FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı
Bu topluluk için Kalıcı Uri
Matematik Mühendisliği Ana Bilim Dalı altında bir lisansüstü programı olup, yüksek lisans ve doktora düzeyinde eğitim vermektedir.
Gözat
Yazar "Antar, Nalan" ile FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı'a göz atma
Sayfa başına sonuç
Sıralama Seçenekleri
-
ÖgeDavey Stewartson Sisteminde Temel Kafes Solitonları(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2016-03-21) Bağcı, Mahmut ; Antar, Nalan ; 10105290 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics EngineeringEğrisel (nonlinear) dalga denklemlerinin çözümleri, optik, akışkanlar dinamiği veya plazma fiziği gibi alanlarda geniş olarak yer tutan önemli bir konudur. Fizik ve matematikte çeşitli yönetici denklemler (modeller) kullanılarak dalga çözümleri elde edilebilir. Elde edilen çözümlerin yapısı ve kararlılığı kullanılan fiziksel modele ve bu model için kullanılan parametrelere göre değişir. Bu çözümler kararlı lokalize dalgalar (soliton) veya sönümlü dalgalar olabilir. Sayısal yöntemlerden faydalanarak birçok dalga denkleminin soliton çözümlerinin varlığı gösterilmiştir. Bu dalga denklemlerine örnek olarak Korteweg-de Vries (KdV) denklemi, eğrisel Schrödinger (NLS) denklemi veya bu çalışmada da model olarak kullanılan NLS denklemine kuadratik katkıları içeren (NLS with mean term) NLSM sistemi gösterilebilir. NLSM sistemi, Davey-Stewartson ve Benney-Roskes tipi sistem olarak da bilinmektedir. Çözüm elde edilmek istenen ortam (malzeme) simetri merkezli (centro-symmetric) ise üçüncü dereceden (kübik) NLS denklemi yönetici denklem olarak kullanılabilir. Simetri merkezli olmayan ortamda çözüm elde edebilmek için NLS denklemine ikinci dereceden (kuadratik) katkılar eklenmelidir. Kübik NLS denklemine kuadratik katkılar eklendiğinde aşağıda verilen NLSM sistemi elde edilmektedir. \begin{equation} \label{} \begin{split} iu_z +\sigma\Delta u + \left| u \right|^2 u-\rho\phi u = 0, \\ \phi_{xx}+\nu\phi_{yy}=(\left| u \right|^2)_{xx}. \end{split} \end{equation} Burada $u$ birinci harmoniğin genliğe katkısını, $\phi$ kuadratik etkileri göstermektedir. $ \rho $ bağlantı katsayısını, $\nu$ kullanılan malzemenin (ortamın) yönlere bağımlılığını (anizotropisini) yansıtan sabiti göstermektedir. $ \rho0$ durumunda elektromanyetik dalgalar elde edilir. $\rho=0$ durumunda sistem NLS denklemine indirgenir. Yönetici denklemlere doyurulabilir doğrusal olmayan terim veya dış potansiyel (latis veya kafes) ekleyerek kararlı çözümler elde etmek, literatürde bilinen bir yöntemdir. Son yıllarda, düzenli (kristal veya yarı kristal) potansiyeller kullanılarak elde edilen temel dipol ve çoklu (vorteks) solitonlarla ilgili çok sayıda çalışma yayınlanmıştır. Ayrıca karmaşık (kompleks) değerli (Parity Time Symmetric) potansiyellerin varlığında dalga çözümlerine önem verilmektedir. Kompleks değerli potansiyeller parite zaman ($\mathcal{PT}$) simetrik olarak tanımlanmaktadır. NLSM sistemi için bir dış potansiyelin (kafesin) varlığında çözümlerin incelendiği herhangi bir çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışmada, NLS denklemi ve NLSM sisteminin sayısal çözümleri çeşitli dış potansiyeller kullanılarak hesaplanmaktadır. Kullanılan fiziksel sistemin yönetici modeli, bir dış potansiyel içeren NLSM Sistemi, \begin{equation} \label{} \begin{split} iu_z + \frac{1}{2}\Delta u + \left| u \right|^2 u-\rho\phi u-V(x,y)u = 0, \\ \phi_{xx}+\nu\phi_{yy}=(\left| u \right|^2)_{xx}. \end{split} \end{equation} ile verilir. Burada $V(x,y)$ potansiyeli göstermektedir. Potansiyelleri elde etmek için kullanılan genel form \begin{equation} \label{} V(x,y)=\frac{{V_0 }}{{N^2 }}\left| {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {e^{i(k^n_xx+k^n_yy)} } } \right|^2 \end{equation} şeklindedir. Potansiyel derinliği $V_0$ sabiti ile belirlenmektedir. Dalga vektörü $(k^n_x,\, k^n_y)=[K cos(2\pi n/N),\,K sin(2\pi n/N)]$ ile tanımlanır. $N=2,3,4,6$ durumları periyodik potansiyelleri, $N=5,7$ durumları yarı kristal potansiyelleri elde etmek için kullanılır. Çalışmanın ilk bölümünde NLS denklemi ve NLSM sistemleri asimptotik yöntemler kullanılarak elde edilmiştir. Bu kısım, tezin sonraki bölümlerinde sayısal olarak elde edilen çözümlerin fiziksel karşılıklarını anlamamıza yardımcı olmuştur. Denklemler elde edildikten sonra soliton çözüm elde etmek için Ablowitz ve Musslimani'nin ortaya koyduğu Spektral Renormalizasyon (SR) yöntemi NLSM sistemine uyarlanmıştır. SR yönteminde, NLSM sistemi Fourier uzayında ele alınıp, $u(x,y,z) = f(x,y)e^{ - i\mu z}$ çözüm önerisi ile doğrusal olmayan terime göre bir yakınsama faktörü belirlenir. Bu çalışmada yakınsama koşulu $10^{-8}$ olarak alınmıştır. SR yöntemiyle soliton çözüm elde etmek için kullanılan Gaussian başlangıç koşulu aşağıdaki şekildedir. \begin{equation} \label{} w_0(x,y) = \sum\limits_{n = 0}^{M-1} {e^{ - A[(x + x_n )^2 + (y + y_n )^2 ] + i\theta _n } } \end{equation} Burada $x_n$, $y_n$ solitonların yerini, $\theta_n$ faz farkını, $M$ soliton sayısını (temel, dipol, çoklu) belirlemek için kullanılır. $A$ değeri, solitonu belirlenen yere odaklamak ve yakınsaklığı sağlamak için kullanılır. SR algoritması çalışmanın her aşamasında soliton çözüm elde ederken kullanılmaktadır. Elde edilen soliton çözümlerin doğrusal ve eğrisel kararlılık analizleri için kullanılan sayısal yöntemler ayrıca açıklanmıştır. Kararlılık analizi yapılmadan önce soliton gücü ($P$) ile kararlılığı arasındaki ilişkiyi ortaya koyan Vakhitov-Kolokolov (VK) kararlılık kriterleri açıklanmıştır. Güç ($P$) – özdeğer ($\mu$) analizi yapıldıktan sonra NLSM sisteminin ana denklemindeki mekansal türevler ($u_{xx}$ ve $u_{yy}$) sonlu farklar yöntemiyle doğrudan çözülüp solitonlar $z$ ekseni boyunca dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemiyle ilerletilerek solitonların eğrisel kararlılığının sayısal analizi yapılmıştır. Eğrisel kararlılık analizi yapılırken SR yöntemi ile elde edilen temel solitonun genliğine ve fazına $\%1$ gürültü (noise) eklenmiştir. Doğrusal kararlılık analizi için SR yöntemiyle elde edilen temel soliton pertürbe edilip çözüm etrafında doğrusallaştırılmıştır. Kullanılacak sayısal yöntemler açıklandıktan sonra ilk olarak NLSM sistemi için periyodik potansiyelin olduğu veya olmadığı durumlarda soliton çözüm elde edilebileceği gösterilmiştir. NLSM sisteminde yer alan parametrelerin ($\rho$, $\nu$) çeşitli değerleri için bant yapısı ve güç analizleri karşılaştırmalı olarak ortaya konmuştur. SR yöntemi kullanılarak elde edilen bu temel solitonların doğrusal ve eğrisel kararlılık analizleri yapılmıştır. Potansiyelin olduğu ve olmadığı durumlarda temel solitonların doğrusal olarak kararsız oldukları