Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Fonksiyonel Derecelendirilmişmalzemelerde Gerilme Yığılmalarının İncelenmesi

Abstract

Bir sistem, bir mekanizma, bir makina parçası vb. bir bütünün parçası olacak herhangi bir elemanın, üzerine gelecek yükü, sahip olduğu hacmin bütününe eşit olarak dağıtması konstrüksiyon ile uğraşan bilim adamları, mühendisler, teknik elemanlar vb. herkes için ulaşılmak istenen ideal bir durumdur. Fakat istenilen bu durum hemen hemen hiç bir zaman gerçekleşmez. Çünkü makina tasarımında gerilme yığılmasının oluşacağı tasarım gereksinimlerinden kaçınmak mümkün değildir. İki parçayı birbirlerine bağlama gereksinimi, yuvarlanmalı yatağın mile oturması için milde fatura açılması gereksinimi, milde kama yuvası açılması gereksinimi, sızdırmazlık elemanı için yuva açılması vb. aklımıza gelebilecek bütün gereksinimler, elemanlar üzerinde süreksizlik bölgeleri oluşturular. Elemanlar yük altına girdiği anda eleman üzerinde kuvvet akışı bu süreksizlik bölgelerinde yoğunlaşacak şekilde gerçekleşir. İşte bu şekilde süreksizliklerden dolayı kuvvetlerin bir bölgede yoğunlaşmasına gerilme yığılması adı verilir. Malzemeler üzerinde gerilme yığılması gerilme yığılması faktörü ile ölçülür. Gerilme yığılması faktörü malzemeye, malzeme boyutuna bağlı değildir, yalnızca geometriye bağlıdır. Tasarım aşamasında bir parça üzerinde gerilme yığılmasının oluşacağı bölgelerin yükün yönüne göre tahmin edilmesi ya da bir sonlu elemanlar programı kullanarak analiz yapıp gerilme yığılmasının nerede oluştuğunun görülmesi mümkündür. Geometri kaynaklı gerilme yığılmasını azaltmak amacıyla geometride bazı değişiklikler yapılabilir, literatürde benzer geometrik önlemleri görmek mümkündür. Tasarımcının gerilme yığılmasının önüne geçmek için yapabilecekleri, geometrik değişikliklerle sınırlıdır. Bu değişikliklerin yetersiz kaldığı durumlar için özellikle son yirmi yılda fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler (FDM) üzerinde çalışmalar artmıştır. Fonksiyonel derecelendirilmiş malzemeler (FDM), tanımlanmış bir fonksiyona bağlı olarak malzeme özelliğinin, malzeme üzerinde bir yüzeyden diğer yüzeye farklılık gösterdiği, heterojen kompozitlerdir. Bilinen kompozit malzemelerde olduğu gibi birden fazla, elastisite modülü kendi içinde değişmeyen homojen malzemeden oluşan yapılar değildirler. Bu çalışmada, iki boyutlu ortasında dairesel ve eliptik delikler bulunan plakaların fonksiyonel olarak derecelendirilerek homojen duruma göre plaka üzerinde gerilme yığılması ve yığılmanın oluştuğu bölgede meydana gelen değişimler incelenmiştir. Dairesel delikli plaka için derecelendirme işlemi güç fonksiyonu ve literatürde analitik çözümü elde edilmiş üstel bir fonksiyona göre delik merkezi koordinat başlangıcı kabul edilerek radyal yönde yapılmıştır. Eliptik delikli plaka için ise iki farklı üstel fonksiyona göre iki farklı eliptik delik geometrisine sahip malzemeler üzerinde derecelendirme yapılmış fakat derecelendirme işlemi bir koordinata göre değil eliptik delik geometrisine göre yapılmıştır. Çalışma ile homojen durumda çift eksenli yük altında delik çeperlerinde ortaya çıkan gerilme yığılması faktörlerinin fonksiyonel derecelendirilmiş malzemede nasıl değiştiği görülmüştür. Sonrasında üzerlerinde çalışılan bu plakalara delik geometrisinde çelik ve elastisite modülü 200x106 GPa olan ek homojen malzemeler bağlanarak gerilme değerleri ve gerilme bölgelerinde meydana gelen değişimler incelenmiştir. Son bölümde delik çeperinde harekete izin verilmeyerek çift eksenli gerilme altında fonksiyonel derecelendirilmiş plakada gerilme değerleri incelenmiş ve homojen malzeme bağlama durumuyla karşılaştırma yapılmıştır. Çalışmanın tümünde Ansys sonlu elemanlar programı kullanılmış, derecelendirme işlemleri Ansys programının elastisite modülünün sıcaklığa bağlı olarak girilebilmesine izin veren özelliği sayesinde yapılmıştır. Sonle elemanlar modeli ağ yapısı kurulurken plane 183 2 boyutlu eleman kullanılmıştır. Ek homojen malzeme bağlanması sırasında Ansys programındaki malzemeler arası boşluğa ve kaymaya izin vermeyen “bonded” komutu kullanılmıştır.

