Vibration And Flutter Analysis Of Fluid Loaded İnclined Plates

Abstract

Rater; aerodinamik kuvvetler, elastik reaksiyonlar ve atalet lmvvetierinin karşılıklı etküeşimleriyle oluşan sürekli salınanlardır. Olay inşaat mühendisliği yapılarında, özellikle uzay ve hava araçlarında kendini göstermektedir. Uçağın ekonomik olarak işletilebilmesi için gerekli olan hafiflik şaru, ister istemez yük altında büyük ölçüde deforme olan esnek yapılara yol açmıştır. Böyle defonnasyonlar, neticede yine deformasyonlara sebeb olacak olan aerodinamik yük dağılımı neticeleriyle sonuçlanır. Bu karşılıklı geri besleme işlemi, kendi kendini tahrik eden salınımlar şeklinde beliren ve genellikle tahribatla sonuçlanan flatere yol açar. Titreşen uçak yapılan ile civardaki akam arasında enerji transferine sebeb olan bu kararsızlık ya dizaynla tamamen yok edilmeli ya da manevra zarfi dahilinde ortaya çıkmasına müsaade edilmemelidir. Raterin başlaması doğrudan doğruya yapının rijidliği ile ilgili olduğundan, artık uçağın rijid bir cisim olarak değil, aksine elastik bir yapı olarak ele alınması gerekir. Ses üstü uçuşun başlamasıyla birlikte uçak yapılarında, panel flateri denilen yeni bir olayla karşüaşılmışur. Panel, uçuş vasıtalanndaki kaplamaların iç yapı elemanlarıyla desteklenmesi sonucunda dış yüzeylerin bölündüğü ayrık elemanların her birine verilen addır. Panel fiaterin önemi havacılık tarihinde karşılaşılan bazı vakalarla vurgulanmıştır. Mesela 1950'lerin ortalarında bir ava uçağı, flatere giren bir panele tutturulmuş bulunan bir hidrolik hatta parçalanmasından dolayı deney uçuşu sırasında kaybedilmiştir. Pilot mahalli dayanılmaz derecede gürültülü olan bir başka avcı uçağı problemin panel flaterinden kaynaklandığı anlaşıldıktan sonra problem giderilmiştir. Uzaya gönderilen roket ve diğer araçlarda da, panel flateri problem doğurmuştur. Probleme önce lineer modeller ve viskozitesiz aerodinamikle yaklaşım yapılmıştır. Ancak son zamanlarda yapılan kontrollü deneyler ve geliştirilmiş teorilerle elde edilen çözümler, plakların dinamik aeroelastik kararlılığında yapısal non- lineerliklerin ve viskoz akım tesirlerinin önemli olduğunu göstermiştir. Yapılan çalışmalar şu şekilde sınıflandırılabilir : (i) Deneysel Çalışmalar Aeroelastisite sahasındaki deneysel çalışmalar iki ana gayeyle yapılmışlardır. Bunlar işe yarar teorilerin gekştirilmesinde gerekli yönlendirici tesiri yapmışlar ve mevcut teorilerin güvenilirliğinin bulunmadığı birçok alanda pratik problemler için çözümler sağlamışlardır. Rater olayı açısından önemli olan kararsızlığın başlama noktasının belirlenmesidir. Plakların flater sınırım deneysel olarak belirlemek için bir takım teknikler uygulanmıştır. Dowell ve Voss, Fung ve Lock, Nasa'da araştırmalar yapan Langley Grubu deneysel çalışmalarla flater sınırım aramışlardır. (ii) Teorik Çalışmalar vu Flater problemi üzerinde çok geniş bir literatür oluşmakla beraber analizlerin pek çoğu kullanılan yapısal ve aerodinamik teoriye dayandırılan dört kategoriden birine yerleştirilebilir : 1) Lineer yapısal teori; sanki daimi (quasi-steady) aerodinamik teori 2) Lineer yapısal teori; tam lmeerleştirilmiş (viskozitesiz potansiyel), aerodinamik teori 3) Non-Lineer yapısal teori; sanki daimi aerodinamik teori 4) Non-Lineer yapısal teori; tam lmeerleştirilmiş aerodinamik teori. Lmeerleştirilmiş teoriler hata paylarım da beraberlerinde getirmişlerdir Plak çökmesini temsil etmek ve hareket denklemlerini türetmek için bir takam yaklaşımlar yapılmıştır. 