belirlenmiştir. Sonrasında, potansiyelin olmadığı durumda elde edilen kararsız solitonların periyodik potansiyelin varlığında eğrisel kararlılığa sahip olabilecekleri ortaya konmuştur. Ayrıca NLSM sisteminde elde edilen solitonların şekli (mod profili) ile kararlılığı arasındaki bağlantı gözlenmiştir. Potansiyelin var olduğu durumda kararsız olan solitonların daha derin potansiyel içindeki davranışları incelenmiş ve derin potansiyelin kararsız solitonları kararlı hale getirebileceği (veya çökmeyi geciktirebileceği) saptanmıştır. Bu bölümün sonunda NLSM sisteminde ikili (dipol) solitonlar elde edilmiş ve kararlılıkları incelenmiştir. Sonraki bölümde, periyodik ve periyodik olmayan (düzensizlik içeren) potansiyellerin varlığında NLS denkleminin ikili (dipol) ve çoklu (vorteks) soliton çözümleri incelenmiştir. Boşluk düzensizliği (vacancy defect) içeren potansiyel ile sınır düzensizliği (edge dislocation) içeren potansiyel ayrı ayrı ele alınmıştır. Bu potansiyellerin maksimumlarına ve minimumlarına odaklanan ikili ve çoklu solitonlar elde edilmiştir. Maksimuma odaklanan tüm solitonların kararsız oldukları görülürken, minimuma odaklanan solitonların belirli koşullar altında eğrisel kararlılığa sahip olabilecekleri ortaya konmuştur. Elde edilen solitonların güç analizlerinden yola çıkarak kararlılık analizi sonuçlarının VK kararlılık kriterleri ile uyum içinde olduğu tespit edilmiştir. Sınır düzensizliği içeren potansiyelin daha güçlü bir düzensizlik yarattığı ve bu potansiyel için kararlı soliton elde etmenin boşluk düzensizliğine göre daha zor olduğu gözlenmiştir. NLS denklemi için düzensiz potansiyellerin varlığında eğrisel olarak kararlı çözümler elde edildikten sonra NLSM sistemi için boşluk düzensizliği içeren potansiyelin varlığında temel, ikili ve çoklu solitonların elde edilebileceği ve bu soliton yapılarının belirli koşullar altında eğrisel kararlılığa sahip olabilecekleri gösterilmiştir. Bu analizlerden yola çıkılarak, boşluk düzensizlği içeren potansiyelin varlığında, NLS denklemi ve NLSM sisteminin bant yapıları ve soliton güçleri karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonucunda, ele alınan modellerin bant yapıları benzer olsa da soliton güçleri arasında önemli farklar olduğu görülmüştür. Çalışmanın son bölümünde karmaşık (kompleks) değerli ($\mathcal{PT}$-simetrik) potansiyellerin varlığında NLS denkleminin soliton çözümleri incelenmiştir. Burada periyodik $\mathcal{PT}$-simetrik potansiyel ile boşluk düzensizliği içeren $\mathcal{PT}$-simetrik potansiyelin varlığında temel solitonlar elde edilmiştir. Bu solitonların doğrusal kararlılıklarını test etmek için doğrusal tayfları (spektrumları) incelenmiştir. Eğrisel kararlılık analizleri iki durum için karşılaştırmalı olarak yapılmış ve her bir durum için solitonların kararsız oldukları görülmüştür. Karşılaştırma sonucunda boşluk düzensizliğinin olduğu durumda elde edilen solitonların ilerleme mesafelerinin periyodik potansiyel solitonlarına göre daha uzun olduğu (daha geç çöktükleri) tespit edilmiştir. Ayrıca potansiyel içindeki sanal kısmın derinliği arttıkça elde edilen solitonların ilerleme mesafelerin kısaldığı (daha hızlı çöktükleri veya patladıkları) saptanmıştır. Tezin sonuç bölümünde, NLS denklemi ve NLSM sistemi için elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve sonraki çalışmalar için öneriler ortaya konmuştur.
