Yerel Olmayan Bazı Sınır Değer Problemleri İçin Green Veya Genelleştirilmiş Green Fonksiyonelinin İnşası

Abstract

Evrendeki pek çok fiziksel olguyu modelleyen matematiksel problemler, matematiksel analiz ve uygulamalı matematikte yerel ve yerel olmayan problemler olarak iki gruba ayrılabilir. Öte yandan bir başka sınıflamaya göre bu matematiksel problemler başlangıç değer ve sınır değer problemleri şeklinde de ikiye ayrılabilir. Tüm bu bahsedilen problemlerde karşımızda, bilinmeyen (bilinmeyenler) için cebirsel, diferansiyel, integro-diferansiyel, integral veya fonksiyonel denklem (denklem sistemleri) ile bilinmeyeni (bilinmeyenleri) belirlemeye yarayabilecek bazı koşul veya koşullar mevcuttur. Bilindiği üzere, yerel problemler lisans ve lisans sonrası derslerde her zaman öncelikle tanıtılan klasik problemler iken yerel olmayan problemler daha genel anlamda olan klasik olmayan tipte problemlerdir. Yerel olmama durumu ya problemin denklem veya denklemlerinde ya problemin koşul veya koşullarında ya da problemin hem denklem veya denklemlerinde hem de koşul veya koşullarında ortaya çıkabilir. Sonuçta bu üç yapıdaki her bir problem yerel olmayan problem olarak anılır. Bu çalışmada yerel olmama durumu problemin sadece koşul veya koşullarında ortaya çıkmaktadır. Bir fiziksel problemde yerel olmama durumu esas olarak birbiriyle ilişkili, etkileşimli iki veya daha fazla nesnenin, olgunun varlığından kaynaklanır. Evrende ve onun başlangıcından günümüze gelişiminde nesnelerin ve olguların etkileşimlerinin varlığı dikkate alındığında aslında pek çok fiziksel problemin matematiksel modellenmesi sonucunda çoğunlukla yerel olmayan tipte problemlerle karşılaşılabileceği oldukça beklenen bir sonuçtur. Kurulan yerel modellerde nesnelerin ve olguların bu söz konusu etkileşimleri yeterince dikkate alınamadığından modellerin çözümleri sonucunda da ilgili bazı fiziksel gerçeklikler açıklanamamakta ve ortaya çıkarılamamaktadır. Dolayısıyla yerel olmayan modellerin ve çözümlerinin irdelenmesi önem arzetmektedir. Böyle yerel olmayan problemlerin çeşitli formlardaki çözümlerinin varlığı, tekliği ve yapısı konularının incelenmesi amacıyla bazı temel çözümlerinin özellikle de Green fonksiyonunun veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunun oluşturulması yararlı olmaktadır. Yayınlarda Green fonksiyonu inşa etmek üzere kullanılan genelde üç temel analitik yöntem mevcuttur. Bunlardan ilki parametrelerin değişimi yöntemidir. Bu yöntemle, yerel olmayan doğrusal koşullar altında düzgün katsayılı denklemlerin söz konusu olduğu aşikâr çekirdekli bazı doğrusal Sınır Değer Problemleri (SDP ler) için analitik olarak Green fonksiyon elde edilmiştir ama aşikâr olmayan çekirdekli söz konusu problemler için genelleştirilmiş Green fonksiyonunun inşası uğraştırıcı olabilir. İkinci yöntem, klasik Green fonksiyon yöntemidir. Bu yöntemle ele alınan problemin kısmi integrasyon kullanılarak bir eşitlikle klasik anlamda eş problemi kurulmaya çalışılır ama bazı yerel olmayan doğrusal koşullar durumunda veya düzgün olmayan katsayılı denklemler durumunda eş problemin klasik anlamda elde edilmesi ya çok uğraştırıcıdır ya da mümkün olmayabilir. Dolayısıyla böyle problem için ikinci yöntemle, uygun koşullar altında var olmasına rağmen analitik olarak Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunun açık ifadesi elde edilemeyebilir. Üçüncü yöntem ise; temel olarak parametrelerin değişimi yöntemine dayanan süreksizlik içeren çeşitli problemler için geliştirilmiş bir temel çözüm yöntemidir. Bu yöntemle de ilgili bazı problemler