Free Vibration Of Composite Laminated Conical Shell

Abstract

Modern uçaklar ve benzeri hava ve uzay araçlarında en yaygın kullanılan yapısal elemanlardan biri kompozit malzemeden imal edilmiş konik kabuk elemandır. Bu sebeple bu tür yapıların dinamik yükler altındaki (tewamşryapmın-ömru-açısından önem arzetmektedir. Kompozit malzemeler için ayrı bir önem gösteren sıcaklık ve nem gibi çevresel etkiler bu tür yapılan homojenliğim bozmakta ve dinamik davranış karakterini etkilemektedir. Bu yüzden bu tür etkilerin de sözü edilen yapıların dinamik davranışı üzerine etkilerinin belirlenmesi gerekir. Bu çalışmamızda, kompozit malzemeden yapılmış ve takviyelenmiş konik kabukların dinamik davranışı, elastik ince kabuklar için geçerli olan Donnell-Mushtari teoremlerinin basitleştiriti kabulleri ile İncelenmiştir. Ayrıca ince kabuklar için geçerli olan Love hipotezleri de denklemlerin elde edilmesinde dikkate alınmıştır ki bunlar : 1. Kabuğun kalınlığı diğer boyutlarına göre yeterince küçüktür 2. Birim şekil değiştirmeler ve yer değiştirmeler yeterince küçük miktardadır. Dolayısıyla birim şekil değiştirme-yerdeğiştirme denklemlerinde ikinci ve daha yüksek mertebeden terimler birinci mertebe terimlere kıyasla ihmal edilebilirler 3. Yanlamasına normal gerilme diğer normal gerilme bileşenlerine göre yeterince küçüktür ve ihmal edilebilir 4. Kabuğun referans yüzeylerinin normalleri deformasyon sonrasında da kendisine normal kalır ve bu normal üzerinde seçilen bir hattın uzunluğunda değişiklik olmaz, Konik kabuğun temel denMemlerinin tanımlanması için genelleştirilmiş varyasyonel teorem kullanılmış, ayrıca lineerliği bozan geometrik etkiler ve ilk haldeki gerilmeler dikkate alınmıştır. Bunun yanısıra sonucun tekliği de incelenmiş ve sınır şartlan ve ilk başlangıç şartlarının sonucun tekliğinde yeterli olduğu gösterilmiştir. Konik kabuk yapının geometrisi Şekil 1. de gösterilmiştir : Weierstrass teoremine göre kabuklar için yerdeğiştirme alam şu şekildedir : u(s,e,Z)=u(s,e)+zps(S,e)+z2ys(s,0)+-.. V(s,e,z) = v(s,G)+zP9(s,e) + z2y9(s,e)+- (1) w(s,e,z)=w(s,e)+zpz(s,e)+z2rz(s,e)+... burada U, V ve W ; s, 0, ve z yönleriiıdeki yerdeğiştirme bileşenleridir. Kirchoff- Love hipotezinin basitleştirici kabulleri dikkate alınarak (1) denklemi şu şekilde yazılabilir : U(s,e,z) = u(s,9) + zps(s,e) v(s,eJz) = v(S,e)+zpe(s,e) W(s,e5z) = w(s,9) (2) Şekil 1. Konik yapının geometrisi ve koordinatlar vı Bu yerdeğiştirme alanı gösterimi kullanılarak ince konik kabuk için kinematik bağlantılar şu şekilde yazılabilir : 8Jk=JdtJJ« T A U_ / da X ~dİ+2 'öw^2 \âs) 5N.+ Ju 15v w X e " s s 56 s 2s2 v + s«*-X l da öv v X 8w 8w 3dQ + ds s + s ös 89 m'" +.se K.-X + Kd 5Pe Pe 1 gP. K ds s s 8Q J + 8 ez Pe v 1 dw - -cota- +- _ X s s ddj |5Ms9 + ŞPş X 5sy 5M.+ 5QS ?dA 8vf 2~\ vm) j BN° ^-i^Tiı^ (3) Burada 8s, e9 ve s^e orta yüzeyin membran şekil değiştirmelerini ; Kg, Ke ve Ksg eğilme sekil değişimlerini göstermektedir. X = Sina / R, konik kabuğun karakteristik bir parametresini göstermektedir, s ve 9 koordinatları şu şekilde tanımlanır : ¥ = sX ve e = 9Sina. Plak ve kabuk teorisinde, kuvvet ve moment bileşenlerini, gerilmeleri kabuk kalınlığı boyunca integre etmek suretiyle elde edebiliriz. Takviye elemanları da birbirine oldukça yalan yerleştirildiği için kabuk üzerinde sanki ayrı bir tabaka teşkil etmiş gibi düşünülebilir. Bu yaklaşımla bünye denklemleri varyasyonel formda şu şekilde yazılabilir 8Ic=JTdtJA{[Ns-(A11es+A12se+B11Ks+B12Ke)]5Es + [N9 ~(A12es + A22s9 +B12Ks +B22Ke)]8s0 [Ns0 -(A33es9 +B33Kse)]5es8 [ms -(Bnss +B12se +DHKS +D12Ke)]5Ks Me -(Bi2£s +B22se +Di2Ks +D22Ke)]5Ke [Ms0 -(B33ss9 +D33Kse)]5Kse [Qs -A55esz]5ssz +[Qe - A44eez]5eez}dA = ° (4) vıı burada A{j = | Qf (hk - hk_0 + Eg By = \± Ç>f (hj - htı) - Fy Dy = \ İ Qf (hj - hj_ı) + Gy i, j = 1,2,3 (5) 3k=l (A44,A55) = İ f (Q$,Q(g)f(z)This study presents the dynamic equations of a stiffened composite laminated conical thin shell under the influence of initial stresses. The governing equations of truncated conical shell are based on the Donnell-Mushtari theory of thin shells including the transverse shear deformation and rotary inertia. The extension-bending coupling is considered in the derivation. The composite laminated conical shell is also reinforced at uniform intervals by elastic rings and/or stringers. The stiffening elements, are relatively closely spaced, and therefore, the stiffeners are "smeared out" along the conical shell. The inhomogeneity of material properties due to temperature, moisture or manufacturing processes is taken into account in the constitutive equations. A generalized variational theorem is derived so as to describe the complete set of the fundamental equations of the conical shell. Next, the uniqueness is examined in solutions of the dynamic equations of the conical shell and the boundary and initial conditions are shown to be sufficient for the uniqueness in solutions. The equations of laminated composite conical shell are solved by the use of finite difference method as an illustrative example. The accuracy of results is tested by certain earlier results and an good agreement is found.