FBE- Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Yüksek Lisans
Bu koleksiyon için kalıcı URI
Gözat
Son Başvurular
1 - 5 / 109
-
ÖgeOn the conic representation of some quartics(Institute of Science and Technology, 1993)Bu tez günümüzde matematiğin hızla gelişen bir konusu olan cebirsel geometri hakkında yazılmıştır. Daha doğrusu cebirsel geometri içinde bir çalışma sahası olan cebirsel eğrilerle ilgilidir. Cebirsel eğriler kuramının klasik anlamda sunulduğu iyi bir şekilde yazılmış birçok kitap vardır. Fakat cebirsel geometriyi yeni öğrenmeye başlayan birini konuya yönlendirmenin zor olduğu bilinmektedir. Klâsik kuramı anlatan kitapların öğrenciyi modern cebirsel geometriye yeterince hazırlayamadığını gören W. Fulton kuramı modern cebirsel geometrinin görüş açısından geliştiren bir kitap yazmıştır. Cebirsel eğrilerin temel kavram ve sonuçlan verilirken önemli ölçüde bu kitap izlenmiştir. Fakat burada verilenlerden cebirsel geometri hakkında az bir fikre sahip olunacağından kısaca cebirsel geometriden bahsedelim. Hartshorne cebirsel geometride yapılan işin polinom denklem sistemlerinin çözümlerini çalışmak olarak, yani cebirsel varyeteleri çalışmak olarak açıklanabileceğini söylemiştir. Konunun bütünü ile meşgul olabilen bir iki uzmanın mevcut olması ile oluşan cebirsel geometrinin tek parçalılık görüntüsü 1980'li yılların ortalarına kadar değişti ve konu birçok kısma ayrıldı: Eğriler ve Abelyen varyeteler, cebirsel yüzeyler ve Donaldson kuramı, yüksek boyutlarda sınıflandırma, K kuramı ve cebirsel saykıllar, kesişim kuramı ve sayma geometrisi, Hodge kuramı, p karakteristiği, aritmetik cebirsel geometri, singülarite kuramı, matematiksel fiziğin diferansiyel denklemleri, bağ kuramı, bilgisayar cebirinin uygulamaları, v.s.. M. Reid bu konuda yeterli (standart) bir bilgiye sahip olmak için tamamen cebirsel geometriye ayrılan 3 yıllık bir lisans eğitiminin gerektiğini söylemektedir. Bu yüzden konuyu sunuşumuz modern cebirsel geometrinin bakış açısın dan olmasına rağmen tezi okuyacak ve konuya yabancı olan biri için birçok teoremin ispatı verilmemiş, bunun yerine kaynak kitaplar gösterilmiş ve kafada oluşabilecek bazı soru işaretlerine cevap verebilecek çoklukta teorem yazılmış tır. vı Tez C.T.C. Wall'un " Is every quartic a conic of conies? " başlıklı makalesindeki bir sonuca yönelik olarak ve cebirsel eğriler konusundaki çok temel, konuya giriş niteliğindeki sonuçlan içerecek şekilde yazılmıştır. Bu makalenin seçilmesinin sebebi ayrıntılı olarak incelenen kısmının mümkün olduğu kadar az cebirsel geometri bilgisi gerektirmesi ve klâsik cebirsel eğriler kuramının sonuçlarının yeterli olmasıdır. C.T.C. Wall makalede başlığı oluşturan soruya cevap vermiştir. Daha açık olarak söyleyecek olursak, verilen üç değişkenli 4. dereceden homojen bir § polinomu için 4(Xı, X2, X2) = c(qı, q2, q3) olacak şekilde ikinci dereceden homojen c, qı, q2, q3 polinomları bulunabilir mi? sorusunu yanıtlamıştır. Bu sorunun cevabının polinomun belirttiği kuartik eğrinin katlı noktaları ile yakından ilişkili olduğunu tespit etmiştir. Tezin giriş niteliğindeki birinci