için Green fonksiyon elde edilmiş ama bildiğimiz ve araştırmalarımızdan edindiğimiz kadarıyla yerel olmayan koşullu problemlerin bu açıdan incelenmesi birkaç istisna haricinde ihmal edilmiştir. Dolayısıyla bahsedilen bu eksiklikler söz konusu olduğunda analitik Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunun açık ifadesinin yerine yayınlarda, yaklaşık (veya analitik-yaklaşık) ifade veya özel başka çekirdek fonksiyon ifadesi genelde elde edilmesi ve yaklaşık (veya analitik-yaklaşık) çözümler türetilmesi yoluyla boşluk doldurulmaya çalışılmaktadır. Son yıllarda pek çok çalışmanın ve uygulamanın yapıldığı Çoğalan Çekirdek Yöntemi (ÇÇY) buna örnek olarak verilebilir. Bahsedilen eksikliklerin giderilmesine katkıda bulunmak üzere; ana fikri Seyidali Seyidoğlu Akhiev e ait bir yöntemin devamı niteliğinde olan, matematiksel analizin fonksiyonel analiz, genelleştirilmiş fonksiyonlar ve doğrusal operatörler teorisi gibi alt dallarına dayanan bir temel çözüm yöntemiyle esas olarak yerel olmayan koşullu bazı problemlere temel çözümler elde edilerek çözümün integral gösteriliminin türetilmesi ve çeşitli uygulamalarla yöntemin kullanışlılığının gösterilmesi bu çalışmada temel amaç edinilmiştir. Burada adı geçen temel çözüm, uygun duruma göre Green fonksiyoneli veya genelleştirilmiş Green fonksiyonelidir. Özelde Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyon ilgili fonksiyonel yardımıyla belirlenir. Çalışmada ele alınan problemlerde denklemin katsayılarının düzgün olmayan fonksiyonlar oldukları ancak Lp-integrallenebilirlik ve sınırlılık gibi bazı özelliklere de sahip oldukları varsayılır. Denklemi temsil eden operatörün doğrusal kısmının genel olarak formal eş operatörü olmayabilir veya bu kısma sadece bir distribüsyonlar (distribution) uzayında karşılık bulunabilir. Ayrıca, basit bir doğrusal diferansiyel denklem ve bir yerel olmayan koşul durumunda bile ele alınan problemin anlamlı klasik tipte eş problemi olmayabilir. Bu sebeplerle böyle bir problem için bahsedilen klasik yöntemleri kullanmada bazı ciddi zorluklar doğabilir. Öte yandan benzer zorluklar, diferansiyel denkleminin katsayılarının türevlenemeyen sürekli fonksiyonlar olduğu klasik tipten problemlerde bile doğabilir. Bu zorlukların giderilmesine katkı yapmak üzere, Green ve genelleştirilmiş Green fonksiyonelleri kavramları tanıtılarak bu çerçevede söz konusu problemlerin çözümleri araştırılmıştır. Bu kavramların temel fikri, eş sistem olarak adlandırılan yeni eş problem kavramının kullanımının esas alınmasıdır. Eş sistemin yapısı denklem ve koşuldaki (koşullardaki) doğrusal operatörlere bağlıdır. Aşikâr çekirdekli problem için Green fonksiyoneli ve aşikâr olmayan çekirdekli problem için genelleştirilmiş Green fonksiyoneli bu eş sistemin özel hallerinin tek çözümleridir. Bu özel haldeki eş sistemlerin her ikisi de bir bilinmeyen elemanlı integro-cebirsel denklemlerden oluşur. Bilinmeyen elemanın ilk bileşeni her zaman bir fonksiyon; diğer bileşen veya bileşenler reel sayıdır. Bu denklemlerden biri ilk bileşenin bilinmeyen olduğu genellikle bir integral denklemdir ve diğer bileşen veya bileşenler parametredir. Diğer denklem veya denklemler kalan bileşene veya bileşenlere göre cebirseldir ve ilk bileşenle tanımlanan bazı integral fonksiyoneller içerebilir(ler). Eş sistemin buradaki rolü, Banach uzaylardaki doğrusal operatör denklemler teorisinde verilen eş operatörün rolüyle benzerdir. Aşikâr çekirdekli problem için çözümün integral gösterilimi Green fonksiyoneli ile elde edilir. Aşikâr olmayan çekirdekli problem için