Kapalı Ortamlara Yerleştirilen Objelere İlişkin Düz Ve Ters Saçılma Problemleri

thumbnail.default.placeholder
Tarih
2015-10-23
Yazarlar
Dilmaç, Gizem
Süreli Yayın başlığı
Süreli Yayın ISSN
Cilt Başlığı
Yayınevi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Institute of Science and Technology
Özet
Bu tez çalışmasında, mükemmel iletken bir yüzey ile kapatılan ortamlara gömülü dielektrik cisimlerin görüntülenmesi gerçekleştirilmiştir. Tüm örneklerde boş uzay manyetik geçirgenliği kullanılmıştır. Boş uzayın iletken bir yüzey ile çevrelenerek incelenmesindeki amaç, yüzeylerden yansıyacak alanların etkisini gözlemleyebilmektir. Oluşan yansımaların görüntü kaynakları gibi davranarak daha iyi sonuçlar ortaya çıkaracağı öngörülmüştür. Öncelikle keyfi cisimler için saçılan alan hesabı güçlü bir nümerik yöntem olan Momentler Metodu yardımı ile yapılmıştır. Daha sonra saçıcıların konumu, geometrisi ve fiziksel özellikleri, iletken çevrelemenin olduğu ve olmadığı iki farklı ortam için ayrı ayrı bulunmuştur. Tüm uygulamalar MATLAB ortamında gerçekleştirilmiştir.  Momentler Metodu 1960’lardan beri yaygın olarak kullanılan bir frekans domeni çözücüdür. MoM teorisi, zamanda harmonik elektromanyetik alan integral denklemlerini ayrıklaştırarak lineer bir matris sistemi tasarlamayı hedeflemektedir. Lineer cebir teknikleri uygulanarak, problem matris denklemleri için kolaylıkla çözülebilmektedir. MoM çözümündeki integral denklemi Fredholm denkleminin tanımı gereği Green fonksiyonu içermektedir. Green fonksiyonu analitik olarak hesaplandığı için MoM yarı nümerik bir metot olarak kabul edilmektedir.  Saçılma problemleri düz ve ters saçılma problemleri olmak üzere iki kategoriye ayrılmıştır. Düz saçılma bilinen gelen alan (kaynak), saçıcı ve ortam parametreleri kabulü altında saçılan alanları hesaplamaktadır. Diğer taraftan, ters saçılma gelen ve saçılan alanların bilindiği durumlarda cisim profillerinin elde edilmesiyle ilgilenmektedir. Düz saçılma problemleri iyi tanımlanmış problemlerdir; bu yüzden çözümleri vardır, tektir ve kararlıdır. Ancak ters saçılma problemleri için kötü koşulluluk (ill-conditioned) olarak bilinen başlangıç verisindeki küçük hataların sonuçta çok büyük hatalara sebep olması durumu ortaya çıkabilmektedir. Çözüm matris sisteminde gerçekleştirildiği için, koşul sayısının çok büyük olduğu hallerde matrisler kötü koşullu olabilmektedir. Bu yüzden, ters problemlerin yeniden formüle edilmesi gerekmektedir. Problemi çözülebilir hale getirebilmek için ek varsayımlar yapılmalıdır. Bu işleme regülarizasyon denilmektedir. 1963 yılında A. N. Tikhonov kendi soyadıyla anılan bir regülarizasyon yöntemi önermiştir. Bu tezdeki örneklerde ortaya çıkmış olan tüm kötü koşulluluk durumları Tikhonov regülarizasyonundan yararlanılarak yok edilmiştir.  Bu çalışmada öncelikle kapalı ortamlara gömülü cisimlere ilişkin ters saçılma problemi, ilgili Green fonksiyonu yardımıyla bir integral denklem sistemi şeklinde ifade edilmiştir. İlgili Green fonksiyonu silindirik harmonikler cinsinden bir seri ile analitik olarak bulunmuştur. Probleminin formülasyonundaki integral denklem düz problemi de ifade ettiğinden, öncelikle düz problem kanonik bir yapı için Momentler Metodu ile çözülmüştür ve saçılan alanlar elde edilmiştir. Bahsedildiği gibi Momentler Metodu uygulanırken integral denklemi ayrıklaştırılarak her bir hücre için toplam alan hesabı yapılır. Hücre boyutlarını olabildiğince küçük seçmek cisimlerin daha iyi modellenmesini sağlayacaktır. Bu çalışmadaki örneklerde kullanılan objeler kenar uzunlukları en çok λ/16 olan karesel hücrelere ayrılmıştır. Cismin olabildiğince küçük parçalara ayrılması elbette önemlidir ama matrislerdeki aşırı büyümeler hesaplama yükünü arttırmaktadır ve MATLAB ortamında işlem yapmak mümkün olamamaktadır. Bu yüzden, hücre boyutları genelde λ/10 ile λ/20 arasında seçilmektedir. MoM yönteminin formülasyonunun ve ölçülen saçılan alan verisinin doğruluğu çok önemlidir. Nümerik yöntemin doğruluğunu teyit etmek