Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/11527/16598
Title: İçerisinde akışkan bulunan viskoelastik ve elastik tüplerde nonlineer dalga yayılması
Other Titles: Nonlinear wave modulation in viscoelastic and elastic thin tubes filled with an inviscid fluid
Authors: Demiray, Hilmi
Akgün, Güler
100675
Mühendislik Bilimleri
Engineering Sciences
Keywords: Akışkanlar
Dalgalar
Tüp
Viskoelastik
Fluids
Waves
Tube
Viscoelastic
Issue Date: 1999
Publisher: Fen Bilimleri Enstitüsü
Institute of Science and Technology
Abstract: Bu çalışmada içi viskoz olmayan sıkışmaz bir akışkan ile dolu viskoelastik ve elastik tüplerde zayıf nonlineer dalga yayılımı probleminin asimptotik analizi yapılmıştır. Birinci bölümde kısaca konunun tarihsel gelişiminden söz edilmiş ve bu konuda yapılmış teorik çalışmalar özetlenmiştir, ikinci bölümde ise çalışmanın esas konusunu oluşturacak olan, içerisinde sıkıştırılamayan ve viskoz olmayan akışkan bulunan öngörülmeli ince viskoelastik ve elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı probleminde kullanılacak olan alan denklemleri elde edilmiştir. Bölüm 3'te bu çalışmada kullanılacak olan pertürbasyon yöntemleri hakkında kısa bilgiler verilmiştir. Bölüm 4'te içerisinde viskoz olmayan akışkan bulunan ince viskoelastik ve elastik tüplerde zayıf nonlineer dalgaların yayılımı problemi indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak ayrı ayrı incelenmiştir. Dispersiyon, dissipasyon ve nonlineerite arasındaki dengeye bağlı olarak pertürbasyon açılımındaki en düşük mertebeden terimleri yöneten denklemlerin, Burgers, Korteweg-de Vries ve Korteweg-de Vries-Burgers denklemleri olduğu gösterilmiştir. Bu denklemlerin ilerleyen dalga çözümleri ve elde edilen bir kısım sayısal sonuçlar yine aynı bölümde verilmiştir. Bölüm 5'te de iki ayrı problem ele alınmıştır. Birinci problemde içi viskoz olmayan akışkanla dolu nonlineer viskoelastik tüplerde zayıf nonlineer, dissipatif, fakat kuvvetli dispersif ortamlarda dalgaların genlik modulasyonu incelenmiş ve böyle bir ortamda yönetici denklem olarak dissipatif nonlineer Schrödinger denklemi elde edilmiştir. Bu denklemin belli başlangıç koşulları altında nümerik çözümü Split Step Fourier yöntemi ile verilmiştir, ikinci problemde ise tüpün viskoelastik etkileri ihmal edilmiş, fakat eksenel yöndeki yer değiştirmesi de hesaba katılarak problem yeniden incelenmiştir. Bu problemde yönetici denklem olarak biri radyal diğeri de eksenel hareketle ilgili iki nonlineer Schrödinger denklemi elde edilmiştir. Bu denklemlerin kararlı düzlem dalgaların oluşma koşullan sayısal olarak incelenmiş ve grafikler üzerinde gösterilmiştir. Son olarak da içerisinde viskoz olmayan akışkan bulunan ön gerilmeli elastik tüplerde farklı iki dalga boyunda yayılan iki akustik dalganın süper pozisyonundan oluşan dalgaların nonlineer etkileşimi Bölüm 6'da incelenmiş ve böyle bir ortamda dalgaların genlik modülasyonunu yöneten denklemlerin küple nonlineer Schrödinger denklemleri ile verilebileceği elde edilmiştir. Temel Denklemler Bu çalışmada, içerisinde viskoz olmayan ve sıkıştırılamayan akışkan bulunan tüp içerisinde nonlineer dalga yayılımı problemi tüp malzemesinin viskoelastik veya elastik oluşuna bağlı olarak iki ayrı durum için incelenmiştir. Birinci durumda viskoelastik etkiler göz önünde bulundurulmuş, ancak yataklama koşulları nedeniyle tüpün eksenel yöndeki hareketi ihmal edilmiştir. Bu durumda eksenel yöndeki kuvvetlerin dengesinin T yataklama kuvveti yardımıyla sağlandığı varsayılmıştır, ikinci durumda ise viskoelastik etkiler ihmal edilip eksenel yöndeki yer değiştirmeler hesaba katılmıştır. Her iki hal için alan denklemleri aşağıdaki gibi verilebilir. Nonlineer viskoelastik tüpün hareket