Mechanics and dynamics of milling with generalized geometry

Abstract

Frezeleme işlemleri birçok farklı sanayi dalında yaygın olarak kullanılır. Frezeleme ile ilgili önemli bir problem tırlama titreşimidir. Tırlama, takımın kararsız bir şekilde iş parçasından ayrılmasına veya talaş kalınlığının ve bundan dolayı kesme kuvvetlerinin üstel olarak büyümesine ve takımın kırılmasına sebep olur. Kesme ağızında talaş birikmesinin dışında, tırlama titreşimleri sonucu yüzey kalitesi çok kötüleşir. Bu nedenle kesme şartlarının uygun seçimi tırlama titreşimlerini yok etmede, takım ömrünün uzamasında ve iyi bir yüzey kalitesi elde etmede önemli bir rol oynar. Bu tezde, genelleştirilmiş takım geometrisi ile frezeleme işleminin mekaniği ve dinamiği üzerinde çalışıldı. Freze takımlarının geometrik olarak modellenmesinin amacı, endüstride geliştirilmiş takım tasarımı ve işlem planlaması için farklı parmak freze takımlarını kapsayabilen bir frezeleme simülasyon sisteminin tasarlanmasıdır. Bu çalışma ile, yüksek verimlilik ve uygun parça kalitesi elde edilmesinde önemli olan talaş kalınlığı, kesme kuvvetleri, moment, güc, takım titreşimleri, parça titreşimleri, ve tırlama titreşimlerinin meydana gelmediği kesme hızı ve kesme derinlikleri tayin edilebilmektedir. Frezelemedeki kesme kuvvetleri, kesme ağızı geometrisine, iş parçası malzeme özelliklerine, kesme hızına, ilerlemeye, kesme derinliğine ve kesme genişliğine bağlıdır. Kendi ekseni etrafında dönen ve trokoid bir yörünge üzerinde hareket eden freze takımının gerçek kinematiği kullanılarak takımın kesme ağzı üzerindeki bir nokta tarafından kaldırılan gerçek talaş kalınlığı analitik olarak modellenmektedir. Kesme kuvvetleri talaş kalınlığına bağlı olduğu gibi, malzeme özellikleri ile ve takım geometrisine de bağlıdır. Kuvvetler kesme ağızı boyunca toplanarak, iş parçasında ve iş milinde oluşan toplam kuvvetler bulunabilir. Bu çalışma ile ayrıca, havacılık ve kalıp sanayiinde kullanılmakta olan değişken açılı, plaketli, helisel küresel kafalı ve helisel konik küresel kafalı parmak frezeler gibi kompleks geometriye sahip takımların parametrik tasanmınada imkan verilmektedir. Bu çalışmada üç ana amaç vardır, bunlar: - Her türlü parmak freze takımı için genelleştirilmiş geometrik modelin geliştirilmesi, mekanik ve dinamik açılardan incelenmesi, -XXI- -Plaketli takımlar için genelleştirilmiş geometrik modelin geliştirilmesi, mekanik ve dinamik açılardan incelenmesi, -Değişken taksimatlı takımların tırlama titreşimleri meydana getirmeyecek şekilde analitik yöntemle tasarımı ve tırlama kararlılık eğrilerinin analitik olarak hesaplanması. Genelleştirilmiş parmak freze dış geometrisi zarf formu APT ve CAD/CAM programlama sistemleri tarafından kullanılan parametrik gösterime benzer bir yöntemle tanımlanmıştır. Takım üzerindeki kesici ağız koordinatlarının formülasyonu geliştirildi. Verilen geometrik modelin kullanımı ile, çok çeşitli parmak freze geometrilerinin tasarlanabildiği gösterilmiştir. Modellenen kesme ağızı değişen kesme sabitlerine sahip küçük parçacıklara ayrıldı. Uygulama örnekleri olarak, helisel küresel başlı parmak freze, konik helisel parmak freze ve köşesi yuvarlatılmış takımları kapsayan çalışmalar verilmiştir. Geliştirilen modelin, tanımlanan zarf geometrisi içinde herhangi bir takım geometrisi için kesme kuvvetlerinin, titreşimlerin, boyutsal yüzey pürüzlülüğünün, hatta tırlama kararlılık eğrilerinin belirlenmesinde kullanılabildiği deneysel olarak da gösterildi. Altıntaş ve Lee tarafından küresel parmak freze için verilmiş olan yönteme benzer bir teknik kullanılarak bu geometri mekanik ve dinamik açıdan