Elektrik Tipi Green Fonksiyonların Ve Hacimsel İntregrallerinin Hızlı Hesaplanması

Abstract

Saçılma problemleri elektromanyetik teorinin içerisinde çok geniş ve önemli bir yer tutar. Uzaktan algılama, jeofizik, tıbbi görüntüleme ve diğer sivil veya askeri uygulamalarda bu türden problemlerin çözümleri direk uygulama alanına sahiptir. Genel olarak saçılma problemlerini iki gruba ayırmak mümkündür. Bunlardan ilki olan düz saçılma problemlerinde bilinen bir ortamda yer alan ve tüm elektromanyetik ve geometrik özellikleri belirli olan bir cismin, yine belirli bir kaynaktan uyarılmış olan dalgalarla etkileşimi incelenir. Böylece cisimden saçılan alan belirlenmeye çalışılır. İkinci grup olan ters saçılma problemleri ise fiziksel veya geometrik özellikleri bilinmeyen veya yanına yaklaşılamayan bir cisimden saçılan alanın ölçülmesiyle cisim hakkında bilgi elde edilmeye calışılır. Bu ikinci grup problemlerinin çok önemli bir uygulama alanı da, son yıllarda üzerinde çok yoğun çalışmalar yürütülmekte olan, mikrodalga tomografisidir. İster düz ister ters olsun tüm saçılma problemlerinin çözümünde cismin içerisinde yer aldığı bölgeye ilişkin Green fonksiyonunun hesaplanması çok önemli bir problem oluşturur. Mevcut problem çözme yöntemlerinin hemen hepsinde ortama ilişkin Green fonksiyonunun bilinmesi gerekir. Ele alınan problemin 3-boyutlu değişime sahip olduğu cisim veya boyutlarının sonlu olduğu her durumda Green fonksiyonları dyadic yapısındadırlar. Bilindiği üzere birim dürtü yansıtı olarak yorumlanabilen Dyadik Green fonksiyonları, ya direkt olarak alan büyüklükleri için ya da vektör ve skaler potansiyeller için ifade edilebilirler. Özellikle 3-boyutta düz saçılma problemleri çözülürken potansiyellere ilişkin Dyadik Green fonksiyonlarının kullanılması belirli avantajlar içerir. Çünkü genelde bu fonksiyonların tekillikleri zayıf tekillikler olup integral ifadelerinin içerisinde bunların hesaplarını yapmak nispeten daha kolaydır. Öte yandan elektrik alana ilişkin Dyadik Green fonksiyonları kuvvetli tekillik içermesine rağmen özellikle ters saçılma problemlerinin çözümünde kaçınılmaz olarak kullanılmak zorundadırlar. Ele alınan problemin yapısına bağlı olarak Dyadik Green fonksiyonları çeşitli şekillerde ifade edilebilirler. Homojen ve sonsuz geniş bir uzay halinde bu fonksiyonlar analitik ifadelere sahiptir. Öte yandan pek çok pratik uygulamada cismin içinde yer aldığı bölge homojen olmayıp değişik ortamların bir araya gelmesinden oluşmuştur. Bu türden yapıların en yaygın olarak karşılaşıldığı durum ise düzlemsel olarak tabaklara ayrılmış bir uzaydır. Bu halde Dyadik Green fonksiyonları boş uzayda olduğu gibi direk analitik olarak ifade edilemezler. Ancak Dyadik Green fonksiyonlarının spektral ifadeleri kullanılarak bu fonksiyonlar düzlemsel ve silindirik dalgaların sürekli bir spektrumu gibi gösterilebilirler. Bu gösterilimde kompleks düzlemde özel integraller (Sommerfeld integrali) kullanılır. Bu integrallerin direk olarak hesaplanması çoğu zaman mümkün olmadığı gibi sayısal olarak hesaplanmalarında da pek çok güçlük vardır. Özellikle kaynak ve gözlem noktalarının yakın olması veya yüksek frekanslarda çalışılması durumunda, bu integralleri bilinen sayısal integrasyon teknikleri ile hesaplanması hem hesap yükü bakımından çok fazla hemde yüksek hassasiyette sonuçlar elde etmek bakımından çok yetersizdir. Yukarıda belirtildiği gibi ters saçılma problemlerinin çok önemli bir kullanım alanı mikrodalga tomografisidir. Mikrodalga tomografisinde görüntüleme için kullanılan yöntemlerden bir tanesi kontrast kaynak metodudur. Bu metodun özelliği ortama ilişkin elektrik tipi Green fonksiyonlarının hesaplanmasını gerektirmesidir. Buna ek olarak bir de Green fonksiyonlarının hücresel integrallerinin hesaplanması gerekmektedir. Green fonksiyonlarının hesaplanması uzun süren bir işlemdir, ayrıca hücresel integrallerinin hesaplanması da işlem süresini yoğun ölçüde artırır. Bu çalışmanın amacı 2-parçalı uzaya ilişkin elektrik tipi Dyadik Green fonksiyonunun hızlı ve etkin bir biçimde hesaplanmasıdır. Bu amaçla Dyadic Green fonksiyonu ve bunların küp şeklindeki hücreler üzerindeki integrallerinin hesabı için etkin bir yöntem olan ayrık karmaşk imaj yöntemi (DCIM) yöntemi kullanılmıştır. DCIM spektral gösterilimdeki bileşenlerin üstel terimlerin toplamı gibi yazılarak her bir bileşeni sonlu sayıda ayrık kaynaktan yayılan küresel dalgalar şeklinde ifade etmeye dayanır. Mevcut integral ifadesini bilinen Sommerfeld özdeşliğine benzeterek integrali toplama dönüştürmeye yardımcı olur. Spektral düzlemde bileşenlerin üstel terimlerin toplamı olarak yazılması için ‘Generalized pencil of function’ (GPOF) yöntemi ile iki parçalı örnekleme yolu kullanılmıştır. Sommerfeld integralinin hesaplanması, tekil noktaların integrasyon yoluna yakın ya da üzerinde olması durumunda zorlaşır. Bu sorunu aşabilmek için integrasyon yolu, tekil noktaların yakın olmayacağı şekilde, yeniden düzenlenmiştir. İntegrasyon yolu iki parçaya ayrılıp, GPOF için gerekli koşul olan doğrusal örneklemeyi sağlayacak şekilde düzenlenmiştir. İlk once ilk parça üzerinde GPOF yaklaşımı uygulanıp sonra mevcut fonksiyondan çıkartılmıştır. Kalana GPOF diğer parça üzerinde uygunlanmıştır. Böylece hata en aza indirgenmiştir. Sommerfeld eşözdeşliğinin kullanılabilmesi için kz kompleks düzlemine geçiş yapılması gerekir, bu yüzden kρ düzleminden kz düzlemine geçiş parametreleri belirlenmiştir. Bu tezde öncelikle elektrik tipi Dyadic Green fonksiyonlarının boş uzay için ifadeleri elde edilmiştir. Devamında iki parçalı düzlem için Green fonksiyonları hesaplanmıştır. Boş uzayda ifadeler düzlemsel dalgalar cinsiden elde eldiği için, iki katmanlı uzay durumunda, gerekli yansıma katsayıları eklenerek Green fonksiyonu ifadeleri elde edilir. Bütün ifadeler spektral düzlemde yazılmıştır. Devamında yarı analitik olarak Dyadic Green fonksiyonlarının hücresel integralleri hesaplanmıştır. Hücresel integraller sıkça kullanılan yaklaşımlar yapılarak analitik olarak hesaplanmıştır. Devamında DCIM yöntemi detaylı olarak anlatılmıştır ve önceden bulunan Green fonksiyonu ifadelerine uygulanmıştır. Yöntemin geçerliliğini ve olumlu etkisini vurgulamak amacıyla direk sayısal integralden elde edilen sonuçlar kullanılıp kıyaslama yapılmıştır. Örnekler hem elektrik tipi Dyadik Green fonksiyonlarının ifadeleri için, hem de Green fonksiyonlarının hücresel integralleri için gösterilmiştir. Sonuçlarda DCIM ile hesaplanan verilerin sayısal integral ile hesaplanan verilerle örtüştüğü ve hesaplama zamanının belirgin miktarda kısaldığı gözlemlenmiştir. Hücresel integralin numerik integrasyon ile hesaplanması durumunda işlem zamanı çok artarken, DCIM ile kayda değer bir fark gözlenmemiştir.

