İkinci Derece Stokastik Baskınlıkta Verimlilik Testi Ve Bulanık Mantık Yaklaşımı İle İki Aşamalı Bir Portföy Optimizasyonu

Abstract

Yatırımcıların portföylerinin getirisini maksimize etmeye çalışırken aynı zamanda riskini de minimize etmeye çalıştıkları günümüzün finans dünyasında portföy yönetimi trilyon dolarlık bir pazar haline gelmiştir. 60 yıllık mazisi olan klasik varyans minimizasyonu yöntemi (MV) gerçek veri ile çalışırken günümüzün ihtiyaçlarını karşılamakta zayıf kalmaktadır. MV’nin diğer tüm zaaflarının yanında portföy varlıklarının getirileri üstüne getirdiği normal dağılım zorunluluğu bu yöntem ile optimize edilmiş portföylerin ikinci derece stokastik baskınlıkta (SSD) etkin olamaması sonucunu doğurmaktadır. Bu tezde, ilk aşamasında SSD’de etkin olmayan hisse senetlerini eleyen ikinci aşamada da bulanık mantık yaklaşımı ile hesaplanan “bulanık varyans”ı minimize eden iki basamaklı yeni bir portföy optimizasyon metodu ortaya konmaktadır. Akabinde de bu metot BIST-30 endeksine uygulanmaktadır. Uygulama tamamlandıktan sonra, bu yeni iki aşamalı yöntemle oluşturulan portföy hem MV ile hesaplanan portföy hem de orijinal BIST-30 portföyü ile meşhur performans ölçütleri olan Sharpe Oranı (SR) ve Treynor Oranı (TR) kriterlerine gore kıyaslanmaktadır. Yapılan detaylı performans analizleri bu tezde ortaya konan yeni metodun gerçek veri ile yapılan çalışmalarda pratik olarak varolması neredeyse imkansız olan normal dağılım şartı yüzünden klasik metoda göre üstünlük sağladığını göstermektedir. Yakın gelecekte de bu yöntemin dünya çapındaki önemli endekslere uygulanarak performans sonuçlarının MV yöntemine karşı gösterdiği üstünlüğün ülkeden bağımsız olarak tüm finans piyasalarında genellenmesi hedeflenmektedir. Portföy yönetimi ile ilgili genel açıklamalar içeren ve ilk paragrafta da belirtilmiş olan "Giriş" bölümünden sonra "Temel Kavramlar ve Teorik Altyapı" başlıklı ikinci bölümünde ortaya konan özgün modelin bu konular hakkında ileri düzeyde bilgi birikimine sahip olmayan bir okuyucu için bile anlaşılır olması için temel kavramlar ve bu kavramlara ait teorik bilgiler pekiştirici örnekler verilerek anlatılmıştır. Bu bölümde öncelikle Modern Portföy Teorisi (MPT) detaylandırılarak bu teori kapsamında Markowitz tarafından 1952'de ortaya konan Nobel ödüllü "Sabit getiride minimum Varyans" modeli (MV) tanıtılmıştır. Ayrıca MV'nin günümüzün finans dünyasında ortaya çıkan dezavantajları da tek tek listelenmiştir. İkinci kısımda, bulanık mantık teorisi ile ilgili tüm temel tanım ve kavramlar tanıtılmıştır. Bu esnada tezdeki modelde yoğun biçimde kullanılan üçgensel bulanık üyelik fonksiyonları da açıklayıcı örnekler ile anlatılmıştır. Üçüncü kısımda, Stokastik Baskınlık (SD) konusu hem birinci derece stokastik baskınlık (FSD) hem ikinci derece stokastik baskınlık (SSD) alt başlıkları altında teorik bilgilere ek açıklayıcı örneklerle anlatılmıştır. Sonrasında da tezde önemli bir yer tutan SSD etkinlik testinin mantığı ve uygulama biçimi anlatılmıştır. Dördüncü ve son kısımda ise portföylerin performansının ölçülmesi safhasında çok önemli bir yeri olan Sharpe Oranı (SR) ve Treynor Oranı (TR) isimli performans kriterleri tanıtılmıştır. “Literatür Taraması” isimli üçüncü bölümde, tezde ortaya konan modeldeki iki aşamanın temellerini oluşturan bulanık mantık ve stokastik baskınlık yaklaşımları ile ilgili bu güne kadar ekonomi ve finans dergilerinde yayınlanmış çalışmalar kronolojik sırada özetlenmiştir. Bu literatür özetleri okuyucuya bulanık mantık ve stokastik baskınlık konularının günümüzün finans dünyasındaki uygulamaları hakkında geniş bir perspektif kazandırmakla birlikte tezdeki modelin teorisinde kullanılacak kritik bazı tanımların ve denklemlerin nereden geldiğini de anlatmaktadır. Carlsson ve Fullër isimli akademisyenlerin 2001’de yayınladıkları makalelerinin özeti sırasında bulanık sayıların olasılıksal ortalama, varyans ve kovaryanslarının teorik olarak integraller yardımı ile nasıl tanımlandığı anlatılmıştır. Akabinde de bu tanımlar bir adım ileri götürülerek doğrusal olan üçgensel üyelik fonksiyonları ile çalışıldığında bu genel formüllerin kendilerini hangi sade formlara indirgediği