için dairesel silindirik bir objeye ilişkin analitik çözüm gerçekleştirilmiştir. Green fonksiyonu iki boyutlu enine manyetik polarize çizgisel bir kaynak olarak kullanılmıştır. Görülmüştür ki simülasyon alanına tek bir çizgisel kaynak enjekte edildiği durumlarda cisim görüntülenmesi yapılırken bazı durumlarda iyi sonuçlar ortaya çıkmamaktadır. Bu sebeple, çoğu örnekte cisimler birden çok kaynak yardımıyla uyarılmıştır. Dahası, birden çok gözlem noktası saçıcının etrafına eşit aralıklarla yerleştirilmiştir. Düz problem çözümü yapılıp saçılan alanlar ölçüldükten sonra kapalı ortamlara gömülü cisimlerin konumları ve fiziksel özelliklerinin belirlenmesi için probleme tersleme algoritmaları uygulanmıştır.  Ters saçılma problemi ilk olarak ancak özel bazı kısıtlama ve koşullarda geçerli, fakat oldukça basit bir yöntem olan Born Yaklaşımı ile daha sonra da daha genel bir metot olan Newton yöntemi ile çözülmüştür. Born Yaklaşımı, çalışma frekansı ve aranan cisim fonksiyonunun düşük olduğu durumlarda iyi sonuçlar vermektedir. Born metodu cisim fonksiyonunu bulmak için, problemin integral denklemindeki toplam alanlar yerine sadece gelen alan verisi yazılmasına olanak sağlamaktadır. Diğer bir deyişle, saçılan alanların ihmal edilebilecek kadar küçük olduğu varsayılmaktadır. Daha sonra düz problem çözümünde olduğu gibi integral denklem ayrıklaştırılır ve matris sistemine geçilir. Ama önceden de bahsedildiği gibi lineer cebir teknikleri uygulanırken bazı kötü koşullu matrislerle karşılaşılmaktadır. Bu sebeple Tikhonov regülarizasyonu uygulanmıştır. Diğer yandan, Newton metodu herhangi bir koşul gerektirmez, bu yüzden daha gelişmiş bir metot olarak kabul edilir. Newton yöntemi, cisim fonksiyonun bulunması için sunulmuş iteratif bir yaklaşımdır. Aranan cisim fonksiyonu için bir başlangıç değerinin belirlenir. Metot, gerekli adımları tekrarlayarak gerçek değere yaklaşmayı hedeflemektedir. Her döngü de cisim fonksiyonu güncellenmektedir ve belirli bir hata olasılığına göre gerçek değere yeteri kadar yaklaşıldığında döngü durdurulmaktadır. Ters saçılma probleminin çözümü kapalı ortamlar için verildikten sonra mükemmel iletken yüzey kaldırılır. Düz ve ters problem çözümü boş uzay için uygun Green fonksiyonu yardımıyla gerçekleştirilir. Cisimlerin yerleştirildiği ortam boş uzay olabileceği gibi dilektrik bir malzeme ile de doldurulmuş olabilir.  Mükemmel iletkenlerle kapatılan ortamların, cisimlerin konum ve fiziksel özelliklerinin belirlenmesindeki etkileri birçok örnek yardımıyla test edilmiştir. Burada, iletken yüzeyin yarıçapının seçimi çok önemlidir. Gözlem noktaları ve iletken tabaka arasındaki en uygun uzaklığın λ/4 olduğu kabul edilir ve bu gerçek örneklerle desteklenmiştir. Tersleme algoritmasının uygulanması için belirlenen yüzey alanın büyüklüğü de ayrıca incelenmiştir. Born Yaklaşımı belirli durumlar için iyi sonuç vermektedir. Cisim fonksiyonundaki artış ile birlikte sonuçlar kötü yönde etkilenmekte ve cismin görüntülenmesi mümkün olmamaktadır. Bu yüzden, aynı konfigürasyon ve ortam parametreleri için Newton metodu uygulanmıştır. Newton yönteminin zayıf yönü ise cisim fonksiyonu için uygun bir başlangıç koşulu seçilmediği takdirde çözüme ulaşmanın çok uzun süre alabilecek olmasıdır. Bunlar dışında, ortamda birden çok saçıcı var iken Born ve Newton metotlarıyla cisim görüntülenmesi gerçekleştirilmiştir.  Kısaca toparlamak gerekirse, ilk olarak düz problem çözümünün doğruluğu analitik yöntemler yardımıyla kontrol edilmiştir. Ters problem çözümünde Born Yaklaşımı ve Newton yöntemleri başarılı bir şekilde uygulanmıştır. Mükemmel iletken ile kapatılan ortamlara yerleştirilen cisimlerin konum, geometri ve fiziksel özellikleri elde edilmiştir. Maalesef kapalı ortamlar varsayıldığı gibi saçıcıların belirlenmesinde büyük iyileştirmeler sağlayamamıştır. En azından çoğu örnek için büyük zararlar da vermemektedir. Dielektrik veya iletken sınırlar simülasyon alanını etkileşimlerden korumaktadır, bundan dolayı bazı avantajları olmalıdır.
