Learning Of Interval Type-2 Fuzzy Logic Systems Using Big Bang – Big Crunch Optimization

Abstract

Bulanık mantık kavramının tarihi 1965 yılında Prof. Lotfi A. Zadeh’in ilk makalesiyle başlamıştır.. Bulanık mantık, klasik mantık kurallarının esnek bir biçimde uygulanması, bulanık kümeler ise klasik küme gösteriminin genişletilmiş halidir. Klasik mantık yaklaşımda bir varlık bir kümenin ya kesin bir biçimde elemanıdır ya da değildir. Ancak bulanık mantık yaklaşımında, bir varlık bir kümenin kısmi biçimde elemanı olabilir. 1965 yılında Zadeh’in önerdiği şekilde bulanık üyelik fonksiyonları içeren tip-1 bulanık sistemler, mühendisliği problemlerinde, matematiksel modeli tam olarak elde edilemeyen ve/veya doğrusal olmayan sistemlerin modellenmesinde ve kontrol edilmesinde etkin bir araç olarak kullanılmaktadır. Ancak son yıllarda gösterilmiştir ki tip-1 bulanık kümeler kendilerine ait elemanları sadece [0, 1] aralığında bir sayıyla ifade ettikleri için bu kümelerle elde edilen tip-1 bulanık sistem modelleri gerçek sistem dinamiklerinde mevcut olan belirsizlikleri içermekte bazen yetersiz kalmaktadır. Bu yetersizliğin temelde tip-1 bulanık kümelerin keskin üyelik değerlerinden kaynaklandığı gösterilmiştir. Tip-2 bulanık küme kavramı da yine Zadeh tarafından tip-1 bulanık kümelerin (klasik bulanık kümeler) bir genişlemesi olarak sunulmuştur. Bünyesinde en az bir tane tip-2 bulanık küme bulunduran bulanık sistemlere tip-2 bulanık sistem denmektedir. Tip-2 bulanık sistemlerin en önemli özelliği sistem dinamiğindeki belirsizlikleri üyelik fonksiyonlarında bir başka bulanık küme ile ifade edebilme yetenekleridir. Bir diğer deyişle tip-2 bulanık kümeler bulanık-bulanık kümelerdir. Ancak tip-2 bulanık kümelerin karmaşık iç yapıları ve tip-2 bulanık kümelerin hesaplama yükü sebebiyle tip-2 bulanık sistemler günümüzde hala yeterince geliştirilememiştir. Çünkü tip-1 bulanık kümeler yerine tip-2 bulanık kümeler ile uğraşmak bulanık çıkarım mekanizmasına tip indirgeme adında yeni bir operasyon eklemiştir. Tip indirgeme işlemi, bulanık kuralların öncül kısmındaki tip-2 bulanık kümelerini durulama işlemi öncesinde tip-1 bulanık kümelere indirgemek için kullanılır. Ancak tip indirgemenin genellikle iteratif algoritmalar ile gerçeklenmesi tip-2 bulanık sistemlerin hesaplama yükünü arttırmış ve iç yapısının incelenmesini engellemiştir. Bu sebeple tip-2 bulanık sistemlerin zorluklarını yok etmek için, tip-2 bulanık sistemlerin özel bir hali olan aralık değerli tip-2 bulanık sistemler önerilmiştir. Aralık değerli tip–2 bulanık sistemler, EĞER-O HALDE şeklindeki bulanık kurallardan oluşmaktadır. Tip–2 bulanık mantık sistemlerin kural yapısındaki öncül ve/veya sonuç önermeleri aralık değerli tip–2 bulanık kümeleriyle ifade edilmektedir. Sistemin çıkışını hesaplayabilmek için, ilk önce bulanıklaştırma bloğunda keskin girişler tip–2 bulanık kümelere dönüştürülürler. Daha sonra, çıkarım mekanizması tanımlanmış kuralları kullanarak giriş değerlerini tip–2 bulanık değerlerine dönüştürür. Elde edilen tip–2 bulanık küme çıkışları, tip indirgeme mekanizması ile tip–1 bulanık kümelere dönüşürler. Tip indirgeme işlemi ile elde edilen kümeler durulaştırıcı mekanizması ile keskin çıkışlara dönüştürülür. Günümüzde de aralık değerli tip-2 bulanık sistem açık bir şekilde bulanık mantık alanında yapılan çalışmalara yön vermektedir. Aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemler, sıvı seviye kontrolü, otonom mobil robot kontrolü, süreç kontrolü, pH kontrolü, biyoreaktör kontrolü ve modelleme gibi birçok farklı kontrol alanındaki uygulamalarda gerçeklenmiştir. Yapılan çalışmalarla gösterilmiştir ki aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemleri