Application of meshless RBF collocation methods to neutron diffusion and transport

Abstract

Son yıllarda ağsız yöntemler, bilim ve mühendisliğin birçok alanında fiziksel olayların modellenmesi amacıyla, sonlu farklar metodu, sonlu eleman metodu ve sınır eleman metodu gibi geleneksel yöntemlere alternatif hale gelmişlerdir. Bu yeni yöntemler sayesinde herhangi bir öntanımlı ağa ihtiyaç duymadan, kısmi diferansiyel, integral ve integrodiferansiyel denklemler tarafından betimlenen birçok problem sayısal olarak çözülmüştür. Literatürde farklı sayısal formülasyonlara bağlı olarak çeşitli ağsız yöntemler bulmak mümkündür. Bunlar içerisinde radyal baz fonksiyonu (RBF) kollokasyon yöntemi temel karakteristiği olan ağsızlığın yanında bazı önemli özellikleriyle diferansiyel denklemlerin çözümü için ideal bir sayısal yaklaşım metodudur. Öncelikle bu yöntem bir güçlü-form yöntemidir ve bu sebeple sayısal formülasyon içerisinde bir integrasyona ve dolayısıyla bir arkaplan ağına ihtiyaç duyulmaz. Bu özellik sayesinde RBF kollokasyon yöntemi diğer zayıf-form ağsız yöntemler ile karşılaştırıldığında, gerçek anlamda ağsız bir yöntem olarak sınıflandırılır. Bu yöntemin ikinci belirgin özelliği üstel yakınsama hızıdır. Problem bölgesini temsil etmek için oluşturulan nokta sayısı az bile olsa bu yakınsama hızı ile yüksek doğruluklu çözümler elde etmek mümkündür. Yöntemin dikkate değer bir diğer özelliği ise bilgisayar programlarındaki uygulama kolaylığıdır. RBF kollokasyon yönteminin programlama aşaması diğer ağsız ve ağ temelli yöntemlerin programlanmasına göre daha kolaydır. Bir diferansiyel denklemin RBF kollokasyonu ile sayısal çözümü aslında bir genelleştirilmiş interpolasyon problemidir. Problemi tanımlayan diferansiyel denklemin ve sınır koşullarının bağımlı değişkeni, ki bu çalışma kapsamında nötron akısı, radyal baz fonksiyonlarının sonlu bir serisi ile interpole edilir. Daha sonra bu yaklaşımla elde edilen denklemler, problem bölgesi boyunca düzenli veya rastgele bir biçimde dağıtılmış olan interpolasyon noktalarında sağlanırlar. Her ne kadar literatürde birçok radyal baz fonksiyonu bulunsa da, ilk kez yüzey uydurma için önerilmiş olan genelleştirilmiş multikuadrik fonksiyonu, bu fonksiyon sınıfında, hem fonksiyon yaklaşımı konusunda hem de diferansiyel veya integral denklemlerin sayısal çözümünde baskın hale gelmiştir. RBF kollokasyon yöntemi bugüne kadar birçok alanda bir çözüm aracı olarak kullanılmış olsa da bu yöntemin heterojen sistemlerin çözümündeki kullanımı kısıtlı kalmıştır. Yakın bir zamanda bu yöntemin ağırlıklı bir versiyonu, çok bölgeli katı mekaniği problemlerinin çözümü için önerilmiştir. Bu ağırlıklı yöntemde, interpolasyon noktası sayısı ve ortamın fiziksel parametrelerine bağlı olan ağırlıklar, sayısal yaklaşım sonucu iç bölgelerde ortaya çıkan hata ile sınır ve arayüzlerde açığa çıkan hatalar arasında bir dengeleme yapılarak belirlenmiştir. Çoğaltkan veya çoğaltkan olmayan bir ortamda nötronların davranışlarının belirlenmesi amacıyla, nötron difüzyon ve transport denklemleri üzerinde uzun bir süredir çalışılmaktadır. Bazı durumlarda analitik çözümler elde etmek mümkün olmakla birlikte nükleer teknolojinin ortaya koyduğu gerçekçi problemlerde güvenilir ve detaylı bir analiz yapabilmek için ileri seviyede sayısal yaklaşım yüntemlerine ihtiyaç duyulmaktadır. Tahmin edilebileceği gibi çok bileşenli karmaşık bir nükleer sistem için difüzyon yaklaşımı durumunda bile analitik bir çözüm elde etmek olanaksızdır. Nötron difüzyon ve transport denklemleri bugüne kadar sonlu farklar, sonlu eleman ve sınır eleman yöntemleri ile çözülmüş olup son yıllarda bilgisayarların hesaplama yeteneklerindeki gelişimle beraber bu alandaki çalışmalar yeniden hız kazanmıştır. Bu çalışmanın amacı zamandan bağımsız nötron difüzyon ve transport denklemlerinin RBF kollokasyon yöntemi ile sayısal olarak çözülmesi ve dolayısıyla bu umut vaat eden ağsız yöntemin nükleer reaktör fiziği alanına bir çözüm yöntemi olarak dahil edilmesidir. Bu kapsamda iki boyutlu çok gruplu nötron difüzyon denklemine hem homojen hem de heterojen ortamlarda radyal baz fonksiyonları ile yaklaşım yapılırken transport durumunda tek enerji grubuyla temsil edilen bir boyutlu problemler ele alınmıştır. Ağsız kollokasyon yönteminin performansı farklı durumlar için yapılan sayısal deneylerle değerlendirilmiş olup