bölümünde bazı cebirsel bilgiler verildikten sonra cebirsel küme kavramı, indirgenemez cebirsel küme kavramı (varyete) ve bunların özelikleri verilmiştir. Bir polinom kümesindeki bütün polinomları sıfır yapan noktalar kümesine cebirsel küme denir. Kendinden küçük iki öz cebirsel kümenin birleşimi şeklinde yazılamayan bir cebirsel kümeye indirgene mez cebirsel küme denir. Önemli savlardan Hilbert taban savı ve Hilbert sıfır savı verilmiştir. Bu savlar vasıtası ile üzerinde çalışılan cisimlerin cebirsel kapalı olması halinde ce birsel kümelerle idealler arasında bire-bir tekabül olduğu sonucuna varılmakta dır, indirgenemez cebirsel kümeler asal ideallere tekabül eder. Ayrıca cebirsel bir kümenin sonlu sayıda birbirinden farklı indirgenemez kümenin birleşimi olarak yazılabileceği bir savla ifade edilmiştir. Daha sonra afin ve projektif indirgenemez cebirsel kümeler anlatılmış tır, indirgenemez bir cebirsel kümenin koordinat halkası ve fonksiyon cismi, eğrilerin bir noktadaki özeliklerini incelemede önemli bir rolü olan indirgenemez bir kümenin bir noktasındaki yerel halka tamamlanmıştır. Bir tek mak- simal ideali olan halkaya yerel halka denir. Afin koordinat değişimi, diskret değer halkası ve bunun fonksiyon cismi üzerinde tanımladığı mertebe fonksiyonu kavramları açıklanmıştır. Diskret değer halkası bir tamlık bölgesidir. Diskret değer halkasının eğriler açısından önemi sıfırdan farklı her r elemanının indirgenemez bir t elemanı cinsinden tek türlü olarak r = utn, n > 0 (u tersi olan bir elemandır) şeklinde yazılabilmesidir. Dolayısı ile bunun bölüm cismi üzerinde bir mertebe vıı fonksiyonu tanımlıdır. K bir cisim olmak üzere aşağıdaki özelikleri sağlayan bir ip : K - ? Z U {00} fonksiyonuna K üzerinde bir mertebe fonksiyonu denir. i) ıp(&) = 00 < - > a = 0 ii) (p(ab) = y?(a) + (p(b) iii) min{y>(a), ^>(b)} Polinomların homojenleştirilmesi ve formların homojenliğinin bozulması (dehomojenizasyonu) gösterilmiş ve bir formun çarpanlara ayrılması İle o formun homojenliğinin bozulması ile elde edilen polinomun çarpanlara ayrılmasının bir çarpan dışında aynı şey olduğu ve üzerinde çalışılan cismin cebirsel kapalı olması halinde iki değişkenli bir formun lineer çarpanlara ayrılabileceği belirtilmiştir. Daha sonra projektif uzay ve projektif cebirsel kümeler anlatılmıştır. Projektif cebirsel kümelerde de afin cebirsel kümelerdekine benzer özelikler olduğu ve indirgenemez projektif cebirsel kümelerde bir nokta hakkındaki soruların ilgili afin yerel halka kullanılarak cevaplanabileceği belirtilmiştir. Afin ve projektif indirgenemez cebirsel kümeler arasındaki ilişkiler ifade edilmiştir. ikinci bölümde afin ve projektif düzlem eğriler hakkında bilgi verilmiştir. Önce afin bir eğrinin katlı noktaları, basit noktaları, bu noktalardaki teğetleri anlatılmıştır, indirgenemez bir eğrinin basit bir noktasındaki yerel halkanın diskret değer halkası olduğu, bu noktadan geçen ve teğet olmayan bir doğrunun bu halka için bir parametre olduğu bir savla belirtilmiştir. indirgenemez bir eğrinin bir noktasının katilliğinin eğrinin yerel halkasının maksimal ideali