denklemleri : d2u E2 1 d /Sı ötr _ d /£ı\.,.du Burada u radyal yer değiştirmeyi, p iç basıncı, Sı, S2 teğetsel yöndeki mambran kuvvetlerini, A ve Ag da ilgili doğrultulardaki germeleri göstermektedir. Nonlineer elastik tüpün hareket denklemleri : d (\ du\., dw.dY,..,., dw. 9/1 9S \.dtı, N /, 9iü N..." 9iü. _¦¦ Burada S şekil değiştirme enerjisi fonksiyonu, w eksenel yer değiştirme, ar, az ise ivme bileşenleridir. S şekil değiştirme enerjisi fonksiyonunun, Ag ve Az'in analitik bir fonksiyonu olduğu kabul edilerek, u = 0, du/dz = 0 ve dw/dz = 0 civarında seriye açılmıştır. Bu açılımlar (1), (3) ve (4) denklemlerinde yerine yazıldığında nonlineer viskoelastik ve elastik tüpler için hareket denklemleri yerdeğiştirmeler ve onların türevleri cinsinden elde edilebilir. Ana metinde yer alan bu denklemler yer tasarrufu nedeniyle burada verilmemiştir. Akışkan denklemleri : Yukarıdaki tüp denklemlerinin akışkan denklemleri ile desteklenmesi gerekir. Sıkıştırılamayan ideal bir akışkanın yaklaşık (ortalama) hareket denklemleri aşağıdaki biçimde verilebilir du _ du A dv dv dv dp 2 m + 2"aî + A»& " ° ¦ â + "âl + âî = °- (5) Zayıf Nonlineer Dalgalar Bu kısımda alan denklemlerinin, uzun dalga yaklaşımı halinde, zayıf nonlineer dalga çözümleri elde edilmeye çalışılmıştır. Daha önce verilen alan denklemleri için ayrı ayrı inceleme yapılmıştır. Yataklanmış viskoelastik tüpler : (1) ve (5) denklemleri kullanılarak küçük fakat sonlu genlikli dalgaların yayılımı indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Bunun için aşağıdaki şekilde koordinat dönüşümü tanımlanabilir ç = ea(z-gt), r = ea+1gt. (6) Burada e nonlineeritenin küçüklüğünü sembolize eden bir parametre, a ise daha sonra belirlenecek olan bir sabittir. Ayrıca alan değişkenlerinin aşağıdaki gibi e cinsinden asimptotik bir seriye açılabileceği kabul edilmiştir oo oo oo tı = £eraun(£,r), v = J2^nM^r), p = £ e»pn(£,r). (7) Burada un, vn ve pn alan denklemlerinin çözümü sonucunda belirlenecek olan fonksiyonlardır. (6) dönüşümü ve (7) açılımları alan denklemlerinde yerine yazılır ve e'un çeşitli kuvvetlerine göre denklemler sıfıra eşitlenirse, bir diferansiyel denklemler sınıfı elde edilir. Sırasıyla 0(e) ve 0(e2) mertebesindeki denklemler çözülecek olursa aşağıdaki master denklem bulunur -^ + 7ıU-+l2e2° 'W-^ 'W = 0. (8) Burada U, radyal yer değiştirmenin pertürbasyon açılımında en düşük terimi göstermektedir, a'nın alacağı değerlere göre bu genel denklemden bilinen çeşitli evolüsyon denklemlerine ulaşılır. i) Şı = 0(1) ve a = 1 hali: Bu durumda d3U/dÇ3,nin katsayısı e mertebesinde olacağından bu terim düşer ve evolüsyon denklemi Burgers denklemine indirgenir ÖU TTdU d2U n ¦^-+7^-73^ = 0. (9) Bu denklem ortamdaki nonlineerite ile dissipasyonun dengelenmesi sonucunda ortaya çıkar. ii) /?4 = 0(e) ve a = 1/2 hali: Bu durumda d2U/d£2, nin katsayısı e1/2 mertebesinde olacağından evolüsyon denklemi aşağıdaki Korteweg-de Vries (KdV) denklemine indirgenir dU TTdU d3U n ^-+7:^+72^ = 0. (10) Bu denklem nonlineerite ile dispersiyonun dengelendiği durumlarda geçerlidir. iii) Ş4 = 0(e1/2) ve a = 1/2 hali: Bu durumda evolüsyon denklemi dissipasyonun, dispersiyonun ve nonlineeritenin denge durumunda olduğu Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB) denklemine indirgenir dU TTdU d2U d3U n _ + 7lC/__73__ + 72__ = o. (11) Bu denklemler için ilerleyen dalga çözümleri ana metinde verilmiş ve sayısal sonuçlar tartışılmıştır. Zayıf yataklanmış elastik tüpler : Bu durumda viskoelastik etkiler ihmal edilmiş ve zayıf yataklanma koşulu nedeniyle eksenel yöndeki yer değiştirmenin küçük olduğu kabul edilmiştir. Bu özel halde denklemlerin dissipasyon özelliği yoktur. Eğer lineerleştirilmiş denklemlere harmonik tipten dalga