Chebyshev Polinomları Ve Adi Diferansiyel Denklemlerin Seri Çözümleri

Abstract

Günümüzde başta fizik, mekanik ve kimya olmak üzere çok sayıda alandaki bilimsel problem diferansiyel denklem formunda ortaya çıkmaktadır. Bunların büyük kısmının kesin analitik çözümünü bulmak zordur. Dolayısıyla, kesin çözüme son derece yakın sayısal çözümler bulmak adına birçok teknik denenmiştir. Örnek olarak; Euler, Taylor, Runge-Kutta ve asimptotik açılımlar sayılabilir. Euler, Taylor ve Runge-Kutta metodlarında büyük değerleri için başlangıç koşullarını sağlamak oldukça zordur. Asimptotik açılımlar bu hususta daha çok kolaylık sağlasa da, sınırlı derecede doğruluğa sahip olup önemli sayıda basamak kaybına yol açar. Bir diğer teknik ise bu olumsuzluklardan sıyrılabilen ve sayısal hesaplamalarda sıklıkla kullanılan Chebyshev yöntemidir. Chebyshev yöntemi, fonksiyona belirli bir aralıkta yaklaşım yaparken, hatayı mümkün olduğunca az yapacak noktalar seçerek bunlara karşılık gelen interpolasyonları arar. Chebyshev yaklaşımı olarak adlandırılan bu interpolasyonları bulmanın en verimli yolu Chebyshev polinomlarını ( ) kullanmaktır. Verilen aralık aralığına uyarlanarak, fonksiyon serisi şeklinde açılır. Chebyshev polinomlarının en büyük avantajlarından biri sayısal diferansiyellenme ve sayısal integrasyonun çok hızlı gerçekleşmesidir. Bir diğeri ise fonksiyonu sonsuz diferansiyellenebilir yapan Chebyshev açılımları sayesinde düzgün (smooth) fonksiyonların iyi temsil edilebilmesidir. Açılım katsayıları ’ ler , sonsuza giderken hızlıca sıfıra yakınsarlar. Bunun yanında, Chebyshev yönteminin sınır değer problemleri ve akışkanlar mekaniğinin sayısal çözümlerinde de başarılı olduğu kanıtlanmıştır. Chebyshev polinomları Rus matematikçi Chebyshev tarafından 1854 yılında tanıtılmış olup [1], diferansiyel denklemlerde kullanılmak üzere Lanczos [2] ve Clenshaw [3-7] tarafından tekrar ele alınmıştır. Konu hakkında geniş bilgi Fox ve Parker’ın kitabında bulunabilir [8]. Son yıllarda ise; Sezer, Gülsu ve Tanay yüksek mertebe lineer adi diferansiyel denklemler [9] için, Elbarbary ve El Kady sınır değer problemleri [10] için, Khalifa, Elbarbary ve Elzarek ikinci ve dördüncü mertebe eliptik denklemler [11] için, Muite dördüncü mertebe yarı lineer başlangıç sınır değer problemleri [12] için Chebyshev polinomlarını kullanmışlardır. Bunun yanında Ramos ve Rubio, Runge-Kutta ile Chebyshev geri rekürsif diferansiyellenmesi arasındaki ilişkiyi [13]; Clenshaw ve Curtis, sayısal integrasyonda Chebyshev’in nasıl kullanılabileceğini [5]; Skogestad ve Kalisch, Korteweg-de Vries sınır değer probleminin çözümünde sonlu fark ve Chebyshev yönteminin karşılaştırmasını [14], Sezer ve Kaynak Chebyshev matrix yöntemini [15] ortaya koymuşlardır. Bu çalışmada Birinci bölümde önce Taylor polinomlarının yetersizliği ve Chebyshev polinomlarına neden gerek duyulduğu anlatılıp, daha sonra Chebyshev polinomları tanımlanmış, kökleri ve ekstremum değerleri elde edilmiştir. Bununla birlikte yönetici katsayısı birim olan Monik Chebyshev polinomları takdim edilip, aralığında tanımlı olan Chebyshev polinomunun diğer aralıklara nasıl uyarlandığı gösterilmiştir. Bu hususta özellikle aralığına uyarlanma önemli bir yer teşkil etmektedir. Bu bölümün sonunda bazı Chebyshev ifadelerinin seri açılımları daha sonraki bölümlerde kullanılmak üzere verilmiştir. İkinci bölümde ise beşinci bölümde bahsedilecek olan diferansiyel denklem çözümlerinde sıklıkla kullanılan Chebyshev fonksiyonlarının integral ve türevleri verilerek, birinci bölümdeki tanım ve teoremler yardımıyla ispatlanmıştır. Üçüncü bölümde herhangi bir fonksiyon yerine interpolasyon kullanmakla yapılan hata analizi ile, Lagrange interpolasyonları yerine, bu yöntemde düğüm noktalarının Chebyshev polinomlarının kökleri olarak seçilmesine dayanan Lagrange-Chebyshev interpolasyonunu kullanmanın daha az hataya neden olduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu sonucun bir başka faydası olarak; verilen hata toleransı içinde kalacak şekilde interpolasyon polinomlarının mertebesi indirgenerek, gerçek problemlerin çözüm aşamalarında hesap ekonomikleştirmesi yapılabilmesi sayılabilir. Dördüncü bölümde önce . mertebe fark denklemi ve diferansiyel denklemler için, sonra birinci ve ikinci mertebe rekürans bağıntıları için hata analizi yapılmıştır. Burada ikinci mertebe rekürans bağıntılarında başlangıç ve sınır değer problemleri ayrı ayrı ele alınıp detaylandırılmış, geriye rekürans bağıntısı kullanmakla ortaya çıkan hatanın belirli bir değerden küçük kalacağı gösterilmiştir. Son olarak, beşinci bölümde ise Chebyshev polinomlarının adi diferansiyel denklemlerin seri çözümleri için nasıl kullanıldığı ispatları ile gösterilmiştir. Bunun için, doğrudan hesap, geriye rekürsif ilişki ve geriye rekürsif ilişkinin biraz daha geliştirilmiş hali olan Clenshaw yöntemleri ile adi diferansiyel denklemlerin çözümleri verilmiş, karmaşık başlangıç değer ve sınır değer problemleri çözülmüştür.