de işlem detayları ile belirtilmiştir. Başka bir deyişle, doğrusal üyelik fonksiyonları ile çalışmanın hesaplama kolaylığı açısından ne kadar büyük avantajlar sağladığı bu literatür özetleri sırasında çok bariz bir biçimde ortaya konmuştur. “Önerilen Modelin Teorisi” isimli dördüncü bölümde ise modelde ortaya konan iki basamaklı optimizasyonun teorik temelleri tüm detayları ile masaya yatırılmıştır. İlk etapta, SSD etkin olmayan hisse senetlerinin nasıl portföy dışında bırakıldığı anlatılmıştır. Bu bağlamda incelenen N hisse senedinde N’in ikili kombinasyonu adet ikili SSD kıyaslaması yapılarak her hisse senedinin bir diğerine göre SSD ilişkisi ortaya konmuştur. Akabinde de en az bir hisse senedi tarafından ikinci derece stokastik olarak domine edilen hisse senetleri “SSD verimsiz” olarak adlandırılıp kurulacak portföyün dışında bırakılmıştır. İkinci etapta ise, sadece “SSD verimli” hisse senetlerinin olduğu bir altkümede portföyün bulanık varyansının sabit bir getiri seviyesinde minimize edilmesi prensibine dayanan bir optimizasyon uygulanmıştır. Bu ikinci aşamadaki en önemli kısım, doğrusal olan üçgensel üyelik fonksiyonları ile oluşturulmuş bulanık ortalama, varyans ve kovaryans kavramlarının n adet “SSD verimli” hisse senedine sahip bir indirgenmiş portföye nasıl uygulandığı hususudur. Bu noktada, üçgensel üyelik fonksiyonları hisse senetlerinin gelecek dönemdeki getirilerini tahmin eden bir dağılımı temsil etmektedirler. Üçgenin tepe noktası ortalama getiriyi, sağ aşağı köşe noktası gelecek dönemde yapması olası en yüksek getiriyi, benzer şekilde sol aşağı köşe noktası da gelecek dönemde yapması olası en düşük getiriyi temsil etmektedir. Ortalama getirideki bu maksimum ve minimum sapmalar yardımı ile bir önceki bölümde çıkarılan indirgenmiş formüller n hisse senedinin tümüne uygulandığında artık portföyün tamamının bulanık varyansı ve bulanık ortalaması ortaya çıkmıştır. Son olarak, ortaya konan bu bulanık varyansın minimizasyonu aşamasına gelindiğinde ise bu formülün içinde ortaya çıkan ikinci dereceden terimler doğrusal bir modelde optimizasyon yapmaya engel olmuştur. Bu doğrusal olmama sorununu aşmak için de modelde bulanık varyans yerine bulanık standart sapmanın kullanılması önerilmiştir. Literatürdeki tanımındaki gibi bulanık varyansın karekökü alınarak hesaplanan bulanık standart sapmada bu ikinci dereceden terimler düşmüş ve geriye sadece doğrusal terimler kalmıştır. Sonuç olarak tezde ortaya konan modelin ikinci aşaması bulanık varyans yerine bulanık standart sapmanın belli bir bulanık getiri düzeyinde minimize edilerek optimize portföyler ortaya çıkarılması prensibine dayanmaktadır. “Önerilen Modelin Uygulaması” isimli beşinci bölümde ise tezde önerilen iki aşamalı model Türkiye’deki BIST-30 hisse senetleri üstünde uygulanmıştır. Bu bölümde öncelikle uygulamanın yapılacağı veri seti detaylı olarak tanıtılmıştır. BIST-30’a dahil hisse senetlerinin piyasa değeri, halka arz zamanı ve portföy içindeki ağırlık değerleri gibi özellikleri tek tek incelenmiştir. Hisse senetlerinin bu detaylı analizlerinden sonra 2010 Aralık ayından 2013 Temmuz ayına kadarki kapanış değerleri haftalık olarak çekilmiştir ve sonrasında da bu değerler yardımı ile her hisse senedi için 135 adet haftalık getiri hesaplanmıştır. Bu veri kümesi üstünde 1952’de Markowitz tarafından ortaya konan klasik MV yönteminin herhangi bir yeni yaklaşım ortaya koymadan uygulaması sonucu etkin sınır üstünde ortaya çıkan portföylerden Sharpe oranını maksimize edeni A Portföyü olarak adlandırılmıştır. Kıyaslama yapabilmek için bir standartın yakalanması adına A Portföyündeki getiri düzeyi diğer portföylerde de aynı seviyede alınmıştır. Sadece birinci etaptaki yöntemin gücünün tek başına test edilmesi için BIST-30’daki 18 adet “SSD verimsiz” hisse senedi elenmiş ve geriye kalan 12 adet “SSD verimli” hisse senedine de gene Markowitz’in klasik MV optimizasyonunun uygulanıp akabinde de etkin sınır üstünde belirlenen getiri düzeyindeki portföye B portföyü denilmiştir. Son olarak da tezde ortaya konan model her iki aşamasıyla BIST-30’a uygulanmıştır. Bu bağlamda 18 adet “SSD verimsiz” elendikten sonra geriye kalan 12 tane “SSD