çözümü aranacak olursa aşağıdaki dispersiyon bağıntısı elde edilir. (2 + mk2)muj4 - [m((Şt - (30)k2 + ma^k4 + 2Tı(2 + mk2)k2]uj2 + 27ı[(A - /?o)£4 + a0k6} - (ax - /30)2fc4 = 0. (12) Burada k dalga sayısı, u da açısal frekanstır. (3), (4) ve (5) denklemlerinde a = 1/2 için (6) koordinat dönüşümü ve (7) açılımları kullanılacak olursa e'un çeşitli kuvvetlerine göre denklemler elde edilir. Bunların çözülmesi sonucu aşağıdaki Korteweg-de Vries denklemi bulunur dU TTdU d3U n fr+xU-dt+aW = °- (13) Bu denklem katsayıların tanımına göre biri boyuna diğeri de enine olmak üzere iki denklemi karakterize etmektedir. Nonlineer Dalga Modülasyonu Bu kısımda içi akışkan ile dolu nonlineer viskoelastik ve elastik tüplerde zayıf nonlineer dalgaların genlik modülasyonu ayrı ayrı incelenmiştir. Akışkan ile dolu viskoelastik tüplerde nonlineer dalga modülasyonu : Bu problemde indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılmıştır. Bu amaca yönelik olarak aşağıdaki koordinat dönüşümü tanımlanabilir £ = e{z-\t), t = e2t. (14) Burada A bir sabit olup daha sonra bu sabitin grup hızına eşit olduğu gösterilecektir. Alan değişkenlerinin (z, t) hızlı değişkenleri ile (£,r) yavaş değişkenlerinin fonksiyonu olduğu farzedilmiştir. Yukarıdaki koordinat açılımından faydalanarak türev ifadeleri aşağıdaki gibi verilebilir ~d~z^dz+edz ' dt~* dt~eX~di + e di- (15) Alan değişkenlerinin e cinsinden (7)'deki gibi asimptotik bir seriye açılabileceği varsayılmıştır. Bu çalışmada dissipasyonun zayıf olduğu kabul edilerek viskoelastik katsayılar e cinsinden aşağıdaki gibi alınmıştır Pi = Âe2. (16) (7) açılımları ve (14) dönüşümleri (1) ve (5) denklemlerinde yerine yazılır ve e'un çeşitli kuvvetlerine göre düzenlenirse bir diferansiyel denklemler hiyerarşisi elde edilir. Bu denklemlerin çözülmesiyle aşağıdaki dissipatif nonlineer Schrödinger denklemi elde edilir.dU + »ı^r + V2\U\2U + ipı3U==0. (17) Burada fj,\, \ı% ve /İ3 maddesel sabitlere ve ön şekil değiştirmelere bağlı bir kısım katsayılar olup ifadeleri ana metinde verilmiştir. Bu denklemin belli başlangıç koşulu altındaki sayısal çözümü Split Step Fourier yöntemi ile verilmiştir. içerisinde akışkan bulunan ince elastik tüplerde dalga modülasyonu : Bu kısımda akışkan ile dolu öngerilmeli ince elastik tüplerde zayıf nonlineer, fakat kuvvetli dispersif ortamlarda dalgaların yavaş değişen genliğinin yayılımı türev açılım yöntemi kullanılarak incelenmiştir. Bu amaçla koordinat ve türev açılımları aşağıdaki şekilde tanımlanabilir zn = enz, tn = ent, (n = 0,1,2,...), (18) dz £,' dzn ' dt ^ dtn liyj n=ü n=0 Bu durumda alan değişkenleri, genişletilmiş koordinatların fonksiyonu olarak kabul edilerek e cinsinden aşağıdaki gibi bir asimptotik seriye açılabilecektir = ^2enun(z0,zı,....;t0,t1,....), v = ^ envn(z0,z1,....;t0,....) n=l n=l 00 00 = J^ enwn(z0, zu....;t0,*ı,....), p = ^ enpn(z0,zı,..¦¦;t0,tı,....).(20) (19) ve (20) açılımları (3), (4) ve (5) denklemlerinde yerine yazılır ve e'un çeşitli kuvvetleri cinsinden denklemler sıfıra eşitlenirse, diferansiyel denklemler sistemi elde edilir. Bu denklemlerin çözülmesi ile aşağıdaki nonlineer Schrödinger denklemi bulunur dU d2U,,2 *fr+Vı-Qp+m\U\2U = 0. (21) Bu denklem katsayıların farklı ifadesine göre enine ve boyuna dalgalan karakterize eden iki tane denkleme karşı gelmektedir. Nonlineer Dalgaların Etkileşimi : Bu kısımda içerisinde viskoz olmayan akışkan bulunan öngerilmeli elastik tüplerde farklı dalga boylarında yayılan iki akustik dalganın etkileşimi incelenmiştir. Bunun için türev açılım yöntemi kullanılmıştır. Alan değişkenlerinin (20Vdeki gibi e cinsinden asimptotik bir seriye açılabilecekleri kabul edilip, (18) ve (19) koordinat ve türev açılımları (3), (4) ve (5) denklemlerinde kullanılırsa e'un çeşitli kuvvetleri cinsinden diferansiyel denklemler sistemi elde edilir. Sırasıyla 0(e), 0(e2) ve 0(e3) denklemleri çözülecek olursa aşağıdaki küple nonlineer Schrödinger denklemleri bulunur dU d2U i-^+Vı^ + ^lUfU + ^U'fu^O (22) ar ti a2 tji »' V + ^-^2+ ^u'\2u' + ^\u\2u' = °- (23)