ile ifade edilebileceği, dolayısı ile katilliğin sadece yerel halkaya bağlı olduğu yine bir başka savla verilmiştir. Daha sonra iki eğrinin kesişme sayısı ve yedi özeliği ifade edilmiştir. Kesişme sayısı I(P, F D G) ile gösterilmiş ve k üzerinde çalışılan cisim, Op(A2) P noktasındaki yerel halka olmak üzere I(P, F n G) = dimk(0P(A2)/(F, G)) olarak verilmiştir. Afin eğrilerle ilgili verilen bilgilerden faydalanılarak projektif eğrilerin katillik, teğetler, kesişme sayısı gibi birçok kavramı tamamlanmıştır. Hangi durumda katlı noktaların sayısının sonlu olduğu ve katlıkla derece arasındaki ilişkiyi gösteren eşitsizlikler belirtilmiştir. Önemli savlardan olan Bezout savı ve bunun sonuçlan verilmiştir. Noether'in esas savı ifade edilmiş bunun vııı yardımıyla non-singüler bir kübik üzerindeki grup yapısından bahsedilmiştir. Noether savı katılmalılık özeliğini göstermek için kullanılır, indirgenemez bir kübiğin basit noktalan aynı şekilde tanımlanan bir işlemle grup oluşturur. Özellikle konik ve kübiklerle ilgili bilgiler verilmiştir. Bu bilgiler bir sonraki bölüm için önem taşımaktadır. Sivri nokta, büküm noktası gibi bazı özel noktalar tanımlanmıştır, indirgenemez bir kübiğin projektif olarak denk yazılışları verilmiştir. Bu yazılışlar şunlardır: Y2Z = X3 Y2Z = X2(X + Z) Y2Z = X(X - Z)(X + Z) Bu kübikler üçüncü bölümde örneklerde kullanılmıştır. Bir kavram birden fazla isimle tanınabilir veya değişik biçimlerde ifade edilebilir. Bu yüzden böyle bir kavramın değişik isimleri ve ifadeleri de belirtilmiştir.
-
ÖgeConformal mapping of nets in n-dimensional weyl hypersurfaces(Institute of Science and Technology, 1996)Burulmasız bir konneksiyona sahip n-boyutlu bir Wn manifoldunda, gij metrik tensörü ile V& konneksiyonu arasında Vfcfifij - 2gijTk = 0 uygunluk koşulu varsa, Wn manifolduna bir Weyl uzayı denir ve Wn(gij,Tk) şeklinde gösterilir. Burada Tk bir kovaryant vektör alanı olup Weyl uzayının komplemanter vektörü veya normalizatörii adını alır. A bir skaler fonksiyon olmak üzere Wn(gij,Tk) uzayında metrik tensörün 9ij = A gij şeklindeki bir dönüşümü altında, Tk kovaryant vektör alanı Tfe = Tfc+dfclnA şeklinde değişmektedir. gij tensörünün ğij = \2gij şeklindeki bir normlaması altında bir A bü yüklüğü A = XpA şeklinde değişiyorsa, A ya gij tensörünün {p} ağırlıklı bir uydusu denir. A, gij nin {p} ağırlıklı bir uydusu olmak üzere, dkA = dkA - pTkA şeklinde tanımlanan dkA ifadesine A'nın genelleştirilmiş türevi denir. VkA = VkA-pTkA şeklinde tanımlanan VkA büyüklüğüne, A'nın genelleştirilmiş kovaryant tü revi denir. Burada VkA alışılmış kovaryant türevdir. Genelleştirilmiş türev ve genelleştirilmiş kovaryant türev bir uydunun ağırlığım korur. Birinci bölümde, Weyl uzayı hakkında genel bilgiler verildikten sonra Chebyshev eğriliklerinin, geodezik eğriliklerinin tanımı verilmiştir. Bu eğriliklerin yardımı ile bir şebekenin birinci Chebyshev, ikinci Cheby shev ve geodezik vektörleri tanımlanmıştır. n E a bi = 0 şartım sağh- 3=1 yorsa böyle bir şebekeye b-şebekesi denir. Burada b{ = pv{ dir.Başka bir deyişle bir şebeke ancak ve ancak 2_. P = 0 şartım