çözülebilirlik koşulları altında çözümün integral gösterilimi genelleştirilmiş Green fonksiyoneli ile elde edilir. Bu fonksiyonellerin her ikisinin de ilk bileşenleri sırasıyla ele alınan problemin Green fonksiyonuna ve genelleştirilmiş Green fonksiyonuna karşılık gelir. Kısaca belirtilecek olursa bu yöntem Green fonksiyon elde etmek için kullanılan klasik yöntemlerden temelde farklıdır. Çalışmada, yerel olmayan çeşitli türden doğrusal koşullar altında önce ikinci mertebe doğrusal adi diferansiyel denklem ve bunun yükleme terimli formu ardından daha genel hal olan m. mertebe adi diferansiyel denklem ile temsil edilen problemler için aşikâr çekirdekli operatörler durumunda yöntem vasıtasıyla Green fonksiyon ile Green çözüm elde etmek üzere incelemeler yapılmıştır. En son ise yine aynı türden koşul altında genelleştirilmiş gecikme terimleri de içerebilen birinci mertebeden doğrusal olmayan adi integro-diferansiyel denklemle verilen bir SDP modeli göz önüne alınmıştır. Ele alınan problemler düzgün ve düzgün olmayan katsayılı denklemler için örneklendirilmiştir. Yöntem, ele alınan örneklerden anlaşılabileceği üzere yerel olmayan doğrusal koşullar içeren oldukça geniş doğrusal ve bazı doğrusal olmayan problemler sınıfına kolayca uygulanabilir ve etkin sonuçlar verebilir. Özellikle çalışılan modellere uyan problemin eş probleminin klasik anlamda ifade edilemediği durumlarda yöntem oldukça değerlidir. Dolayısıyla çalışmadaki yöntemin, bahsedilen problemleri genellikle integral denkleme dönüştürerek çözüm türetmeyi amaçlamış ender yöntemlerden biri olduğunu düşünmekteyiz. Çalışmada belirtilen çözülebilirlik koşulları altında tanıtılan ilk özel eş sistemin tek çözümü vardır ancak ve ancak çözülebilirlik koşulları altında tek Green fonksiyoneli (dolayısıyla da tek Green fonksiyonu) vardır çıkarımı sayesinde yayınlarda var olan bazı çalışmalarda ilgilenilen söz konusu problemlerin çözümlerinin varlık ve teklik koşulları çok daha kolay bir şekilde elde edilebilmektedir. Dolayısıyla, çalışma kapsamındaki sonuçların ilgilenilen söz konusu problemlerin çözümlerinin varlık ve tekliğini incelemeyi amaç edinecek çalışmalar için yararlı olabileceğini düşünmekteyiz. Tez çalışmasının yapılmasına büyük ölçüde sebep olan, vurgulamış olduğumuz temel zorlukların giderilmesine katkı yapmak üzere başvurulabilen ÇÇY gibi yaklaşık veya analitik-yaklaşık çözüm yöntemlerinin kullanımında, tez çalışması kapsamındaki yaklaşımın dikkate alınması ile, ilgili yöntemler vasıtasıyla elde edilebilecek çözümlerin hassasiyetinin daha da arttırılabileceğini düşünmekteyiz. Yayınlarda katsayı ve sağ yan fonksiyonları üzerinde süreklilik gibi kuvvetli varsayımların yapılarak çözümlerinin incelenebildiği adi diferansiyel ve integro-diferansiyel denklemleri konu edinen çalışmalardaki incelemelerin aslında süreklilik gibi kuvvetli varsayımlar yerine Lp-integrallenebilirlik ve sınırlılık gibi daha zayıf varsayımlarla da yapılabileceğinin örneklerini oluşturması yönüyle de çalışmanın dikkate değer olduğunu düşünmekteyiz. Çalışma esas olarak yerel olmayan koşul veya koşullar içeren sınır değer problemlerine odaklansa da aslında yerel koşul veya koşullar içeren pek çok başlangıç ve sınır değer problemi için de Green veya genelleştirilmiş Green fonksiyonunu türetmede etkin bir başvuru kaynağı olarak kullanılabilir. Özellikle denkleminde katsayı ve sağ yan fonksiyonlarının sürekli değil de Lp-integrallenebilir ve sınırlı varsayıldığı yerel koşul veya koşullarla verilen başlangıç ve sınır değer problemleri için oldukça kullanışlı ve yararlı olabilir.

