On the $$\mathcal {N}=3$$ and $$\mathcal {N}=4$$ superconformal holographic dictionary

Abstract

Abstract This study presents comprehensive examples of $$\mathfrak {osp}(\mathcal {N}|2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>osp</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> Chern–Simons supergravity on $$AdS_3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> for $$\mathcal {N}&gt;2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . These formulations, which include the most general boundary conditions, represent extensions of previously discovered works (Ozer and Filiz in Eur Phys J C 82:472, 2022. https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-022-10422-w) for $$\mathcal {N}&lt;3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . In our work, we show that under the loosest set of boundary conditions, the asymptotic symmetry algebras consist of two copies of the $$\mathfrak {osp}(3|2)_k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>osp</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mathfrak {osp}(4|2)_k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>osp</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> algebras. We subsequently restrict the gauge fields upon the boundary conditions to achieve supersymmetric extensions of the Brown–Henneaux boundary conditions. Based on these results, we finally find that the asymptotic symmetry algebras are two copies of the $$\mathcal {N}=3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mathcal {N}=4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> superconformal algebras for $$\mathcal {N}=(3,3)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$\mathcal {N}=(4,4)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> extended higher-spin supergravity theory in $$AdS_3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> .