sağlıyorsa b-şebekesidir. S* Şebekenin geodezik vektörleri y" cl = 0 şartım sağlıyorsa bu şebekeye *- ' s 3=1 T c-şebekesi denir. Burada c% = £uz dir. Buradan şu sonuç çıkar: bir şebeke s s r " k ancak ve ancak 2_, C = 0 koşulunu sağlıyorsa c-şebekesidir. «=ı s ikinci bölümde, iki Weyl uzayının birbiri üzerine konform tasvirinde bu uzaylar üzerindeki şebekelerin konform dönüşümleri üzerinde duruldu. *. Pk = Tk - Tk şeklinde tanımlanan vektöre konform tasvir vektörü, Th = T%jk - F)k tensörüne de afin deformasyon tensörü diyoruz. Pfc'nm tanımından yararlanarak T%-k için Tl. = PkSİ + PsSİ -Pmgimgks. ifadesi elde edilmiştir. Konform tasvir altında, Chebyshev şebekelerinin, Chebyshev eğrihklerinin, geodezik şebekenin ve geodezik eğriliklerin nasıl değiştiğine dair bilinen eşitliklere yer verildi. Koordinatları xa{oc = 1, 2,..., n + 1) olan Wn+ı(<7a/j, Ty) Weyl uzayının, koordinatları u\i = 1,2,..-,«) olan W"(gij,Tk) hiperyüzeyini gözönüne alalım. Wn ve Wn+ı in metrikleri arasında gij=gapx?Xj (t,j = l,2,---,n; a,/? = 1,2,-..,n + 1) bağıntıları mevcuttur. Burada xf, xa mn ux ye göre kovaryant türevini göstermektedir. vi Wn+i e ait ve g^r^rf - 1 olacak şekilde normlanmış olan, normal vektörün kontravaryant bileşenleri r)a olsun. Wn de tanımlı {xf, T)a} hareketli çatısı ile, {x%a:r)a} karşıt hareketli çatısı arasında 77«*? = 0 77«xL = 0 zfxİ=S} bağıntıları vardır. Tfc ve T7, sırası ile, Wn ve Wn+\ in komplemanter vektörleri olmak üzere aralarında Tk = *JT7 bağıntısı vardır. Ayrıca, Wn deki v (r = 1,2,..., n) vektör alanlarının sırası ile Wn+\ ve Wn e göre kontravaryant bileşenleri va ve vl olduğuna göre, bunlar arasında V = Xı V r * r bağıntısı vardır. Wn+ı Weyl uzayımn Wn gibi bir hiperyüzeyini gözönüne aldığımız zaman birinci cins Chebyshev vektörlerinin Wra+ı ve Wn e göre bileşenleri arasında -a /",. ",i ".fc \ "ar, "a _» a = ( Wik v V )î] + X; a rp r p rp şeklinde bir bağıntı vardır. (v,v,...,u) şebekesi Wn+ı e göre birinci cins Cheby- shev şebekesi ise, Wre e görede birinci cins Chebyshev şebekesidir. ikinci cins Chebyshev vektörlerinin Wn+ı ve Wn e göre bileşenleri arasın da x ©,. T ba = -fifc rja Vi v + xza bi (i, j, r = 1, 2,..., n; a = 1, 2,..., n + 1) © şeklinde bir bağıntı vardır. Buradan şu sonuç çıkar: (v,v,...,u) şebekesi Wn+ı 1 2 n e göre ikinci cins Chebyshev ise, Wn e göre de ikinci cins Chebyshev dir. Son bağıntıdan, r üzerinden toplam alınırsa elde edilen n n n r=l i=l r=l bağıntı, (v,v,...,u) şebekesinin W^+i e göre b-şebekesi olması halinde Wn e 1 2 n n göre de b-şebekesi ve TJ ^2| = 0 olacağım gösterir. »=ı vii Gözönüne alınan şebekenin geodezik vektörlerinin Wn+ı ve Wn e göre bileşenleri arasında mevcut olan bağıntıda r üzerinden toplam alınarak Er = £(»»yV)*tt + X>f«' r=l şeklinde bir bağıntı elde edilmiştir. (v,v,...,v) şebekesi Wn+ı e göre c-şebekesi ise, Wn e göre de c-şebekesi 12 n n olup 2_j ( w%k vlv ) = 0 dır. r=l Çalışmanın üçüncü bölümünde, Chebyshev vektörlerinin çevreleyen u- zaya ve alt uzaya göre bileşenleri arasındaki ilişkiden yararlanarak, Wn+ı * Weyl uzayının Wn ve Wn gibi iki hiperyüzeyi arasındaki bir konform