1) Galerkin yöntemi ile birleştirilmiş modal açılım. 2) Sonlu fark temsiller. 3) Sonlu eleman temsiller. 4) Kesin çözümler diye bilinen değişkenlerine ayırma. Birinci yaklaşımda yapısal deformasyon tabii veya en azından tam modlann serisine açılır; verilmiş modal deformasyon için aerodinamik kuvvetler -mesela, transformasyon teknikleri kullanılarak- hesaplanır. Bu iki adımdan elde edilen sonuçlar hareket denklemlerinde kullanılarak, modal genlikler için bir diferansiyel denklem takımına ulaşmak üzere, Galerkin yöntemi uygulanır. Bu denklem takımı sayısal integrasyonla veya diğer herhangi bir sayısal teknikle çözülür. Belli bir doğruluk derecesi için gerekli olan modlann sayısı elemanların sayısından oldukça az olduğundan, Galerkin yöntemi sonlu fark yaklaşımına göre daha az serbestlik derecesi gerektirir. Buna karşılık sonlu farklar yöntemini uygulama alam geniştir ve digital hesaplamada kolaylık sağlamaktadır. Mühendislik problemlerinde daima bir olay ve bu olayın cereyan ettiği bir sistem vardır. Bu durumda yapılan iş, probleme teorik ve/veya deneysel yoldan yaklaşım yaparak olayı uygun şekilde modellemek ve sonra çözüme gitmektir. Burada ele alınan problemde olay, akım içinde bulunan bir plağın gazla olan etkileşinıidir. Sistem iki kısımdan oluşmaktadır : Gaz ve elastik bir katı cisim. Bunların ortak özelliği sürekli ortam olmalarıdır. Parçacık hareketi için Newton'un ortaya koyduğu aksiyomların sürekli ortam için geHştirilmiş şekli ile, bünye için yapılan bazı kabuller yardımıyla elastisitenin ve aerodinamiğin temel denklemleri elde edilir. Mühendislik uygulamaları bakımından plaklar teorisi, bugün için elastisite teorisindeki en ilginç ve en önemli konulardan biridir. Plak deyimi tanım olarak, küçük eğrilikli iki yüzeyle sınırlanan ve kalınlıkları yüzey boyutlarına kıyasla küçük olan cisimlere verilen addır. Bizim çalışmamızda KirchofFun plak modeli kuüanılmıştır. Buna göre; plak malzemesi elastik, homojen ve izotropiktir. Başlangıçta plak düzdür, plağın kalınlığı diğer boyutlarına oranla çok küçüktür. Çökmeler de plak kalınlığına göre küçüktür. Enlemesine kesme ve normal uzamalar ihmal edilmiştir. Orta yüzeye dik olan gerilmeler ihmal edilebilir. Orta yüzeyde düzlemsel kuvvetlerin meydana getirdiği uzamalar da kaale alınmayabilir. Bu şekilde ortaya koyduğumuz teori ile plak denklemindeki non-lineer terimler de ihmal edilmiş olur. Flaterin sınırım verecek hareket denklemi, aerodinamik yaklaşım da ele alındıktan sonra ifade edilecektir. Kullanılan aerodinamik model potansiyel alam modeli olup; viskoz tesirlerin ihmal edildiği bu teori, geniş bir ses altı-ses üstü Mach sayısı ve plak uzunluk/genişlik oram aralığında tatminkar sonuçlar verir. Kenar tabaka tesirlerinin önemli hale geldiği ses aşımı-alçak ses üstü Mach sayılarında uygun sonuçlar elde edebilmek için gehştirilmiştir. Bu teoride ortam süreklidir, akım sürtünmesizdir, hiçbir ısı transferi yoktur. Sonlu güçte şok dalgalan yoktur ve hiçbir kütlesel kuvvet mevcut değildir. vın Yapılan bu çalışmada, akışkan yüklü bir plağın titreşim ve flater analizleri nümerik olarak yapıldı. Plağın hareket denklemleri KirchofFun ince plak teorisi esas alınarak çıkarıldı. Akışkan