Mathematical problems modelled for many physical facts in the universe can be classified into two groups as local and nonlocal problems in mathematical analysis and applied mathematics. According to another classification, these mathematical problems can also be classified into two groups as initial value problems and boundary value problems. Algebraic, differential, integro-differential, integral or functional equation or systems of such equations for unknown or unknowns and any condition or conditions which allow to identify for the unknown or unknowns exist in all these mentioned problems. As is known, while local problems are classical problems that are always firstly introduced in undergraduate and graduate courses, nonlocal problems are nonclassical problems that are in more general form. The nonlocality case may arise either in the equation (equations) of the problem or in the condition (conditions) of the problem or in both of them. Each problem in such three form is referred to as a nonlocal problem. The nonlocality case in this thesis arises only in the condition or conditions of the considered problem. The nonlocality case in a physical problem frequently arises from the existence of the objects, facts or phenomena which interact or relate with each other. When the interactions and relations of the objects, facts or phenomena in the universe and its evolution since the beginning of it are taken into account, the fact that may frequently occur of nonlocal problems as a result of mathematical modelling of many physical problems is actually a reasonably expected result. Since such interactions and relations can not be sufficiently considered in the local models constructed, the reasonable explanations for some relevant physical realities can not be provided. Therefore, the investigation of nonlocal models and their solutions has a great importance. In order to study the topics such as existence, uniqueness and forms for the various solutions of such nonlocal problems, the construction of some fundamental solutions such as especially Green s function or generalized Green s function of these problems is very useful. Three main analytical methods generally exist for constructing Green s function in literature. The first one is the method of variation of parameters. By means of this method, Green s function for some linear boundary value problems with trivial kernel involving linear nonlocal conditions has been analytically constructed in case of the equations with smooth coefficients. On the other hand, the methodology about how to construct generalized Green s function for the problems with nontrivial kernel may require a struggle. The second one is the classical Green s function method. By this method, the adjoint problem of the problem considered is tried to be obtained in the classical sense by means of the identity defined for the adjoint operator with the aid of integration by parts formula. But, in case of some linear nonlocal conditions or in case of the equations with nonsmooth coefficients, the construction of the adjoint problem in the classical sense may be either troublesome or impossible. Therefore, Green and generalized Green s functions can not be analytically determined in spite of their existence by this second method. The third one is an improved method, which is substantially based on the method of variation of parameters, for the fundamental solution of the problems with discontinuities. By means of this third method, Green s function for some relevant problems has been constructed. But, as far as we know, the problems with nonlocal condition(s) have been omitted with a few exceptions in this respect. Therefore, the deficiencies are tried to be reduced by firstly constructing some approximate or analytically approximate expressions or another specific expressions for a kernel function and then deriving approximate or analytically approximate solutions instead of the explicit expressions of the analytical Green and generalized Green s functions in the literature when the mentioned cases occur. Reproducing kernel method by which many applications are implemented in recent years can be reminded as an example to these facts. In this thesis, in order to contribute to overcome the deficiencies mentioned above, the main aims are to derive an integral representation of solution by constructing fundamental solution to some problems involving generally nonlocal condition(s) by means of a fundamental solution method, and to illustrate usefulness of the method by providing some applications. The main idea of this method has been given by Seyidali Seyidoğlu Akhiev and it is based on functional analysis, generalized functions and linear operators in mathematical analysis. The fundamental solution mentioned here is Green s functional or generalized Green s functional according to the relevant case. Green s function and generalized Green s function for the problem in particular is determined by means of the relevant functional. In the problems considered throughout this thesis, the coefficients of the equation are generally nonsmooth functions satisfying some general properties such as Lp-integrability and boundedness. The linear part of operator corresponding to this equation, in general, may not have a formal adjoint operator, or any extension of the traditional type for this part may exist only on a space of distributions. In addition, the considered problem may not have a meaningful traditional type adjoint problem, even for simple case of a