It is an idea that to distribute all the loads which is applied to a part equally to the volume of it for whom interested in mechanical design. But this is an idea which is very hard to reach. Because there are many requirements for mechanical design such as opening a rabbet on a shaft for bearing, bonding of two parts with screws, keyway on shaft, holes, cavities etc.. These requirements bring discontinuities on structures. And then when the parts loaded, discontinuities attracts the load flow on their area. That attraction is called stress concentration. The magnification of the stress at geometric discontinuities can be expressed by the elastic stress concentration factor (SCF) which is the ratio of maximum stress at the discontinuity to nominal stress(applied stress). Stress concentration factor doesn’t depend on material of the part or the size of the part only depends on the geometry of the part. It is possible for a designer to guess where will be the stress concentration area or to see the stress concentration area by structural analyses and make some modifications to decrease stress concentration factor on structure. But for the situations that it is not enough the functionally grade material (FGM) concept introduced. The concept of functionally graded materials (FGMs) was first introduced in the 1980s by a group of material scientists in Japan. Functionally graded materials are heterogeneous composite materials, in which the material properties vary continuously as a known function of the spatial position from one interface to the other. Since its introduction in 1980s functionally graded materials have been used extensively in thermal barrier coatings of gas turbine engines and rocket nozzles and smart structures. Graded nanocomposites have also been used in biological implants, MEMS coatings, sensors and wear resistant coatings. Graded materials have been manufactured by a variety of processes including centrifugal molding suspension of particles in polymer matriz, pressureless sintering, spark plasma sintering and laser melt injection. In this study the effect of the material property inhomogeneity on the stress concentration factor (SCF) and the stress concentration areas due to a circular hole and elliptical hole in functionally graded plates is numerically investigated. Also at the last sections hole formed inclusions inserted in functionally graded materials and the stress results investigated under biaxially loads. After inclusion work, a different way is tried which a fixed support defined to the hole profile instead of a rigid inclusion. For both circular and eliptical hole forms two different functions used for gradation process on two dimensional plate. Young’s modulus was varied in both intensity and gradation depth in the in plane x and y coordinate directions with gradation originating on and following the shape of the hole form. Power function and an exponential function which has two parameters define stiffness at the hole perimeter and the decay rate of Young’s modulus away from the hole are used for gradation of plate with circular hole. The analyses with the circular hole are all executed on 40x40 mm two dimensional plate, but ¼ symmetrical model is used to save time and decrease finite element quantity. The ratio of the radius of circular hole and half length of the plate was 1/10 at all time. All the stress concentration factor results obtained by finite element method, compared with the closed form analytical function results from literature. Kummer’s function is solved to obtain the stress results of exponential function for given parameter values by using Matlab programme.Young’s modulus versus radial coordinate graphs presented to show gradation depth and decay rate over functionally graded plate. Also some screen captures from the analyses are given. After that figures and graphs are given which include stress concentration factor results for different parameter values of both functions comparing with analytical results and homogeneous form results. At the end of work on functionally graded plate with circular hole, the effect of inhomogenity of material to the stress concentration factor discussed. For the plate with elliptical hole two functions, one of them is the modificated version of the other one which is taken from the literature, used for gradation of the plate. The gradation of plate is followed the shape of the elliptical hole. And two different plate and hole geometries analysed. For both conditions the ratio of major axis of elliptical hole to the half length of the plate was 1/10. Superposition rule implemented to get stress concentration factor result of homogeneous plate under biaxial loads for both geometries. By changing the parameter values for both functions, stress concentration factors less and more than homogeneous plate stress concentration factors under biaxially loads are obtained. Again young’s modulus versus x axis which is parallel and coincident to major axis of elliptical hole graphs are given. In these graphs it is possible to see how gradation depth and the Young’s modulus at the hole profile changed by modification of the other function. Then figures including stress concentration factor results for two functions and two geometries are given. Some values are compared with an other work from the literature and discussed. Finally at the last section inclusions inserted to the hole forms and bonded to the rest of the plate then stress values evaluated under same biaxially loads. The bonded command doesn’t let parts be apart and slide on each other. Two different materials, steel and a rigid material which had 200x106 GPa Young’s modulus used as an inclusion. By using two diffrent materials which had huge diffrence between elasticity moduluses, the change in stress values for diffrent inclusions investigated. Also the effect of the elasticity modulus diffrences between plate and the inclusion discussed. After that work, a fixed support defined to the hole profile instead of rigid inclusion. Under same conditions with same hole geometries and plates analyses made and compared with the results which already obtained with the rigid inclusion. The finite element model built up with Ansys finite element programme workbench interface. 8 noded plane 183 two dimensional finite element is used for establishing mesh. For all geometries, map mesh is used and to obtain more accurate results hole areas meshed more intensive then the other areas towards the outer boundary of the plate. Initially, for all cases, analyses made on homogeneous plate to reach most accurate mesh structure. Defining Young’s modulus depending on thermal condition ability of the programme is used for functionally gradation. For the plate with circular hole a cylindrical coordinate system placed at the origin of the hole and then thermal condition defined functionally with the gradation function. After that those temperature values defined equal to the Young’s modulus of the material at the material data section of the programme. On the other hand thermal expansion coefficient of the material changed to zero which is to remove physical effects of temperature. By this way the plate is functionally graded from the periphery of the circular hole towards the outer boundary. For the the plate with elliptical hole, it was not possible to implement same way with circular hole. Because the gradation of the elliptical hole followed the shape of the holes’ profile. That means gradation function depends on two unknowns because elliptical hole has two axises called major and minor. And Ansys finite element programme is not able to define temperature which depends on two unknowns. For this reason the plate divided into many elliptical formed rings which are enough for gradation depth for given function parameters and thermal condition defined for all the sections manually. And again at the material data section, all temperature values for the rings defined as young’s modulus.