2. Bölümde, kinetik-kinetik ve çapraz (konformal-kinetik ve kinetik-konformal) etkiles ̧imler ile ilgili yapılan detaylı hesaplamalar ve elde edilen sonuçlar ise 3. Bölümde sunulmaktadır. Tüm etkiles ̧imlerin toplam kendi karesi alınmıs ̧ kütleleri −iM2(x;x′) = −iM2(x;x′) + −iM2(x;x′) + −iM2 (x;x′), C K capraz s ̧eklinde ifade edilir. Burada C ve K sırasıyla konfromal ve kinetik etkiles ̧imleri simgeler. Bu iki bölüm, bu tezde yer alan ilk iki sıralı makale haline getirilmis ̧ ve yayınlanmıs ̧tır. I ̇kinci adımda ise, konformal bag ̆lı skalerlerin kendi karesi alınmıs ̧ kütleleri ile gravitonların etkiles ̧imleri için efektif alan denklemleri elde edildi. μν ̃ 1 ̃ ̃ 4′2 ′ ̃′ ∂μ −g ̃g ̃ ∂ν φ(x)−6φ(x)R − d xM (x;x)φ(x) =0. Bu tezde özel olarak as ̧ag ̆ıda da verilen Schwinger-Keldysh dog ̆rusal efektif alan denklemi kullanıldı. 2 ̃⃗ 0′ 3′2′ ̃′⃗ ∂ Φ1(x;k)− dη d xM1(x;x)Φ0(x;k) =0. ηi Burada ilk olarak, elde edilmis ̧ olan kendi karesi alınmıs ̧ kütle ifadesi ve konformal bag ̆lı scaler alan as ̧ag ̆ıdaki gibi yine ilmek saydırma parametresi cinsinden pertürbe edildi, ∞ M2(x;x′) = ∑κ2lMl2(x;x′), l=1 ∞∞⃗ Φ ̃(x;⃗k) = ∑κ2lΦ ̃l(x;⃗k)= ∑κ2lu ̃l(η,k)×eik·⃗x , l=0 l=0 ve ardından çes ̧itli integral çözme teknikleri uygulanarak, denklem fiziksel zamanda çözümü olan mod fonksiyonlarına (u ̃l(η,k)) konformal bag ̆lı skalerler için kavus ̧turuldu. Görüldü ki, kuantum düzeltilmis ̧ mod fonksiyonları fiziksel zamana bag ̆lı olarak büyüme davranıs ̧ı sergiliyor ve evrenin geç zaman diliminde ölçek faktörünün logaritmik olarak büyümesi ile orantılı olan bir davranıs ̧a sahip. Sonuç olarak, bu tezde tek-ilmek düzeltme hesabının çözümünde pertürbatif yöntemle gerçekles ̧en hesaplamaların yetersiz kaldıg ̆ı ve pertürbatif olmayan yeni hesaplama tekniklerine ihtiyaç duyuldug ̆u belirtildi. Bununla ilgili gereken detaylı hesaplamalar ve elde edilen sonuçlar 4. Bölümde sunulmaktadır. Bu bölüm, bu tezde sıralamadaki üçüncü makale olarak yer alır ve yayınlanmıs ̧tır. Son olarak, ilmek düzeltmelerinin ilkel Gaussyen olmayan Kozmik Mikrodalga Arkaplan'a (CMB) etkileri 5. Bölümde incelendi. Tek-ilmek düzeltmesi için özetle gösterildi ki, kuantum düzeltmelerin Kozmik Mikrodalga Arkaplan da olabileceg ̆i muhtemel en iyi yeri olarak, Gaussyen olmayan yerin olması gerektig ̆i ve bu yerin mod fonksiyonunun zamana bag ̆lı türevi ile ilis ̧kili olarak elde edilebileceg ̆i bölge oldug ̆u sunuldu. Sıfırıncı mertebede kuantum düzeltmelerinin katkıları neredeyse kaybolurken, birinci ile birlikte dig ̆er üst mertebelerden gelen katkıların, sıfırıncı mertebe ile kars ̧ılas ̧tırıldıg ̆ında hiç de küçük olmadıg ̆ı görüldü. Dahası Gaussyen olmayan gözlemlerin büyük deg ̆erlerinin kaynag ̆ının tek skaler alan parçacık örneg ̆i olan inflaton olabileceg ̆i gösterildi. Gaussyen olmayan gözlemlerin bu büyüklük deg ̆erleri için ölçüt olarak, en azından otuz mertebesindeki büyüklüg ̆e sahip Gaussyen olmayan büyüklük sınır as ̧ımının alınması gerektig ̆i sunuldu. Bu bölüm, bu tezde dördüncü makale haline getirilmis ̧ ve yayınlanmıs ̧tır. Tüm elde edilen sonuçların özeti ve gelecek çalıs ̧malar hakkındaki öneriler 6. Bölümde verilmis ̧tir. Böylece, bu tezde hedeflenen, enflasyon süresince kuantum kütle çekimi etkilerinin detaylı s ̧ekilde görülmesi; bunlar için yapılan hesaplamalar ve bu hesapların gözlemlenebilir parametrelere olan katkıları sunulmus ̧tur.