öncül üyelik fonksiyonlarındaki belirsizlik izdüşümü tarafından sağlanan fazladan serbestlik derecesi sayesinde tip-1 eşdeğerlerine kıyasla daha iyi modelleme ve kontrol performansları sağlamaktadır. Ayrıca aralık değerli tip-2 bulanık mantık tabanlı sistemler, tip-1 eşdeğerlerine kıyasla daha yumuşak çıkışlar üretmektedir ve bu durum belirsizlikler karşısında daha iyi performans göstermesini sağlamaktadır. Yapılan bazı çalışmalarda değinilmiş olsa da, aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemlerinin tasarımı günümüzde hala geliştirilmeye açık bir konu olarak değerlendirilmektedir. Bunların yanında, hesaplama yükünü azaltmak için orijinal Karnik-Mendel algoritmasına alternatif bir çok tip indirgeme algoritması önerilmiştir. Ancak tip indirgemenin temel problemlerinin üstesinden hala gelinememiştir çünkü alternatif tip indirgeme yöntemleri Karnik-Mendel algoritmasının yenilikçi ve uyarlamalı olmak üzere iki temel özelliğini taşımamaktadır. Literatür incelendiğinde araştırmacıların son yıllarda ilgisi aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemleri daha iyi anlamak, kararlılık analizlerini gerçekleştirmek, farklı amaçlarla tasarım yöntemleri geliştirebilmek için devam etmektedir. Bu tez içerisinde, öncelikle tip-1 bulanık kümeler ve sistemlerden bahsedilmiş, bir bulanık mantık sistemin parçaları olan giriş-çıkış üyelik fonksiyonları, bulanıklaştırma, çıkarım mekanizması ve durulamanın üzerinde durulmuştur. Daha sonra tip-2 bulanık kümelerin kullanıldığı tip-2 bulanık mantık sistemler tanıtılmış, buradan hareketle aralık değerli tip-2 bulanık kümelere geçilip aralık değerli tip-2 bulanık sistemlerin avantajları öne çıkarılmıştır. Araştırmacılar tarafından tip-2 bulanık sistemler için önerilmiş olan tip indirgeme algoritmalarından söz edilmiştir. Bu başlangıç kısımlarından sonra, önerilen Büyük Patlama - Büyük Çöküş (BP-BÇ) global optimizasyon algoritması ile aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemlerin eğitilmesi yöntemi detaylı olarak anlatılmıştır. BP-BÇ global optimizasyon algoritması, genetik algoritmada olduğu gibi doğadan esinlenmiştir. Evrenin oluşum teorilerinden biri olan Büyük Patlama – Büyük Çöküş evrim teorisine dayanmaktadır. Büyük Patlama aşamasında, arama uzayında rastgele çözümler üretilir, daha sonra Büyük Çöküş aşamasında bir daraltma operatörü yardımıyla bir sonraki nesil için bir başlangıç vektörü üretilir. Klasik genetik arama yöntemlerinde olduğu gibi, evrimsel operatörlere ihtiyaç duymadığı için az bir hesaplama zamanına ve yüksek yakınsama hızına sahiptir. Bu özelliğinden dolayı çevrimiçi kontrol uygulamalarında kullanılma uygundur. BP-BÇ Optimizasyonu 2 ana aşamadan oluşmaktadır. Birinci aşamada Büyük Patlama gerçekleşir. Bu bölümde arama uzayında rastgele dağıtılmış problemin çözümü olabilecek bireyler oluşturulur. Büyük Çöküşün gerçekleştiği ikinci aşamada ise bir daraltma prosedürü gerçekleştirilerek popülasyonun ağırlık merkezi bulunur. İlk Büyük Patlama aşamasında, diğer evrimsel arama algoritmalarında olduğu gibi bireyler bütün arama uzayını kapsayacak şekilde rastlantısal olarak oluşturulur. Bunu takıp eden Büyük Patlama aşamalarında ise bireyler ağırlık merkezinin ya da en iyi birey etrafında rastlantısal olarak dağıtılmış olarak oluşturulur. Kısaca, bu yeni evrimsel arama algoritmasının çalışma prensibi yakınsamış bir çözümü kaotik bir duruma dönüştürerek yeni çözüm kümeleri oluşturmaktadır. Önerilen yöntemin temeli belli koşullar altında elde edilmiş olan en iyi tip-1 bulanık mantık sistem modelinden yola çıkarak daha iyi bir aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistem modeli elde etmeye dayanmaktadır. Buradaki