 In this work, the propagation of weakly nonlinear waves in a prestressed thin viscoelastic and elastic tubes filled with an incompressible inviscid fluid is studied. In Chapter one, the historical evolution of the subject and some theoretical works in the existing literature on this area are presented. In second Chapter, the nonlinear field equations that we need in studying the propagation of weakly nonlinear waves in fluid filled viscoelastic and elastic tubes are obtained. The perturbation methods that we shall utilize in this work is briefly discussed in Chapter 3. In Chapter 4, employing the reductive perturbation method, the propagation of weakly nonlinear waves in viscoelastic and elastic tubes, filled with an inviscid fluid, is studied. Depending on the balance between the nonlinearity, dispersion and/or dissipation, the evolution equations are obtained as Burgers, Korteweg-de Vries and Korteweg-de Vries-Burgers equations. A progressive wave type of solution to these equations is sought and the numerical analysis of them is also given in the same chapter. In Chapter 5, two different problems have been investigated. In the first place, the amplitude modulation of weakly nonlinear waves in a fluid filled viscoelastic tube is examined for weak dissipation but strong dispersion and the dissipative nonlinear Schrödinger equation is obtained and the numerical solution of this evolution equation is given under some initial conditions. In the second part we studied the same problem by disregarding the viscoelastic effects but taking the axial displacement into account and obtained two nonlinear Schrödinger equations associated with the axial and radial motions of the elastic tube. The variations of some coefficients with wave number and initial deformation are investigated numerically and the results are depicted on some graphs. Finally in Chapter 6, the nonlinear interaction of waves propagating with different wave numbers are investigated and two coupled nonlinear Schrödinger equations are obtained. Basic equations In the present work, two separate problems will be investigated. In the first case, the viscoelastic effects of the tube material is taken into account, but due to tethering effects, the axial motion is neglected. It is assumed that the balance of forces in the axial direction is provided by the tethering force T. In second case, the viscoelastic effects of the tube material are neglected, and axial displacement components are taken into account. The nonlinear equations of motions for both cases can be given as follows Nonlinear equations of viscoelastic tube : d2u Ea _ J_ d {Y.X au^ l, dt2 + A2e ~ A9 d /En., Ndu m o"u 1j2 LO /2Ji ou\ Po+p = Â7â^ + A|-Â7â;vÂ^âJ> (1) m d /Eı\...du where u is the radial displacement, p is the inner pressure, Sı, S2 are the mambrane forces in the axial and circumferential directions, A and A$ are the xii stretches in the related directions. Nonlinear equations of elastic tube: d ( 1 \. au..," aw. Here E is the strain energy density function, w is the axial displacement, ar and az are the accelaration components in the radial and axial directions. Assuming that the strain energy density function E is analytic in Ağ and A2, we may expand it into a power series around u = 0, aw/az = 0 and au/az = 0. If these expansions are substituted into equations (1), (3) and (4) we obtain the nonlinear equations of motion