The effects arising from the small (quantum) scale in the early universe help us to understand large (cosmological) scale structure formation in today's universe. Throughout this thesis, we are interested in these small scale effects in the early universe. First of all, we search to find the answer to the fundamental question "What is the source of these quantum effects?" in this thesis. The answer to this question is given by the particular example, the interactions between the "massless conformally coupled scalars (φ ̃)" and "gravitons (hμν)" in the early universe which lead to quantum effects. The reason for the particularly choice of these two particles can be summarized as: The quantum effects stem from the particles created in vacuum. In flat space, virtual particles affect on these particles created in vacuum. These effects of virtual particles diminish and finally disappear at the Planck time. But the expansion of curved space-time alters 'Heisenberg's energy-time uncertainty principle' (∆E ∆t > h ̄/2), allowing virtual particles to survive longer than in flat space. The reaction rate of interacted virtual particles increase in the expanding space-time if these particles are massless and conformally non invariant. In inflation scenarios, the expansion of curved space-time can lead to particle creation by increasing the existence time of virtual particle pairs in vacuum. If the expansion is accelerated, the effect is strongest and the virtual particles are massless and do not possess conformal symmetry. Therefore, the well known examples of the kind of these particles are massless, minimally coupled (MMC) scalars and gravitons in the literature. They can mediate large quantum effects during inflation. Also, the named as cosmological perturbations as firstly quantum gravitational observables that were predicted by Mukhanov and Chibisov at 1981 for the scalar part and by Starobinsky at 1979 for the tensor part. The MMC scalars and gravitons are the source of scalar (WMAP9, Planck) and tensor perturbations (B-mode polarization), respectively, predicted by inflationary theories. The observables from these cosmological perturbation came into prominence via Cosmic Microwave Background (CMB) power spectrum. In this thesis, the interaction between particularly "massless conformally coupled scalars" and "graviton" is taken as the source of the quantum effects during inflation and these effects are calculated as the corrections coming from the first order level. In order to analyze these effects, the effective field equation are solved. In Chapters 2. and 3., the calculations of leading order quantum gravity corrections from these interactions are detaily given in de Sitter inflation time. Firstly, the corresponding only the lowest order Feynman diagrams, i.e., one-loop order Feynman diagrams, are calculated applying the perturbation method in terms of the loop-counting parameter (κ2 ≡ 16πG). Second, fully renormalized self-mass-squared (SMS) (iM2(x;x′)) for conformally coupled scalars (CCS) is obtained by using special calculation technique, dimensional regularization. In this technique, the counterterms help to extract the finite terms from the divergences. The fully renormalized self-mass-squared is obtained for every interaction (conformal-conformal interaction, kinetic-kinetic interaction, cross interaction), separately. Then, the total of them is given as −iM2(x;x′) = −iM2(x;x′) + −iM2(x;x′) + −iM2 (x;x′), C K cross here C and K denote conformal and kinetic interactions, respectively. The total of them −iM2(x;x′) is needed for the next step of the calculations, as μν ̃ 1 ̃ ̃ 4′2 ′ ̃′ ∂μ −g ̃g ̃ ∂ν φ(x)−6φ(x)R − d xM (x;x)φ(x) =0. These difficult calculations and their outcomes are published as two works. In Chapter 4., the Schwinger-Keldysh linearized effective field equation 2 ̃⃗ 0′ 3′2′ ̃′⃗ ∂ Φ1(x;k)− dη d xM1(x;x)Φ0(x;k) =0. ηi is solved by applying the perturbation method in terms of loop-counting parameter to the obtained self-mass-squared outcomes and conformally coupling scalar as ∞ M2(x;x′) = ∑κ2lMl2(x;x′), l=1 ∞∞⃗ Φ ̃(x;⃗k) = ∑κ2lΦ ̃l(x;⃗k)= ∑κ2lu ̃l(η,k)×eik·⃗x , l=0 l=0 and using some special integral techniques. It is seen that the found quantum corrected scalar mode functions (u ̃l(η,k)) have a secular growth effect behaviour, proportional to a logarithm of the scale factor at late times with physical time. The all calculations' details and their outcomes are published in the third work. In Chapter 5., the effect of loop corrections to primordial non-Gaussianity of Cosmic Microwave Background is investigated and the findings from it can be sorted as: A huge value for the non-Gaussianity which would exceed the observed value by at least 30 orders of magnitude may be obtained for single scalar inflaton. It is shown that the non-Gaussianity is a better place for quantum gravitational corrections: While power spectrum is related to the magnitude of mode function, non-Gaussianity is related to the time derivative of the mode function. All details are included in the published last work. All outcomes are summed and the recommended future works are presented in Chapter 6.. In this way, the expected outcomes coming from quantum gravity effects for particular example from the interaction between a "massless conformally coupled scalars" and a "graviton" during inflation time are investigated in this thesis.