tasvirde: birinci ve ikinci Chebyshev vektörleri arasındaki iHşkilerin, sırasıyla, ve aa- âa= (wikna - WikT}a)vivk rp rp ' r p + (xi ~ xi)rp + xf Ps(v3vi - g3İ cosip) T p rp * /-N - -. *. * (O fc ba -ba - (ti\ rjQ -£lzkr}a) Vi u* © © şeklinde olduğu gösterilmiştir. Eğer S = (v,v,...v) şebekesi, Wn+ı e göre birinci cins Chebyshev şebekesi 12 n * ise bunun konform dönüşmüşü olan 6 = (v.v,..., v) şebekesinin de birinci vl 2 n cins Chebyshev şebekesi olması için gerek şart P.(ff-g«co*
-
ÖgeThe characters of S6 and S7(Institute of Science and Technology, 1993)Bu tez, pratikte relativite ve kuantum teorisi gibi alanlarda yaygın bir şekilde kullanılan matris temsillerinin grup karakteri yoluyla incelenmektedir. Tezin amacı, Sg ve S" simetrik gruplarının bütün karakterlerinin elde edilebileceği karakter tablolarını Üretmektir. Konunun hazırlanmasında kullanılan temel kaynaklar Ledermann [1] ve Murnaghan [2] tarafından verilmiştir. Keown [3] ve Littlewood [4] un yaklaşımları da yol gösterici olmuştur. G boş olmayan bir grup ve x
-
ÖgeSemi-riemannian manifoldların eğrilik koşulları(Institute of Science and Technology, 2004)Bu tez çalışmasında, bazı psödosimetri koşullarını gerçekleyen 4-boyutlu semi-Riemann manifoldunun eğrilik özellikleri sunulmuştur. Patterson'un Eğrilik Özdeşliği kullanılarak Q(S, C) = 0 koşulunu sağlayan 4-boyutlu semi-Riemann manifoldunun semisimetrik olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca, RC = L Q(S, C) (1) koşulunu ve bazı ilave eğrilik özellikleri sağlayan 4-boyutlu semi-Riemann manifoldunun üzerinde Ls = k/12 bulunmuş ve Ricci-psödosimetrik olduğu ispatlanmıştır. L sıfirdan farklı olmak üzere (1) eşitliğini gerçekleyen 4-boyutlu bir semi-Riemann manifoldunun psödosimetrik olduğu, skaler eğriliği k 'nın sıfırdan farklı olduğu, a, sıfırdan farklı bir kovaryant vektör ve C Weyl konfonn eğrilik operatörü olmak üzere ç a(X)C (Y, Z) = 0 toplamının gerçeklendiği ve bu X,Y,Z durumda L nin 1/3 'e eşit olduğu ispatlanmıştır. Bu özellikleri gerçekleyen bir manifold örneği sunulmuştur. Ayrıca, Ricci-psödosimetri ve psödosimetrinin denkliği gösterilmiştir. Bu durumda R-R-Q(S,R) = LıQ(g,C) (2) koşulunu gerçekleyen, boyutu 3 den büyük olan Ricci-psödosimetrik manifoldlann eğrilik özellikleri irdelenmiştir. Son olarak, Ls=(K/n)L veL=l/(n-l) (3) ise, gözönüne alman koşullar özel hale kısıtlanmıştır. (1), (2) ve (3) koşullarım sağlayan Ricci-psödosimetrik manifoldlann psödosimetrik olduğu ispatlanmış ve bu durumda Lr, Lı ve L tammlanmıştır. Bu özelliklerin gerçeklenmesi halinde L fonksiyonun l/(n-l) 'e eşit olduğu bulunmuş ve böyle bir manifoldun psödosimetrik olduğu ispatlanmıştır.
-
ÖgeAbstract toeplitz operatörlerin spektral teorisi(Fen Bilimleri Enstitüsü, 1996)Bu çalışmada Abstract Toeplitz operatörleri tanımlanmış, örnekler verilmiş ve bazı özellikleri incelenmiştir. Ayrıca Abstract Toeplitz operatörleri, spektral teorisi ve Banach cebrinin genel teorisi bakımından da incelenmiştir. Çalışmanın son kısmında ise, Riesz sistemlerin denkliği tanımlanarak sonsuz sayıda denk olmayan Riesz sistem olduğu gösterilmiştir.