-
Ögeİçerisinde Akışkan Bulunan Değişken Yarıçaplı Elastik Tüplerde Nonlineer Dalga Yayılımı(Fen Bilimleri Enstitüsü, ) Özden, Ali Erinç ; Antar, Nalan ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics EngineeringBu çalışmada içi akışkanla dolu, ön gerilmeli yarıçapı değişken, ince elastik tüplerde nonlineer dalga yayılımı incelenmiştir. İlk olarak indirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak, içi sıkışmaz viskoz olmayan akışkanla dolu, yarıçapı değişken ince elastik tüpte küçük fakat sonlu genlikli dalgaların yayılımı, genel olarak ve başlangıç deformasyonunun belirli bir değeri için incelenmiştir. Yönetici denklem olarak, sırasıyla, değişken katsayılı Korteweg-de Vries ve değişken katsayılı modifiye Korteweg-de Vries denklemleri elde edilmiştir. Yönetici denklemlere ilerleyen dalga çözümleri sunularak dalga hızları elde edilmiştir. Daha sonra nonlineer dalga modülasyonu problemi ele alınmıştır. İndirgeyici pertürbasyon yöntemi kullanılarak içi sıkışmaz viskoz olmayan akışkan ile dolu değişken yarıçaplı ince elastik tüplerde nonlineer dalgaların genlik modülasyonu incelenmiştir. Yönetici denklem olarak değişken katsayılı nonlineer Schrödinger denklemi elde edilerek yönetici denkleme ilerleyen dalga çözümleri sunulmuştur.
-
Ögeİçerisinde Parçacık Bulunan Yer Çekimi Akımlarının Benzerlik Çözümlerinin Asimptotik Yöntemlerle Bulunması(Fen Bilimleri Enstitüsü, 2008-07-18) Aytaç, Hale ; Antar, Nalan ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics EngineeringBu çalısmada, içerisinde parçacık bulunan yer çekimi akımlarının benzerlik çözümleri elde edilmeye çalısılmıstır. Bunun için öncelikle içerisinde parçacık bulunmayan yer çekimi akımı problemi ele alınmıs, problem için model olusturulmus ve benzerlik çözümleri boyut analizi teknigi kullanılarak analitik olarak elde edilmistir. Daha sonra içerisinde parçacık bulunan yer çekimi akımı problemi için model olusturulmus, basıncın hidrostatik oldugu ve olmadıgı kabulleri altında hareket denklemleri elde edilmistir. Sonuç olarak, literatürde yer alan ortalama alan denklemleri ele alınmıs ve benzerlik çözümleri asimptotik yöntem yardımıyla elde edilmistir. Ayrıca, boyut analizi teknigiyle de içerisinde parçacık bulunan yer çekimi akımı probleminin benzerlik çözümlerini sayısal olarak verecegi düsünülen diferansiyel denklem takımı elde edilmistir.
