FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora

Bu koleksiyon için kalıcı URI

http://hdl.handle.net/11527/86

Gözat

Yazar "Bayrak, Vural" ile FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora'a göz atma
  • Öge
    Lineer Olmayan Bazı Dalga Denklemlerin Çözümlerinin Patlaması Üzerine
    (Fen Bilimleri Enstitüsü, 2019) Bayrak, Vural ; Özkol, İbrahim ; 10315693 ; Matematik Mühendisliği ; Mathematics Engineering
    Patlama konusu 1940'larda ve 1950'lerde Semenov'un "Zincir Reaksiyon Teorisi" ile ortaya çıkmıştır. 1960'larda özellikle S. Kaplan, H. Fujita, A. Friedman ve R. T. Glassey tarafından bu konuda daha kapsamlı çalışmalar yapılmıştır. Lineer olmayan evrim denklemlerinin çözümlerinin davranışı ve özellikle patlamasının öğrenilmesi uygulama ve teorik açıdan önem arzetmektedir. Bu bağlamda evrim denklemlerinin dalga çözümleri birçok araştırmacının yoğun ilgisine neden olmuştur. Tezimizde iki konu üzerinde yoğunlaşacağız. Birinci konu quasilinear (hemenhemenlineer)hiperbolik denklemler için çeşitli problemlerin çözümlerinin patlama olayıdır. İkinci konu olarak siğ su denklemler sistemi için çözümün patlaması ele alınmiştir. Hiperbolik quasilinear kısmi diferansiyel denklemler için yazılmış başlangıç-sınır değer problemleri, fizik, mekanik ve mühendislik bilimlerine yönelik birçok uygulamada ortaya çıkmaktadır. Bu denklemlere yönelik çözümlerin niteliği çeşitli yollarla araştırılmıştır. Tezimiz giriş bölümü dahil beş bölümden oluşmakta ve tez çalışmamızdan üretilen uluslararası dergilerde yayınlanmış dört makale mevcuttur. Tezin ikinci ve üçüncü bölümlerinde farklı sınır koşulları altında Quasilinear Hiperbolik Denklemlerinin patlamasına ait sonuçlar yer almaktadır. İkinci bölümde sınır şartlarında sönüm terimi içeren iki quasilinear hiperbolik başlangıç-sınır değer problemi incelenmektedir. Üçüncü bölümde ise sınır şartlarında sönüm terimi içeren bir quasilinear hiperbolik başlangıç-sınır değer problemi dört sınır şartı için incelenmektedir. Bu sonuçlar V. K. Kalantarov ve A. Ladyzhenskaya tarafından verilen genelleştirilmiş içbükeylik yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Tezimizin dördüncü bölümünde ise bir model problem üzerinde çalışma yapılmıştır. Model problem olarak iskele direği problemi seçilmiştir. Bu çalışmada, denklemde dissipative terimiyle birlikte quasilinear hiperbolik sınır-değer probleminin global çözümlerinin yokluğu incelenmiştir. Bir boyutlu uzayda bu başlangıç sınır-değer problemi, dalgaların ve akımın etkilerinden dolayı titreşen bir iskele direğinin davranışını modellemektedir. İkinci ve üçüncü bölümde Genelleştirilmiş İçbükeylik yöntemi, dördüncü bölümde Levine tarafından geliştirilen İçbükeylik Yöntemi kullanılarak incelenen problemler için sonuçlar elde edilmiştir. Bu yöntemlerde, problemin ürettiği bir fonksiyonel ele alınarak bu fonksiyonelin, İçbükeylik Yöntemi veya Genelleştirilmiş İçbükeylik yönteminde istenilen şatları sağladığı ispatlanmaktadır. Bu vesile ile Global Çözümün mevcut olmadığını göstermiş oluyoruz. Dördüncü bölümde akıntı ve dalga etkisinde iskele direğinin titreşimleri ifade eden model problem çalışılmış ve çözümün belli koşullar altında patlama olayı incelenmiştir. Bu sonuçlar H. A. Levine tarafından verilen içbükeylik yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Tezimizin ikinci üçüncü ve dördüncü bölümlerinde ilgili başlangıç-sınır değer problemler için çeşitli örnekler inceledik ve çözümülerinn patlaması üzerine değerlendirmeler yaptık. Tezin beşinci bölümünde ise son yirmi yılda araştırmacıların yoğun ilgisini çeken sığ su problemlerinin çözümlerinin patlama koşulları araştırılmıştır. Bu bölümde genelleştirilmiş Camassa-Holm denklemini içeren iki bileşenli denklem sistemi için patlama (Blow-Up) olayı incelenmektedir. Belirli doğal başlangıç şartları altında uzaya göre yerel patlama kriterleri formülize edilmektedir. Burada Johnson, Constantin ve Ivanov un oluşturduğu iki bileşenli sistemlerin genelleşmesi için; daha önce Brandolese, Cortez ve Novruzov un makalelerinde sunulmuş olan lineer olmayan dispersive denklem için uzaya göre yerel patlama koşullarına benzer koşullar elde edilmiştir. Tezimizde yukarıda referans verdiğimiz sonuçlara dayanarak iki bileşenli genelleştirilmiş Camassa-Holm denklemler sistemi incelenmiştir. Ele alınan problemlerin hem teorik hemde pratik açıdan önemli olduğunu düşünüyoruz.