incelenmiştir. Parmak freze geometrisi, parametrik zarf geometrisi etrafına helisel kanalların sarılması ile modellendi. Parametrik helisel kanal boyunca kesme ağzı her noktasının koordinatları matematiksel olarak ifade edildi. Takım, mekanik ve dinamik açıdan incelenebilmek için küçük elemanlara bölündü. Herbir kesme noktasında talaş kalınlığı değerleri, takım ve iş parçasının yapısal titreşimleri dahil edilerek ve frezelemenin gerçek kinematikleri kullanılarak belirlendi. îş parçası ile temasta olan her kesme ağzı boyunca integrasyonla, genel bir parmak freze için kesme kuvvetleri, titreşimler, boyutsal yüzey kalitesi ve tırlama kararlılık eğrileri belirlendi. Küresel başlı, helisel konik küresel başlı ve köşesi yuvarlatılmış parmak freze için hesaplanan ve ölçülen kesme kuvvetleri, yüzey pürüzlülüğü ve kararlılık eğrileri verilerek genelleştirilmiş parmak freze analizinin uygulanabilirliği gösterilmiştir. Plaketli takımlar ince ve kaba talaş kaldırılması aşamalarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Plaket geometrileri ve takım gövdesi üzerindeki plaketlerin dağılımı endüstrideki uygulamalara bağlı olarak farklılıklar gösterir. Plaketli takım geometrisi için genelleştirilmiş matematiksel model, frezelemedeki kesme kuvvetlerinin, titreşimlerinin, boyutsal yüzey kalitesinin ve kararlılık eğrilerinin hesaplanabilmesi amacıyla geliştirildi. Kesici ağız geometrisi her plaket için yerel koordinat sisteminde tanımlandı ve takım genel koordinat sistemi kullanılarak takım gövdesi üzerinde konumlandınlmıştır. Kesme ağızı konumları matematiksel olarak tarif edildi ve kesme bölgesi boyunca talaş kalınlığı değişiminin belirlenmesinde kullanıldı. Her plaket prizmatik, üçgensel dış bükey vb. veya matematiksel olarak tanımlanabilen farklı bir geometriye sahip olabilir. Plaket merkezlerinin koordinatları takım gövdesi merkezine göre belirlenerek, her plaket takım gövdesi üzerine matematiksel olarak yerleştirilebilir. Plaketler takım gövdesi üzerinde döndürülerek, her plaket farklı eğim ve eksenel talaş açılarına sahip olacak şekilde yerleştirilebilir. Ağızın her noktasında kesme işlemi mekanik ve dinamik açıdan incelendi ve temas alanı boyunca integre edilerek, frezeleme işleminin herhangi bir plaketli takım için hesaplanabildiği gösterilmiştir. Plaketli takım modeli örneklerin analizi ile deneysel olarak doğrulandı. Budak ve arkadaşları tarafından verilmiş olan ortalama kesme -XX11- sabitleri metodu kullanılarak, Z ekseni boyunca yeni bir değişken kesme sabitleri modeli, plaketli takımlara uygulandı. Plaketli takımların dinamik açıdan incelenmesi, daha önceden Altıntaş ve Budak tarafından önerilen analitik çözüm ve zamana bağlı çözümlerin kullanılmasıyla yapılmıştır. Çalışmada ayrıca frezeleme sırasında meydana gelen titreşimler de göz önüne alınmıştır. Takımın yapısal dinamik modeli çok serbestlik dereceli bir sistem olarak takım ucundan modellendi. Esnek takımın hareket denklemleri talaş kalınlığının belirlenmesine dahil edildi. Frezeleme işlemi sırasında ortaya çıkan yüzey kalitesi ve kesme kuvvetleri zamana bağlı olarak hesaplandı. İş parçası ve takım titreşimleri, iş parçası ve tezgahın dinamik davranışları ve kesme kuvvetlerine göre hesaplandı. Titreşimlerin üstel olarak büyümesi analiz edilerek kesme işleminin kararlılığı araştırıldı. Tırlama titreşimleri veya tırlama kararlılığı, dinamik frezelemenin lineer analizinin yapılması ve analitik olarak özdeğer probleminin çözümlenmesiyle hesaplandı. Kararlı kesme derinlikleri ve kesme hızı sınır çizgisini karakterize eden kritik tırlama kararlılık sının analitik olarak belirlendi. Analitik çözümler