On Conservation Forms and Invariant Solutions for Classical Mechanics Problems of Liénard Type

Abstract

In this study we apply partial Noether and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-symmetry approaches to a second-order nonlinear autonomous equation of the form<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math>, called Liénard equation corresponding to some important problems in classical mechanics field with respect to<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>functions. As a first approach we utilize partial Lagrangians and partial Noether operators to obtain conserved forms of Liénard equation. Then, as a second approach, based on the<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-symmetry method, we analyze<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-symmetries for the case that<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow></mml:math>-function is in the form of<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>′</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>. Finally, a classification problem for the conservation forms and invariant solutions are considered.