bu hesaplamalarla yöntemin doğruluğu, kararlılığı ve yakınsama hızı incelenmiştir. Homojen ortam durumunda beş difüzyon problemi RBF kollokasyonu ile çözülmüştür. Bu problemlerden bir tanesi dış kaynak problemiyken diğer dördü çok gruplu fisyon kaynağı problemleridir. Dış kaynak ve dört gruplu fisyon kaynağı problemleri detaylı olarak incelenmiştir ve RBF kollokasyon yönteminin performansı lineer şekil fonksiyonlu sonlu eleman ve sınır eleman yöntemleri ile karşılaştırılmıştır. Radyal baz fonksiyonu olarak multikuadrik, ters multikuadrik ve Gauss fonksiyonları kullanılmıştır. Elde edilen ortalama karekök hatası ve çoğaltma faktöründeki yüzde bağıl hata değerleri, doğruluk ve kararlılık dikkate alındığında, multikuadrik ve ters multikuadrik fonksiyonlarının Gauss baz fonksiyonuna göre daha başarılı olduğunu göstermiştir. Şekil parametresinin ince bir şekilde ayarlanmasıyla birlikte az sayıda interpolasyon noktası kullanılması durumunda bile yüksek doğruluklu çözümler bulunabileceği anlaşılmıştır. Ayrıca, yapılan hesaplarla, bu parametrenin değerinin arttırılmasıyla yöntemin yakınsama hızının geliştiği görülmüştür. Multikuadrik kollokasyon ile lineer sonlu eleman ve sınır eleman yöntemleri karşılaştırıldığında üstel yakınsama özelliğine sahip RBF kollokasyonunun çoğaltma faktörünün doğru bir biçimde belirlenmesindeki üstünlüğü ortaya konmuştur. Buna karşılık nötron akı dağılımı açısından en iyi sonuçlar sınır eleman yöntemi ile elde edilirken, sonlu eleman yöntemi ise kollokasyon yaklaşımından çok daha iyi bir hesaplama zamanına sahiptir. Çok bölgeli nötron difüzyon problemlerinde sayısal çözüm için RBF kollokasyon yönteminin hem geleneksel hem de ağırlıklı formları kullanılmıştır. Beş problem üzerinde durulmuş olup bunlardan ilki bir boyutlu iki bölgeli bir dış kaynak problemidir. Bu problemin çözümü, MATHEMATICA'nın rastgele hassasiyetle hesaplama özelliği kullanıldığında, RBF kollokasyonu ile olağanüstü doğruluk değerlerine ulaşılabileceğini göstermiştir. Bu problemin ardından analitik olarak çözülebilen iki boyutlu, iki bölgeli bir durum ele alınmış ve RBF kollokasyonunun her iki formuyla da iyi sonuçlar elde edilmiştir. Sonraki iki problem yapılarında köşe tekilliği içermektedir ve bu problemler üzerinde yapılan incelemeler, bölgeler arasındaki heterojenitenin yüksek olması durumunda geleneksel formla doğru sonuçlar elde edilebilirken, ağırlıklı RBF kollokasyonunun salınımlı ve hatalı sonuçlar ortaya çıkardığını göstermiştir. Çok bölgeli problemler kapsamında son olarak beş bölgeli bir Uluslararası Atom Enerjisi Komisyonu kıyaslama problemi üzerinde çalışılmıştır. Ağırlıklı kollokasyon yöntemi durumunda, köşe tekilliği ve yüksek heterojenite içeren problemde karşılaşılan sağlamlık eksikliği dikkate alınarak bu kıyaslama problemi yalnızca geleneksel form ile çözülmüştür. Elde edilen sayısal çoğaltma faktörü değerleri, kullanılan ağsız yöntemin çok bölgeli nötron difüzyon problemlerinin sayısal çözümü için etkin bir yöntem olduğunu göstermiştir. Bu çalışmadaki son görev nötron transport denkleminin RBF kollokasyonu ile sayısal olarak çözülmesidir. Hesaplamalarda açısal değişken için P_N yaklaşımı kullanılmış olup transport denklemi hem geleneksel hem de çift-parite formlarında çözülmüştür. İncelemede dört problem üzerinde durulmuştur. Dış kaynak problemi, çift-parite formunda, iki farklı yaklaşımla çözülebilir. P_3 yaklaşımı kullanıldığında elde edilen iki ikinci derece diferansiyel denklem tek bir dördüncü derece denkleme indirgenebilir ve yapılan hesaplamalar, sayısal modellemenin, bağlaşık ikinci derece denklemler üzerinden yapılması gerektiğini göstermiştir. İkinci problemde bir fisyon kaynağı durumu ele alınmış ve hem nötron akı dağılımı hem de çoğaltma faktörü için yüksek doğruluğa sahip sonuçlar bulunmuştur. Son olarak, üçüncü ve dördüncü örneklerde sırasıyla bir Pu-239 kıyaslama problemi durumu, eşyönlü ve eşyönsüz saçılma halleri için çözülmüştür. Eşyönlü problem her iki formla da incelenmiş olup elde edilen çoğaltma faktörü değerleri birbirleriyle neredeyse aynıdır. Bu sonuçlar ayrıca uzaysal değişken için sonlu fark ve sonlu eleman yaklaşımlarının kullanıldığı ayrık ordinat çözümleriyle de karşılaştılmış ve P_5 çözümünün S_8 sonucuna denk olduğu görülmüştür. Eşyönsüz problem transport denkleminin geleneksel formuyla çözülmüştür ve P_5 yaklaşımı altında bile RBF kollokasyon yöntemi iyi sonuçlar vermiştir.