of viscoelastic and elastic tubes in terms of radial and axial displacements and its derivatives. Equations of fluid : The equations given above are to be supplemented by the equations governing the fluid body. The approximate equations of motion for incompressible and non-Newtonian fluid may be given as follows au n au, av,av av +ap Weak Nonlinear Waves In this part, the propagation of weakly nonlinear waves in the long wave approximation for viscoelastic and elastic tubes will be investigated separately. Tethered viscoelastic tubes : Using the equations (1) and (5) the propagation of small but finite amplitude waves in a dispersive and dissipative medium will be studied, in the long wave limit, through the use of reductive perturbation method. For this purpose we introduce the following stretched coordinates Z = ea(z-gt), r = ea+1gt (6) where e is a small parameter measuring the weakness of dispersion, nonlinearity and dissipation; a is a positive constant whose value will be determined later. We further assume that the field quantities can be represented by asymptotic series as oo oo oo u = £y«"(e,t), <; = J]eun(£,t), p=]Te>n(£,r) (7) n=l n=l n=l where un, un and pn are some unknown functions to be determined from the solution of the field equations. Introducing expansion (6) into eq. (7) and setting the like powers of e equal to zero we obtain the sets of differential equations. If we solve the 0(e) and 0(e2) order equations, we obtain the following master equation 9U TTaU 2a-ı&U a-id2U From this general evolution equation various well-known equations may be obtained as some special cases. i) f34 = 0(1) and a = 1 ; In this case the coefficient of d3U/d£3 is of the order of e and the evolution equation reduces to the Burgers' equations dU TTdU d2U n ^+7^-73^ = 0, (9) which results from the balance of non-linearity with dissipation. ii )B4 = 0(e) and a = 1/2 ; In this special case the coefficient of d2U/d£2 is of the order of e1'2 and the resulting evolution equation reduces to the well-known Korteweg-de Vries (KdV) equation dU TTdU d3U n ^ + 7^ + 72^ = 0, (10) which results from the balance of non-linearity with dispersion. Hi) Ba = 0(e1'2) and a = 1/2 : For this special case the evolution equation reduces to the following Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB) equation dU TTdU d2U d3U n ^+71^-73^+72^ = 0, (11) which is obtained by balancing the non-linearity with dispersion and dissipation. Weakly tethered elastic tubes : In this case, the viscoelastic effects of the tube material will be neglected, but due to weak tethering effects, the axial displacement component will be taken into account. In this special case there is no dissipation. Linearizing the field equations (3), (4) and (5) and seeking a harmonic wave type of solution to these equations we obtaine the following dispersion relation (2 + mk2)mujA - [m((/?i - /30)k2 + maok4 + 27l(2 + mk2)k2]u2 + 27lp! - (30)k4 + a0k6} - (ai - /30)2k4 = 0, (12) where k is the wave number, w is the angular frequency. As is seen from this dispersion relation there are two waves associated with axial and radial xiv motions, propagating in the medium. Introducing the coordinate streching (6) for a = 1/2 and expansions (7) into equations (3), (4) and (5) and setting the like powers of e equal to zero we obtain the set of differential equations. From the solution of this set we obtain the following Korteweg-de Vries equation dU TTdU d3U n ^+xU^+crw=0- (13) This equation corresponds to two nonlinear equations associated with the axial and transverse motion of the tube material. Nonlinear Wave Modulation In this part, the amplitude modulation of weakly nonlinear waves in fluid filled