amaç, aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemlerin farklı koşullar altındaki (saf data, gürültülü data) modelleme performanslarının elde edilebilen en iyi tip-1 eşdeğerlerinden daha iyi olduğunu göstermektir. Bu aşamadan sonra farklı özelliklere sahip olan sistemleri tip-2 bulanık modelleme aşamasına geçilmiştir. Benzetim çalışmalarında kullanılan veriler, Isı İletimi Süreci dinamik sistemine ait saf giriş-çıkış dataları, aynı sisteme ait gürültülü giriş-çıkış dataları ve gerçek verilerden oluşan El Nino Southern Oscillation (ENSO) indeksi zaman serisi datalarıdır. Benzetimlerde öncelikle sistemleri tip-1 bulanık modelleyip sonrasında ilgili tip-1 bulanık modellerden daha iyi aralık değerli tip-2 bulanık modeller elde edilmeye çalışılmıştır. MATLAB’ın Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS) programı ile tip-1 modellemeler yapılmıştır. Tip-1 modellemelerde ANFIS’in kullandığı ortalama hata kareleri kökü amaç fonksiyonu kullanılmış, her girişe 2 adet üyelik fonksiyonu atanmış ve giriş üyelik fonksiyonlarının tipi Gauss olarak seçilmiştir. Giriş üyelik fonksiyonu tipi olarak Gauss seçilmesinin nedeni sadece 2 (merkez, sigma) parametre ile üyelik fonksiyonun tanımlanabilmesidir. Isı İletim Süreci dinamik sistemine ait giriş-çıkış datalarının modellenmesinde seçilen regresyon yapısı hem geçmiş giriş, hem de geçmiş çıkış değerlerine dayanmaktadır. ENSO indeksi zaman serisi datalarının modellenmesinde seçilen regresyon yapısı ise sadece geçmiş çıkış değerlerine dayanmaktadır. Isı İletimi Süreci verileri için 2 ve 3 elemanlı (2 ve 3 girişli) regresyon vektörleri kullanılırken, ENSO indeksi zaman serisi modellemesinde sadece 2 elemanlı (2 girişli) regresyon vektörü kullanılmıştır. Regresyon vektörlerinin elemanlarının seçiminde ortalama hata kareleri kökü amaç fonksiyonuna dayanarak bir seçim yapılmıştır. Öncelikle aday regresyon elemanları tanımlanmıştır. Isı İletimi Süreci modellemesi için aday regresyon elemanları olarak girişin önceki son 6 datası, çıkışın önceki son 4 datası olmak üzere 10 adettir. ENSO indeksi zaman serisinin modellenmesinde ise aday regresyon elemanları olarak çıkışın önceki son 12 datası ve çıkışın önceki 26. datası olmak üzere 13 aday kullanılmıştır. Bu aday regresyon elemanlarından sezgisel bir yöntemle ortalama hata kareleri kökü amaç fonksiyonunu minimize edecek şekilde en iyi regresyon ikilileri ve üçlüleri elde edilmiştir. Kullanılan sezgisel yöntem, öncelikle her bir regresyon elemanı adayının ortalama hata kareleri kökü değerine bakıp bunlardan en küçük olanını seçip, bu seçilen regresyon elemanının yanına kalanları teker teker ekleyip elde edilen ortalama hata kareleri kökü değerlerine göre en iyi ikiliyi üretip, gerekirse aynı prosedürle en iyi üçlüleri elde etmektedir. Daha sonra BP-BÇ global optimizasyon algoritması kullanılarak ortalama hata kareleri kökü amaç fonksiyonu değerleri tip-1 bulanık modellere göre daha da minimize edilmeye çalışılarak aralık değerli tip-2 bulanık modellere ulaşılmıştır. Optimizasyon sırasında giriş Gauss üyelik fonksiyonlarının merkez değerleri tip-1 modellerdeki gibi bırakılmış, sadece sigma (σ) değerleri optimizasyon parametreleri olarak alınmıştır. Çıkış üyelik fonksiyonları ise Takagi-Sugeno lineer tip olarak seçilmiş olup, tip-1 modellerdeki gibi bırakılmıştır. Benzetim çalışmalarında elde edilen performanslara bakılarak belli koşullar altında elde edilmiş olan en iyi tip-1 bulanık modellerden daha iyi aralık değerli tip-2 bulanık modeller elde edilebildiği, aralık değerli tip-2 bulanık modellerin sisteme ait nonlineerlik ve belirsizlikleri tip-1 eşdeğerlerine nazaran daha iyi ifade ettikleri görülmüştür.