verimli” hisse senedine tezde ortaya konan bulanık standart sapmanın minimizasyonu yöntemi ile optimizasyon yapılmıştır. Etkin sınır üstünde ortaya çıkan portföyler içinde gene belirlenen standart getiri düzeyi seçilerek bu portföye de Portföy C denilmiştir. “Sonuç” başlıklı tezin son bölümünde ise öncelikle performans testleri ve bunların sonuçları değerlendirilmiştir. Değerlendirmeler yapılırken, ortaya konan A, B ve C portföylerinde verinin bittiği tarih olan Temmuz 2013’den ileriye doğru aynı hisse senetlerine ait bir yıllık veri çekilmiştir ve bu portföylerin bu gelecek verisi üstündeki performansları hem Sharpe hem Treynor oranına bakarak değerlendirilmiştir. Bu bağlamda 2013 Temmuz başlangıç olma üzere 10, 20, 30, 40 ve 50 haftalık farklı zaman dilimlerinde beş ayrı inceleme yapılmıştır. Ayrıca bu üç portföye ek olarak BIST-30’un orijinal portföyünde de aynı analizler yapılmıştır. Yapılan bu çok yönlü performans değerlendirmelerinin sonuçları ise ikinci kısımda detaylı olarak masaya yatırılmıştır. Grafiklerle de desteklenen bu analiz sonuçları tezdeki iki aşamalı model sonucunda ortaya çıkan C portföyünün diğer tüm portföylere tüm zaman dilimlerinde her iki performans kriterine göre de de üstünlük sağladığını göstermiştir. Ayrıca B portföyünün de A portföyü ve BIST-30’a göre üstünlük sağladığı sonucu çıkmıştır ki bu da modelin sadece birinci aşamasının bile tek başına önemli bir katma değer yarattığını göstermektedir. C portföyünün diğerlerine göre üstünlüğünü gözler önüne seren tablonun altında yatan nedenler de araştırılarak BIST-30 hisselerinin incelendiği 135 haftalık getirilerinin dağılımı incelenmiştir ve bu hisselerin neredeyse yarısının Shapiro-Wilk normallik testine istinaden normal dağılıma uymadığı görülmüştür. Bu sonuç da mazisi çok eskilere dayanan klasik MV metodunun tezde ortaya konan yönteme kıyasla neden başarısız sonuçlar ürettiği hakkında fikir üretmiştir. Tezin son kısmında da, bu modelin BIST-30 dışındaki başka piyasalara uygulanması ve akabinde de bu modeli uygulayan hazır bir bilgisayar programının hazırlanması gibi yazarın gelecekte planladığı çalışmalar anlatılmıştır.

Portfolio management is a trillion dollar business in today’s financial world where every investor tries to increase the return of his portfolio while at the same time to decrease the risk of it. The classical and 60 years old Mean Variance (MV) portfolio optimization method has become old fashioned since it has some weaknesses which do not satisfy today’s financial needs when working with real data. At the core, among other shortcomings, the requirement of normal distributed returns renders the MV optimized portfolios Second Order Stochastic Dominance (SSD) inefficient. In this thesis, a new two step gradual portfolio optimization method is introduced. In the first step of this method SSD inefficient stocks are eliminated after c(n,2) pairwise SSD comparisons of all stocks in the portfolio. At this point, a SSD inefficient stock means that it is second order stochastically dominated by at least one other stock. The second step of this gradual method is the application of the “fuzzy variance” minimization instead of MV. In this second step the future returns of the stocks are predicted with the help of the triangular fuzzy numbers where their centres are the average returns and their left and right deviations are relatively the worst and the best returns of the stocks in the observation period. As an empirical example, this suggested method is applied to the Turkish BIST-30 Index. Once the application is completed, the optimized portfolio of the suggested method is compared with both the MV optimized portfolio and the original BIST-30 portfolio according to most well known performance measurements, Sharpe Ratio (SR) and Treynor Ratio (TR). Detailed performance tests show that this new gradual method has overwhelming superiority over the classical method which requires normal distribution of stock returns that is nearly impossible in real data. In the near future, this novel gradual portfolio optimization method will be applied to other markets of the world to generalize its superiority over the MV.