In recent years, a huge number of scientific problems especially in mechanic, chemistry and physics have occurred in a differential equation form. The analytical exact solutions of most of these problems can’t easily be found. Therefore, a lot of methods such as Euler, Taylor, Runge-Kutta and asymptotic expansions have been tried to get numerical solutions which are close to exact solutions. While using the methods of Euler, Taylor and Runge-Kutta, it is really hard to satisfy initial conditions for large values. Although asymptotic expansions are more successful at that point, they have limited accuracy and cause in a significant amount of digit loss. Another method which has no negativities mentioned before and used frequently in numerical computations is called Chebyshev method. According to the Chebyshev method, the values of where the functions are interpolated should be carefully chosen so as to make the error as small as possible. The most efficient way to find these points (Chebyshev nodes) and corresponding interpolations (Chebyshev approximations) is the usage of Chebyshev polynomials ( ). Any given interval can be adapted to and then, the function is expanded as series. One of the most important advantages of using Chebyshev polynomials is the fast performation of the numerical integration and differentiation. Another advantage is the good representation of smooth functions which are made infinitely differentiable by Chebyshev expansions. The coefficients of expansions converge fastly to the zero as the number of series terms go to infinity. Moreover, it has been proven that Chebyshev method is successful on numerical solutions of boundary value problems and fluid mechanics. Chebyshev polynomials has been introduced in 1854 by Chebyshev [1] and reconsidered to solve differential equations by Lanczos and Clenshaw [2]. There is huge information about this topic on the book of Fox and Parker [8] . Recently, there has been a lot of studies in which Chebyshev poynomials are used: Sezer et al. used these polynomials for higher-order linear ordinary differential equations [9] . Elbarbary and El Kady solved boundary value problems by using Chebyshev method [10]. Khalifa et al. obtained the solution of second and fourth order elliptic equations by Chebyshev method [11]. Furthermore, Muite adapted this method to the fourth order semilinear initial boundary value problems. Besides, Ramos and Rubio pointed out the relation between Runge-Kutta and Chebyshev backward recursive differentiation [13], Clenshaw and Curtis explained how to use Chebyshev polynomials in numerical integration [5] and Sezer and Kaynak constructed the Chebyshev Matrix method which has been developed by Chebyshev polynomials [15]. In this study, firstly the insufficiency of Taylor series and why Chebyshev polynomials are needed has been declared in the first section. Then, the roots and the extremum points of Chebyshev polynomials has been calculated. Moreover, Monic Chebyshev polynomials whose the leading coeeficient is unit has been represented. The adaptation of the Chebyshev polynomials which are defined in to the any given interval has been shown. interval is really remarkable at this point. Finally, to be used in next sections, series expansions of some Chebyshev expressions has been given at the end of the section. In the second section, the integrals and the derivatives of Chebyshev functions which are frequently used in solution of differential equations has been introduced by using the definitions and theorems given in the first section. The error analyses of using interpolation and using Lagrange-Chebyshev interpolation whose nodes are choosen as the roots of Chebyshev polynomials instead of Lagrange interpolation have been demonstrated in the third section. At this point, it should be emphasized that Lagrange-Chebyshev method has smaller error. Moreover, another advantage of this result is the economization in calculations while computing real problems by reducing the order of interpolation polynomials in given error tolerance. In fourth section, the error analyses for the . order difference equation and differential equation, then the error analyses for first and second order recurrence relations have been made. The initial value and boundary value problems has been separately investigated in detail in the second order recurrence relation and it has been proven that the error occuring in backward reccurrence relation is always smaller than a certain value. Finally, it has been illustrated how Chebyshev polynomials are used for serial solutions of ordinary differential equations with proofs in the last section. For the solutions of ordinary differential equations by using Chebyshev series expansion, the methods of direct calculation, backward recurrence relation and Clenshaw method which is the improved version of backward recurrence relation has been given. Besides, to illustrate them, some reasonably difficult inital value and mixed boundary value problems have been solved.