linear differential equation and nonlocal condition. Due to these facts, some serious difficulties may arise in applying of the classical methods mentioned above for such a problem. The similar difficulties may arise even for classical type problems when the coefficients of the differential equation are, for example, continuous nondifferentiable functions. In order to overcome these difficulties, Green and generalized Green s functional concepts are introduced and sought solutions to the problems considered via them. The main idea of these concepts is related to the usage of a new concept of the adjoint problem called adjoint system. The form of the adjoint system depends on the linear operators in the equation and the condition(s). Green s functional for the problem with trivial kernel, and generalized Green s functional for the problem with nontrivial kernel are the unique solutions to the specific cases of this adjoint system. Both of these specific adjoint systems include integro-algebraic equations with an unknown element, in which the first component is always a function, and the other components are real numbers. One of these equations is generally an integral equation with respect to first component and generally includes the other components as parameters. The other equations are algebraic equations with respect to the other components, and they may include some integral functionals defined on the first component. The role of the adjoint system is similar to that of the adjoint operator equation in the general theory of the linear operator equations in Banach spaces. For the problem with trivial kernel, the integral representation of the solution is provided by means of Green s functional. For the problem with nontrivial kernel under the terms of the solvability conditions, the integral representation of the solution is provided by means of generalized Green s functional. Their first components correspond to Green s function and generalized Green s function for the problem, respectively. To summarize, this method is principally different from the classical methods used for constructing Green s function and, it provides a quite simple key knowledge about the existence, uniqueness and above all how to construct Green s function and generalized Green s function. In this thesis, under various nonlocal linear conditions, some investigations are implemented for constructing Green s function and Green s solution by means of the provided method for the boundary value problems for first a second-order linear ordinary differential equation and its form involving the loaded term and then m-order ordinary differential equation which is more general form. Finally, under a nonlocal condition of same type, a boundary value problem represented by a first-order nonlinear ordinary integro-differential equation also involving the generalized delayed or loaded terms is studied. The problems of interest are illustrated for the equations with smooth and nonsmooth coefficients. As can be seen from the theoretical discussion and illustrative applications, the proposed method of fundamental solution can be easily applied to a very wide class of linear and some nonlinear problems involving generally linear nonlocal boundary conditions and it can provide the efficient results. It has a significant usefulness especially for cases when the adjoint problem can not be constructed in the classical sense. Due to these utilities, we believe that the proposed method is one of the scarce methods which are focused on the derivation of a solution to such problems by reducing to an integral equation in general. The existence and uniqueness conditions for the problems considered in some works already available in the literature can be obtained much more easily by means of the deduction the solution for the first specific adjoint system introduced uniquely exists if and only if the Green s functional (hence the Green s function) uniquely exists under the solvability conditions stated in the thesis. Therefore, we believe that this deduction may be helpful to the studies which intend to search for the existence and uniqueness of the solutions to the problems of interest. Besides, we believe that taking into consideration of the main idea of the presented method in the process for the construction of the associated kernel in a reproducing kernel space will cause to be able to increase the accuracy of solution. We meet in the literature that some investigations focusing on the nonlocal problems for the ordinary differential and integro-differential equations can be implemented by the strong assumptions such as continuities for coefficient and right-hand side functions of the equation. However, we believe that this thesis is significant for its contribution to constitute examples for the feasibility of these investigations also with the weak assumptions such as Lp-integrability and boundedness instead of the strong assumptions such as continuities for the coefficient and right-hand side functions of equation. Even though this thesis is fundamentally dealt with boundary value problems involving nonlocal conditions, it can be also used as an efficient reference for constructing Green and generalized Green s function actually for many boundary and initial value problems involving any local conditions. It can be quite useful especially for local boundary and initial value problems governed by the equations with coefficient and right-hand side functions which are assumed to be Lp-integrable and bounded.