Scattering problems hold wide and important place within the electromagnetic theory. Solutions of the problems of this kind can be applied directly to remote sensing, geophysics, medical imaging and other civilian or military applications. Generally scattering problems can be divided into two groups. The first one that is direct scattering problem examines the interaction of a body with a certain geometric and electromagnetic properties placed in a known medium with the waves evoked from a given source Thus, it tries to calculate the scattered field from the body. The second one that is inverse scattering problem collects information about an object with unknown physical or geometrical properties or placed in an inaccessible place by measuring the area scattered from it. One very important area of application for the second group of problems is microwave tomography which is an important developing technique of the last years. In both direct and inverse scattering problems, the derivation of Green s functions of for the region where the object buried plays very important role. Almost all existing methods for solving the problem require knowing the Green s functions related to the medium. In cases when the dealing problem is about bodies with changes in 3-dimensional, or that the dimensions are infinite Green s functions are in dyadic form. Dyadic Green’s functions that are interpreted as the impulse response can be expressed either directly for field quantities or for vector and scalar potentials. Especially for 3-D direct scattering problems, dyadic Green s functions solved for potentials contain certain advantages. Because singularity of the integral expressions is usually weak and it is relatively easier to calculate these functions. On the other hand, although electric field dyadic Green’s functions’ contain strong singularity, especially in solving inverse scattering problems usage of them is inevitable. Depending on the nature of the problem dealt with, the dyadic Green s functions can be expressed in various forms. In infinite and homogeneous wide space these functions have analytical expressions. On the other hand, in many practical applications the region, where the object is placed, is composed of different homogeneous environments coming together. The most common situation of this kind of structures is space separated as the planar plates. In this case, as in empty space dyadic Green s functions cannot be easily expressed analytically. However, using the spectral dyadic Green s functions expressions, these functions may be displayed as a continuous spectrum of the planar and cylindrical waves. For this representation special integrals (Sommerfeld integrals) on complex domain are used. As it is often not possible to directly calculate these integrals also while calculating numerically there are plenty of challenges. Especially in case that the source and observation points are near each other in case of high frequencies, usage of known numerical integration techniques to calculate the integrals is very poor in terms of computational burden and in term of getting with high precision. The purpose of this study is to calculate quickly and effectively electric-type dyadic Green’s function of the two layered space. In this aim DCIM, that is an effective method for the calculation of Dyadic Green s function and their integrals over cube-shaped cells, is utilized. DCIM is based on expressing each component in terms of spherical waves illuminated by finite number of discrete sources by writing the spectral representations as the sum of exponentials. In this thesis, first of all, expressions for electric-type dyadic Green’s functions are derived. In continuation, integrals of the dyadic Green’s over of cuboid cells are calculated semi-analytically. Subsequently DCIM method is described in details. In order to emphasize the effectiveness and the validity of the method and the results obtained from direct numerical integration are used to compare with. In conclusion it is observed that the data of DCIM match with the data calculated by numerical integration and that there is significant decrease in computational time.