In the last decades, meshless methods have become an alternative tool to conventional schemes, such as the finite difference method, the finite element method and the boundary element method, for modelling physical phenomena in many fields of science and engineering. With these novel techniques various types of problems governed by partial differential, integral and integrodifferential equations are solved numerically without the necessity of creating a predefined mesh. There are several kinds of meshless methods based on different numerical formulations. Among these, the radial basis function (RBF) collocation method has some important characteristics together with its meshless nature, which makes it an ideal numerical approximation scheme for the solution of differential equations. First of all, this collocation scheme is a strong-form method, which means there is no need for numerical integration and hence a background mesh in the numerical formulation. When it is compared to the weak-form methods, the RBF collocation method is defined to be a truly meshless method. The second significant property of RBF collocation is the exponential convergence rate of the method. It is possible to obtain highly accurate solutions even when the number of nodes to represent the problem domain is low. The last feature of this collocation method worthy of attention is its ease of implementation in computer programs. The coding step of the RBF collocation method is easier than those of other meshless and conventional mesh-based methods. The RBF collocation solution of a differential equation is actually a generalized interpolation problem. The dependent variable of the governing equations and boundary conditions, in this case the neutron flux, are interpolated by a finite series of radial basis functions. After this approximation step, the resultant equations are satisfied at the interpolation nodes, which can be uniformly or randomly distributed throughout the domain. Although numerous radial basis functions exist in the literature the generalized multiquadric, which was first proposed for surface fitting, has dominated this class of functions in both function approximation and numerical solution of differential or integral equations. Even though the RBF collocation method has been applied to a wide range of problems, its use in heterogenous configurations is limited. Recently, a weighted version of this method is proposed to tackle multidomain problems of solid mechanics. In this method, the weights, which depend on the number of interpolation nodes and physical parameters of the media, are determined by balancing the approximation error due to the interpolation with RBFs of domains with those of the boundaries and interfaces. Neutron diffusion and neutron transport equations are being studied for a long time to model the behavior of neutrons in a multiplying or nonmultiplying system. Although analytical solutions are given in many situations, real life examples of nuclear technology necessitate the use of advanced numerical approximation techniques to obtain a reliable and detailed analysis of the problem in question. It is impossible to get an analytical expression for a complex multi-component nuclear system even with the simpler diffusion approximation. These equations have been solved with the finite difference, finite element and boundary element methods, and the studies in this area have gained momentum lately with the recent advances in the computational capabilities. The purpose of this study is to solve the time-independent neutron diffusion and transport equations numerically by the RBF collocation method and therefore introduce this promising meshless method into the field of nuclear reactor physics. In this context, the two-dimensional multigroup neutron diffusion equation is approximated with RBFs in both homogeneous and heterogeneous media, while the one-speed neutron transport equation is considered in a one-dimensional configuration. The performance of the meshless collocation technique is assessed by performing numerical experiments for various cases. The accuracy, stability and convergence rate of the method are investigated through these calculations. In case of homogeneous media, five diffusion