Existence and Uniqueness of Positive Solutions of Boundary-Value Problems for Fractional Differential Equations withp-Laplacian Operator and Identities on the Some Special Polynomials

Abstract

We consider the following boundary-value problem of nonlinear fractional differential equation with<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-Laplacian operator<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′′′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>, where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal"/><mml:mn mathvariant="normal">4</mml:mn></mml:math>are real numbers,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math>are the standard Caputo fractional derivatives,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>s</mml:mi></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal"/><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal"/><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal"/><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:math>,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:math>are parameters,<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0,1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>[</mml:mi><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo>),</mml:mo></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>[</mml:mi><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>are continuous. By the properties of Green function and Schauder fixed point theorem, several existence and nonexistence results for positive solutions, in terms of the parameters<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>are obtained. The uniqueness of positive solution on the parameters<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>is also studied. In the final section of this paper, we derive not only new but also interesting identities related special polynomials by which Caputo fractional derivative.