zamana bağlı çözümlerle ispatlandı. Tezde ayrıca, daha önce Altıntaş ve Budak tarafından verilmiş olan sabit taksimatlı parmak freze kararlılık eğrisi çözümü geliştirilerek, değişken taksimatlı freze takımları için kararlılık eğrilerinin analitik olarak belirlenmiştir. Bu yöntem, tırlama kararlılığı ifadesinde kesme sabitlerini, kesme ağızı sayısını ve tezgah üzerine takılan takımın transfer fonksiyonuna ihtiyaç göstermektedir. Kararlılık, zamanla değişen, yöne bağlı kesme sabitlerinin, zamanla değişmeyen sabitlere dönüştürülmesiyle formüle edilmiştir. Eşit taksimatlı takımlardaki sabit kesme gecikmesi, değişken taksimatlı takımlar için çok sayıda değişken gecikmesine dönüştürülmüştür. Kararlı kesme derinliği, kararlılık eşitliğinden bulunur, oysa kesme hızı, kesmedeki faz farklarından bulunmaktadır. Önerilen yöntem çok sayıda kesme testi ve zamana bağlı simulasyonlarla doğrulanmıştır. Çalışmada, Shirase ve Altıntaş'ın değişken taksimatlı takımlar için talaş yükü ve kesme kuvvetleri statik modeli kullanılmıştır. Değişken taksimatlı takımların analitik çözümlerinin pratik kullanımı, tırlamanın ortaya çıkmadığı kesme derinliği sınırını oldukça yükselten en uygun kesici ağız tasarımı uygulaması ile gösterilmiştir. Farklı ağız açılı bir takımın tasarlanmasındaki ana fikir, sabit taksimatlıdaki durumla karşılaştırıldığında yüksek kesme derinliklerine ulaşabilen yüzey dalgalan arasında farklı faz açısı oluşturulmasıdır. Taksimat açılan, verilen bir devir sayısı için kesme derinliğini maksimum yapacak bir şekilde seçilmiştir. Geliştirilen yöntem, verilen tezgah-iş mili-takım grubu dinamikleri için minimum faz farkını oluşturan ve göz önüne alman kesme hızında mümkün olan bütün ağız açılanm vermektedir. 5000 dev/dak 'daki kesme hızında dört ağızlı bir takımla A1356 malzemesinin kesilmesi örneği takım ve iş parçası için optimum takım ömrünü veren değişken taksimatlı takımlann tasannu yapılarak 90o-90°-90o-90° yerine 70°-110o-70o-110° bulunmuştur, için yapıldı. Sonuçta, kararlı maksimum kesme derinliği, sadece takım açılannın değiştirilmesiyle aynı kesme şartlan altında, üç katından fazla arttınlmıştır. Bu iyileşme, deneylerle ve zamana ve frekansa bağlı çözümlerle ispatlanmıştır. Bu tezde verilen simülasyon ve matematiksel modellerin hepsi deneysel olarak doğrulanmıştır. Kesme kuvvetleri, takım ve iş parçası titreşimleri, kararlılık eğrileri, tırlama frekanslan ve yüzey prüzlülüğü profilleri gibi değerleri, frekansa bağlı -XX111- analizler ve zamana bağlı çözümlerden gerçeğe yakın olarak elde edildi. Frezeleme simülasyonlarmın giriş ve çıkış değerlerinin ölçülmesinde bir lazer yer değiştirme algılayıcısı, ivme ölçücüler, kuvvet ölçücüler, darbe algılayıcılı çekiçler, bir mikrofon ve bir lazer yüzey tarayıcısı kullanılmıştır. Deneysel sonuçlarla simülasyon sonuçlan, dikkatlice kontrol edilen şartlar altında bir birine oldukça yakın çıkmıştır. Bu tezde verilen teorileri doğrulamak için bütün çalışma boyunca ikibinden fazla kesme testi,yapılmıştır. Doğru sonuçların alınabilmesi için bazı kesme testleri defalarca tekrar edilmiştir. Yanlış değerler veren bazı test sonuçlan tezde verilmemiştir. Tezde geliştirilen teorik çalışmanın simülasyonlarla birleştirilmesi imalat hızım artırmak üzere en uygun kesme şartlannın belirlenmesinde çok yararlı olacaktır. Modeller için bir bilgisayar programı hazırlanmış ve British Columbia Üniversitesi - İmalat Otomasyonu Laboratuvan'nda araştırmayı maddi olarak destekleyen çeşitli firmalara (Boeing, General Motors, Partt&Whitney) verilmiştir. Bu fırmalardaki kullanıcılardan alınan tavsiye ve eleştiriler araştırmaya dahil edilmiştir.