problems are solved with the RBF collocation method. One of these is an external source example while the rest are multigroup fission source problems. The external source and four-group fission source cases are studied in detail, and the performance of the RBF collocation method is compared with the finite element and boundary element methods employing linear shape functions. Multiquadric, inverse multiquadric and Gaussian are used as the radial basis functions. The root mean square error and relative percent error in the multiplication factor have shown that the multiquadric and inverse multiquadric functions are better than the Gaussian in terms of both accuracy and stability. It was found that by carefully selecting the value of the shape parameter highly accurate solutions can be obtained with the collocation method even with a few number of interpolation nodes. Also increasing the value of the shape parameter has improved the convergence rate of the method. When the results of multiquadric collocation are compared with those of linear finite element and boundary elements it is seen that the exponentially convergent RBF collocation is superior in accurate determination of the multiplication factor while boundary element method has produced the best flux values. On the other hand the finite element method has a much better computation time than the collocation scheme. For multidomain neutron diffusion, both the conventional and weighted forms of the RBF collocation method are used for the numerical solution. Five problems are considered. First a one-dimensional two-region external source problem is solved with RBF collocation, and it was found that extraordinary accuracies are achievable with the arbitrary precision computation feature of MATHEMATICA. Then a two-dimensional two-region problem, for which an analytical solution is available, is dealt with, and the results have revealed that both versions of the RBF collocation method are capable of yielding good accuracies. The next two problems involve corner singularities, and it was seen that, when the heterogeneity between the regions is high, the conventional form of the RBF collocation technique yield accurate results, while its weighted counterpart gave up oscillatory solutions with poor accuracy. The last example of multiregion case is a five-region International Atomic Energy Agency benchmark problem. Considering the lack of robustness of the weighted collocation method in the corner singularity problem with high heterogeneity, this benchmark is solved only with the conventional form of the RBF collocation. The numerical multiplication factor values show that the meshless technique of this study is an effective method in solving multiregion neutron diffusion problems. The final task of this work is the numerical solution of neutron transport equation with the RBF collocation method. The P_N approach is chosen for the angular variable, and solutions are obtained with both conventional and even-parity forms of the transport equation. Four problems are treated in this context. The external source problem can be dealt with two different approaches within the even-parity form. When the P_3 approximation is utilized, the resulting two second-order differential equations can be cast into a fourth order one, and it is found that, the numerical modelling must be made by approximating coupled second-order differential equations instead of directly interpolating the fourth-order equation. The second example is a fission source case, and the numerical experiments have shown that highly accurate solutions are obtained for both the flux distribution and multiplication factor. Finally, in the third and fourth problems Pu-239 benchmarks with isotropic and anisotropic scattering are tackled, respectively. The isotropic case is solved with both forms and identical solutions are obtained for the multiplication factor. Also the results are compared with those of discrete ordinates method utilizing finite difference and finite element method for the spatial variable, and it is seen that the P_5 collocation solutions are equivalent to the S_8 results. The anisotropic problem is solved with the convetional form of the transport equation and the RBF collocation method yield a good accuracy, even with the P_5 approximation.