In this thesis, reconstruction of dielectric objects buried in a perfectly electric conducting enclosure is realized. Free space magnetic permeability is assumed for all cases. Our motivation is to observe the influence of reflected field from conducting boundary. It is predicted that reflections may form as image sources and hereby they result in better reconstruction. Primarily, synthetic data for scattered field is measured for arbitrary shaped objects. Then location, geometry and physical properties of scatterers are investigated for two cases: in an existing circular conducting boundary and in a free space. The approach used to solve this problem is based on a semi-numerical technique called method of moments (MoM). All implementations are coded in MATLAB environment. MoM is a frequency domain solver that has been widely used since 1960s. It aims to discretize time-harmonic electromagnetic field integral equations and design a linear matrix system. Applying linear algebra, matrix equations can be solved at ease. Integral equation in MoM solution involves Green’s function as its definition of Fredholm equation. Since Green’s function is evaluated analytically, MoM is approved as a semi-numerical method.  Scattering problems are grouped into two categories such as forward and inverse scattering. Forward one is used to compute scattered field under the assumption of known source, scatterer and medium properties.  Conversely, inverse one deals with acquiring the profile of objects when incident and scattered field data is known. Forward scattering problems are defined as well-posed problems; since their solution exists, is unique and stable. However, ill-posedness may arise for inverse scattering problems. Therefore, they need to be reformulated. Supplementary assumptions must be done to make the problem solvable. This operation is called regularization. A. N. Tikhonov proposed a regularization method that is recognized by his own name in 1963. During thesis, we benefit Tikhonov regularization to eliminate ill-posedness of problems.  Forward scattering problems concerning closed medium can be identified by an integral equation involving Green’s function as it is mentioned. Therefore, we begin with finding Green’s function of closed medium. Then, scattered field is calculated numerically. Integral equation is discretized and total field is computed for each cell. The decrease in cell size serves better object modeling, so cell side is chosen at most λ/16. Accuracy of MoM process is very important for us and verification is necessary. For this purpose, analytic solution for closed medium is also performed. By the way, Green’s function is employed as a 2D transverse magnetic (TM) polarized line source. When a single source is injected into simulation area, some deficiencies are encountered in imaging. Therefore, multi-source illumination is preferred in most cases. Besides, plenty of observers are located around the scatterer in a certain distance.  Next, inversion algorithm is applied to achieve shape reconstruction. By doing so, Born Approximation and Newton methods are utilized. Born Approximation requires some restrictions to be satisfied. It provides improvements in outcomes if operating frequency and/or contrast are low. To explore object function, Born method enables us to use incident field in integral (data) equation instead of total one. In other words, scattered field is ignored. Then, discretization is performed for integral equation. However, ill-posedness is shown up while applying linear algebra. Hence, Tikhonov regularization is implemented. On the other hand, Newton method does not need any provision, so it is more advanced. It is an iterative method presented to find object function. It starts with guessing an initial value for sought object function. In every step, a new guess object function is proposed to reach or get close to real value of it. We selected a condition for error tolerance to halt the process when object function is close enough to real value.  After reconstruction for closed medium is fulfilled, conducting surrounding is removed. Forward and inverse problems are solved for unbounded medium using appropriate Green’s function. The background medium can be a free space or dielectrically filled.  Several tests are practiced to observe the impact of conducting boundary on reconstruction and localization of object in closed mediums. The selection of radius of conducting enclosure is very important. The most favorable distance between observers and conducting enclosure “λ/4” is also affirmed. In addition, size of reconstruction area is examined. Born method offers us quality imaging for particular cases. The increase in contrast deteriorates the results. Therefore, Newton method is also applied to same settings. The drawback of Newton is to find a convenient initial value for contrast. If it is not picked properly in the beginning, simulation duration lasts longer or forever.  In conclusion, forward problem is verified by means of analytic solution. Born and Newton methods are successfully performed for inversion. The reconstruction and localization is succeeded. Multi-source effect is analyzed and its performance is highlighted. Unfortunately closed medium solutions do not provide great enhancement in imaging as supposed. For most cases, shape reconstruction is not corrupted at least. There has to be some advantages of closed mediums, because they preserve the simulation area.
Açıklama
Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015
Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Instıtute of Science and Technology, 2015
Anahtar kelimeler
Elektromanyetik Ters Saçılma, Kapalı Ortam, Electromagnetic Inverse Scattering, Closed Medium
Alıntı