Milling operations are commonly used in many different industries. A major problem associated with milling is chatter vibrations. Chatter leads to the exponential growth of chip thickness, and therefore cutting forces in an unstable manner until the cutter either jumps out of the cut, or tool breakage occurs. Apart from causing chipping at the cutting edge, chatter vibrations also result in very poor surface finishes. Hence, appropriate selection of cutting conditions plays an important role in avoiding chatter vibrations, extending tool life and obtaining a good surface finish quality. The mechanics and dynamics of milling operations conducted with generalized cutter shapes are studied in this thesis. The objective of geometric modeling of milling cutters is to design a milling simulation system, which can handle a variety of different end mills for improved cutter design or process planning in industry. The study leads to the prediction of chip thickness, cutting forces, torque, power, tool vibrations, workpiece vibrations and chatter vibration free spindle speeds and depths of cut which are all important in obtaining high productivity and acceptable part quality. The cutting forces in milling are dependent upon the cutting edge geometry, work material properties, cutting speed, feed rate, depth of cut and radial width of cut. By using the exact kinematics of milling motion that traces a trochoidal path, the exact chip thickness removed by a point on the cutting tool edge is modeled analytically. The cutting forces are proportional to the chip thickness as well as the material properties and tool geometry. When the forces are summed along the cutting edge, the total forces acting on the spindle and part are predicted. The thesis also provides a generalized parametric representation of complex cutter geometry, such as variable pitch angles between the successive teeth, bull nose inserts, helical ball end mills and tapered helical ball end mills which are used in aerospace and die machining industry. In this study, there are three main objectives, which are; -Developing generalized geometric model for arbitrary end mills and investigation of mechanics and dynamics, - Developing generalized geometric model for inserted (indexable) cutters and investigation of mechanics and dynamics, -xvii- - Analytical prediction of chatter stability lobes as well as an analytical design technique for chatter free variable pitch cutters. Generalized end mill geometry envelope is defined in a similar manner to the parametric representation used by APT and CAD/CAM software systems. The formulation of cutting edge coordinates on the cutter is presented. It is shown that a vast variety of helical end mill geometries can be designed using the proposed geometric model. The modeled cutting edge is broken into small segments which may have varying cutting constants. As application examples, case studies involving helical ball end, tapered helical ball end, and bull nose cutters are presented. It is experimentally shown that the developed model can be used in predicting cutting forces, vibrations, dimensional surface finish, as well as chatter stability lobes for any cutter geometry within the defined envelope. Mechanics and dynamics of this geometry were investigated using a technique similar to one presented for ball end milling by Altıntaş and Lee. The end mill geometry is modeled by helical flutes wrapped around a parametric envelope. The coordinates of a cutting edge point along the parametric helical flute are mathematically expressed. The cutter is divided into small disk elements, enabling the mechanics and dynamics of milling to be solved for each element. The chip thickness at each cutting point is evaluated by using the true kinematics of milling, including the structural vibrations of both the cutter and workpiece. By integrating the process along each cutting edge which is in contact with the workpiece, the cutting forces, vibrations, dimensional surface finish and chatter stability lobes for an arbitrary end mill are predicted. The predicted and measured cutting forces, surface roughness and stability lobes for ball, helical tapered ball, and bull nosed end mills are provided to illustrate the viability of the proposed generalized end mill analysis. Inserted cutters are widely used in roughing and finishing of parts. The insert geometry and distribution of inserts on the cutter body vary significantly in industry depending on the application. A generalized mathematical model of inserted cutters geometry were developed for the purpose of predicting cutting forces, vibrations, dimensional surface finish and stability lobes in milling. The edge geometry is defined in the local coordinate system of each insert, and placed and oriented on the cutter body using the cutter's global coordinate system. The cutting edge locations are defined mathematically, and used in predicting the chip thickness distribution along the cutting zone. Each insert may have a different geometry, such as rectangular, convex triangular or a mathematically definable edge. Each insert can be placed on the cutter body mathematically by providing the coordinates of the insert center with respect to the cutter body center. The inserts can be oriented by rotating them around the cutter body, thus each insert may be assigned to have different lead and axial rake