-
ÖgeŞekil değiştiren elastik dielektriklerin kuvasi statik teorisi(Fen Bilimleri Enstitüsü, 1993) Antar, Nalan ; Demiray, Hilmi ; 39335 ; Matematik MühendisliğiBu çalışmada dış elektrik yük ve kuvvetler altında polarize olabilen elastik dielektrik bir ortamın kuvasistatik koşullar altında alan ve nonlineer bünye denklemleri elde edilmiş, büyük ön alanlar üzerine küçük yer değiştirme ve elektrik alam süperpoze edilerek artımsal alam ve bünye denklemleri türetilmiş, nihayet bütün bu teorik çalışmaların bir uygulaması olması için eksenel dış yüke ve elektrik alanına maruz dairesel ve sonsuz uzunluklu bir silindir içeri sinde küçük genlikli harmonik dalga yayıhmı problemi incelenerek dispersiyon bağıntısı elde edilmiş ve çeşitli özel haller tartılmıştır. Bu amaçla ikinci Bölüm'de denklik yasaları elde edilmiştir. Bunun için önce kuvazi-elektrostatik kuvvet,moment ve enerji (güç) yoğunlukları elde edilmiş,bunlar yardımıyla sürekli bir ortama ait denklik yasaları, şöyle ki lineer momentum denkliği,açısal momentumun denkliği,enerji denkliği ve entropi eşitsizliği ile elektrostatik alan denklemleri elde edilmiştir. Üçüncü Bölüm de böyle bir ortam için genel ve izotrop hale ait nonlineer bünye denklemleri elde edilmiştir. Büyük ön alan üzerine küçük alanların superpozisyonu sonucu oluşan artımsal alan ve bünye denklemleriyle sınır koşullarıda Dördüncü Bölüm de incelenmiştir. Nihayet 'Genelleştirilmiş Noe- Hookaen Malzemesi ' adım verebileceğimiz özel tipte bir malzemeye için nonlineer artımsal bünye ve alan denklemleri aynı bölümün sonunda incelenmiştir. Nihayet bütün bu teorik çalışmaların bir uygulaması olmak üzere eksenel dış ön yüke ve elektrik alana maruz sonsuz uzunluklu dairesel bir çubukta har monik dalga yayılımı incelenmiş, genel ve özel hallere ait dispersiyon bağıntısı elde edilmiş ve bazı yorumlar yapılmıştır.
-
ÖgeYerçekimi Akımlarının Lie Grup Analizi Kullanılarak İncelenmesi(Fen Bilimleri Enstitüsü, ) Şahin, Derya ; Antar, Nalan ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics EngineeringYoğunlukları birbirinden farklı iki akışkandan birinin diğerinin içine doğru yerçekiminin etkisiyle akması ile oluşan ve bazen yoğunluk akımları diye de adlandırılan yerçekimi akımları, bir çok doğal ve insan yapımı durumda ortaya çıkmaktadır. Yerçekimi akımlarındaki yoğunluk farkı, ısıl etkiler ya da maddenin erimesi nedeniyle oluşabilir. Literatürde sabit hacimli bir sıvı tarafından üretilen yerçekimi akımlarıyla ilgili çalışmalara bakıldığında kullanılan en genel yaklaşımın boyut analiz yaklaşımı olduğu görülür. Boyut analizi, sığ su denklemlerinin benzerlik analizinde kullanılan tek yöntemdir ve tek bir benzerlik değişkenin elde edilmesini mümkün kılmaktadır. Literatürdeki mevcut tüm çalışmalarda benzerlik değişkeni formunda ele alınmıştır. Burada sayısal bir sabittir. Benzerlik değişkeninin bu formu boyut analizi yaklaşımından gelmektedir ve bize orijinal diferansiyel denklem sisteminin sadece tek bir özel formda olan indirgenmiş yapısını elde etmemize imkan vermektedir. Lie grup teorisi, çalışma içerisinde “Boyut Analizinin” bir genelleştirilmesi olarak başlıca temel yöntem olarak ele alınmıştır. Bu çalışma içerisinde mevcut tanımı ve kapsamı verilen problem Lie grup analizi kapsamında literatürde ilk defa incelenmiştir. Bu yeni yaklaşım, mevcut ve benzeri problemlerin incelenmesinde boyut analizine alternatif olarak, Lie grupları teorisinin çok daha genel ve trivial olmayan benzerlik yapıları ve benzerlik çözümlerinin elde edilebilmesinde kullanılabileceğini göstermektedir. Bu tezde değişken akımlı yerçekimi akımlarının benzerlik çözümleri Lie grup analizi altında incelenmiştir.