viscoelastic tube and modulation of two waves associated with axial and transverse motion in fluid filled elastic tube are examined separately. Wave modulation in fluid filled viscoelastic tube : We employ the reductive perturbation method and introduce the following coordinate stretching Ç = e(z-\t), T = e2t. (14) Here e is a small parameter measuring the weakness of nonlinearity, A is a constant which will be shown to be the group velocity. We further assume that the field quantities are functions of fast variables (z,t) and also slow variables (£,t). Thus the following substitution is permissible: d d d d, d 2 d &-&+eâe ' a-eAâe+eV (15) We shall assume that the field variables are expressible as asymptotic series in e. We further assume that the dissipation is weak and the viscoelastic coefficients are of the following order in terms of e ft = Âe2. (16) Introducing the expansions (7) and (14) into the field eqs. (1) and (5) and setting the coefficients of like powers of e equal to zero we obtain set of differential equations. From the solution of this set we obtain the following dissipative nonlinear Schrödinger equation dU d2 U *ü- + ^i aw + M2 |tf |2c + mv = 0. (17) dr ' n± 0£ Wave modulation in fluid filled elastic tube : In the present work, employing the nonlinear equations of a prestressed thin elastic tube and the approximate equations of an incompressible inviscid fluid the amplitude modulation of these nonlinear equations for strongly xv dispersive case is investigated by use of the multiple scale expansion method. For this, we introduce the following coordinate stretching and derivative expansions: zn = enz, tn = ent, (n = 0,1,2,...), (18) 71=0 71 = 0 We shall assume that field quantities are functions of stretched coordinates. We further assume that field quantities are expressible as asymptotic series in e as follows oo oo u = '^2enun(z0,zu....;t0,ti,....), v = ^ envn(z0,zi,....; t0,ti,....) n=l n=l oo oo = ^2enwn(z0,z1,....;t0,t1,....), p= 5^enpR(«0,«ı,....; w 71 = 1 71=1 Introducing the expansions (19) and (20) into the field eqs. (3), (4) and (5) and setting the coefficients of like powers of e equal to zero we obtain set of differential equations. After solving these set of equations we obtain the following nonlinear Schrödinger equation dU d2U, l2 '- + ^â« + ^\U\2U = 0. (21) dr ' ^ d? This equation corresponds to two nonlinear equations associated with the axial and transverse motion of the tube material. Nonlinear Wave Interaction In this part, the nonlinear interaction of two acoustic waves propagating in an elastic tube filled with an inviscid fluid is studied by use of the multiple scale expansion method. We shall assume that field quantities are expressible as asymptotic series in terms of e. Introducing coordinates and derivative expansions into the fıld equations (3), (4) and (5) we obtain the set of diferential equation. If we solve this equations we obtain the following coupled nonlinear Schrödinger equation dU FP U ijp+^-g^ + ^\U\2U + ^\U'\2U = 0 (22) r)TT' Ffl 11' i^+A^k+MU'fU + MufU^O. (23) It is not easy to solve these coupled nonlinear equations. The solution can be obtained only when there is a relation between the coefficients //2, /4> ^3? fj,'3. The nonlinear plane wave solutions to these equations are also given for some special cases. 
Description: Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1999
Thesis (Ph.D.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 1999
URI: http://hdl.handle.net/11527/16598
Appears in Collections:Mühendislik Bilimleri Lisansüstü Programı - Doktora

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
100675.pdf5.15 MBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.