angles. By solving the mechanics and dynamics of cutting at each edge point, and integrating them over the contact zone, it is shown that the milling process can be predicted for any inserted cutter. A sample of inserted cutter modeling and analysis examples are provided with experimental verifications. A new variable cutting coefficient model along the z direction was applied to the inserted cutters by using average cutting coefficients method, which is presented in detail by Budak et. al. The dynamic investigations of inserted cutter were done by using time domain and analytical solution proposed by Altıntaş and Budak. -xvm- The thesis also considers the vibrations produced during milling. The structural dynamic model of the cutter is modeled as a multi-degree of freedom system but is lumped at the tool tip. The equation of motion of the flexible cutter is added to the evaluation of the chip thickness. The cutting forces and surface finish generated during milling with vibrations are predicted in time domain. The vibrations of the tool and workpiece are calculated based on the dynamic behaviour of the machine- tool, the workpiece dynamics and the cutting forces. By analyzing the exponential growth of vibrations, the stability of the cutting operation is investigated. The presence of the chatter vibrations, or chatter stability, is predicted by linearizing the dynamic milling and solving the eigenvalue problem analytically. The critical chatter stability border, which is characterized by the prediction of borderline stable axial depths of cut and spindle speeds, are predicted analytically. Analytical solutions are proven with time domain solutions. An analytical prediction of stability lobes for milling cutters with variable pitch angles is also presented in this thesis by modifying uniform pitch cutters stability lobe solution, which is previously developed by Altıntaş and Budak. This method requires the cutting constants, number of teeth, and transfer function of the cutter mounted on the machine tool as inputs to a chatter stability expression. The stability is formulated by transforming time varying directional cutting constants into time invariant constants. Constant regenerative time delay in uniform cutters is transformed into non-uniform multiple regenerative time delay for variable pitch cutters. The chatter free axial depth of cut is solved from the eigenvalues of the stability expression, whereas the spindle speed is identified from regenerative phase delays. The proposed technique has been verified with extensive cutting tests and time domain simulations. Shirase and Altıntaş' static model of cutting forces and chip load generation for variable pitch cutters are used. The practical use of the analytical solution of variable pitch cutters is demonstrated by an optimal tooth spacing design application, which increases the chatter free depths of cut significantly. The main idea in designing a cutter with different pitch angles is to obtain different phase angles between successive surface waves which enable a larger depth of cut to be achieved, without chatter, compared to the uniform pitch case. The pitch angles are chosen in such a manner that the axial depth of cut is maximized for a given spindle speed. The developed method gives all the possible pitch angles at a specified speed range where it is tuned to provide minimum regeneration for a given set of machine tool dynamics, i.e. machine - spindle - cutter assembly. Variable pitch cutter design was implemented for a case of cutting A1356 with a four fluted cutter at a spindle speed of 5000 rev/min, which gives optimum tool life for the workpiece and the cutter, as 70°-110o-70o-110° instead of 90o-90°-90o-90°. As a result, the stable maximum depth of cut increased more than three times under the same cutting conditions, but only changing the cutter pitch angles. This improvement was verified with experiments and simulations in frequency and time domain. The mathematical and simulation models presented in this thesis are all verified experimentally. Results such as cutting forces, workpiece and spindle vibrations, stability lobes, chatter frequencies and surface finish profiles were obtained through frequency domain analyses and time domain simulations, which were in close agreement. A laser displacement sensor, accelerometers, force dynamometers,^ -xix- impact hammers with force sensor, an acoustic microphone, and a laser surface scanner were used to measure input and output variables of the milling simulations. The experimental and simulated results were very close to each other under these carefully controlled conditions. Throughout all this work, more than two thousands cutting tests were done to verify the theory, which is developed in the thesis. Some of the cutting tests were repeated several times to obtain accurate results. Some of the tests results, which gave wrong outcomes, were not given in the thesis. The simulations incorporating the theoretical work developed in this thesis, can be an quite useful tool to identifying the optimum cutting conditions for improved productivity. The models are coded in a -PC program, and released to various companies who support the research financially at The University of British Columbia - Manufacturing Automation Laboratory. The feedback received from the users in the companies is incorporated into the research.