History of the fuzzy logic began with the first article in 1965 written by Prof. Lotfi A. Zadeh. Fuzzy logic is flexible application of classical logic rules, fuzzy sets is the extension of the classical set notation. In classical logic approach, an entity is a member of a cluster in a precise manner or not. However, in fuzzy logic approach, an entity may be a cluster member in a partial manner. In 1965, Zadeh proposed the fuzzy membership functions containing type-1 fuzzy systems. These systems are widely used in engineering problems, modeling and control of the nonlinear systems whose the mathematical model is not exactly obtained. However, in recent years it has been shown that type-1 fuzzy sets can define their members only a number in [0,1] interval. That’s why type-1 fuzzy models obtained with type-1 fuzzy sets remain incapable of containing the uncertainties in the actual system dynamics. The concept of type-2 fuzzy sets are also proposed by Zadeh as an extension of type-1 fuzzy sets (classical fuzzy sets). Type-2 fuzzy systems include at least one type-2 fuzzy set. The most important property of type-2 fuzzy systems is their ability to express the uncertainties in system dynamics with another fuzzy set at membership functions. In other words, type-2 fuzzy sets are fuzzy-fuzzy sets. As shown in recent studies, type-2 fuzzy models outperforms type-1 fuzzy models in identification and modeling of the systems with uncertainties and/or nonlinearities. Type-2 fuzzy sets are also used in fuzzy controller design and it has been shown that type-2 fuzzy sets are good at expressing the relationships between input and outputs of fuzzy controllers. On the other hand, working with type-2 fuzzy systems leads to more computational complexity according to the study with type-1 fuzzy systems. Therefore, a special case of type-2 fuzzy sets called interval type-2 fuzzy sets was proposed. The efficiency and advantages of interval type-2 fuzzy systems are also shown in control and modeling applications. In literature, there are many systematic methodology of designing and modeling of type-2 fuzzy systems. In this thesis, primarily type-1 fuzzy sets and systems are explained, after type-2 fuzzy systems that use type-2 fuzzy sets are have been introduced, and the advantages of interval type-2 fuzzy sets are highlighted. Early proposed type reduction and defuzzification structures for type-2 fuzzy systems have been mentioned. After this stage, type-2 fuzzy modeling of the systems has started. Primarily, the systems are modeled with type-1 fuzzy systems and secondly better interval type-2 fuzzy models are investigated from type-1 fuzzy models point of view. Type-1 fuzzy modeling has been performed by MATLAB Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System (ANFIS) toolbox. Then, Big Bang-Big Crunch (BB-BC) algorithm is employed using root mean square error (RMSE) cost function in order to obtain better interval type-2 fuzzy models than type-1 fuzzy models by minimizing the cost function. During the optimization process, only the parameters of input membership (locations) functions are searched. As output membership functions, Takagi-Sugeno linear type is selected and they remain the same as in type-1 fuzzy models. Simulations are carried on with the input-output data of PT-326 Heat Transfer Process Trainer dynamic system and the real world data of El Nino Southern Oscillation (ENSO) index. Simulation studies show that better interval type-2 fuzzy models can be found as compared with the optimal type-1 fuzzy models which leads to state that interval type-2 fuzzy models can express the nonlinearity and uncertainties better than type-1 fuzzy models. The superiority of interval type-2 fuzzy models are more obvious to see when the measurement noise is added to the input-output data.