tabakanın kalınlığının plak boyutlarına oram yaklaşık 1/10 kabul edildi. Hiçbir yüzey dalgasının bulunmadığı farzedildiPlak üzerindeki akışkanın atalet etkisi hareket denklemine ilave edildi. Aerodinamik basınç dağılımı için piston teorisi kullanıldı. Bu teorinin yüksek Mach sayılan için geliştirilmiş formu kullanıldı. Hareket denklemi nümerik olarak, Galericin metodu kullanılarak çözüldü. Eğimli akışkan yüklü bir plağın titreşim ve flater karakteristikleri bulundu. Plak ve akışkanın geometrik özelliklerinin titreşim ve flater üzerine etkileri araştırıldı. Bu kısa özetten ve yapı-aerodinamik kabuller hakkında bilgi verdikten sonra hareket denklemini yazabiliriz : D â4w â4w â4w + ~, r- + âx4 âx2ây2 ây4, â2w Burada ilk terim plak denklemi, ikinci terim ise atalet terimidir. pa aerodinamik basıncı, pf ise plak üzerindeki akışkanın basıncını ifade eder. Plak üzerindeki akışkan tabakası, plağın farklı eksenlerde eğimlenmesinden dolayı farklı kalınlığa sahiptir. Yapılan çalışmada bu durum göz önüne alınmıştır. Bunun basınç ifadesine de bir etMsi olmuştur. Her üri basınç terimi denkleme yerleştirildikten sonra bir A. (aerodinamik basınç parametresi) tarifi yapılmıştır. Flater sınırının belirlenmesinde bu parametrenin önemi büyüktür. Plağın harmonik titreşim yaptığı kabul edilerek yerdeğiştirme ifadesindeki zaman terimi, uzaysal terimlerden ayrılmıştır. Bundan sonra boyutsuzlaşurma işlemleri yapılarak denklem çözüme hazır hale getirilmiştir. Üzerinde akışkan yük bulunan plak, dört köşesinden basit mesnetlenmiştir. Çözüm için teklif edilen fonksiyon bu sınır şartlarım sağlamak zorundadır. Fakat plak denklemini sağlaması zorunlu değildir. Plak kuvvetlerine virtüel bir iş yapunldıktan sonra, teklif ettiğimiz fonksiyon buraya yerleştirilirse MxN tane lineer, cebrik denklem elde edilir, bunlar da matris formda yazılabilir. Artık burada aşağıda ifade edilen şekilde bir özdeğer problemi ortaya çıkmıştır. [K + M-**M]jLAmmY =0 Eğer aerodinamik basınç sıfir ise yukarıdaki ikinci terim ortadan kaybolur ve eşitlik bize akışkan yüklü bir plağın serbest titreşim frekanslarım verir. Aerodinamik basınç ifadesi bulunursa X değeri yavaş yavaş artırılırken özdeğer problemi çözülür ve flater sının tesbit edilir. Yapılan çözümlerde poisson oranının değeri 0.3, akışkan yoğunluğunun plak oranına oram 0.308 olarak alınmıştır. Bir Q frekans parametresi tariflenerek, grafiklerde bu parametre kullanılmıştır. Akışkan yüklü bir plağın serbest titreşimleri bulunmuştur. Tablo l'de görülebileceği gibi, frekanslar küçük modlarda daha çabuk yakınsamıştır. Plağa x ve/veya y yönlerinde verilen eğim frekanslarda düşmelere neden olmuştur. Başka bir deyişle plağın üzerine konan ilave kütle, serbest titreşim IX frekanslarının değerini azaltmaktadır. Dalga sayısı artarken azalma oram da yükselmektedir (fig. 4. 1). Plak eğiminin küçük frekanslarda çok fazla etkisi görülmemektedir. Bu etki yüksek frekanslarda,bu frekanslara bağlı modlardaki yüksek enerji seviyeleri yüzünden büyümektedir, (fig. 4.2). Orijinde bulunan akışkan seviyesinin de frekans oranlan üzerinde etkileri mevcuttur. Burada akışkan seviyesi yükselirken frekans oranı düşmektedir. Aynı anda plak x ekseni yönünde eğimlendirilirse frekans oranındaki azalma daha da artmaktadır (y ekseni boyunca eğim yokken). Plak görünüş oranının frekans oranlan üzerindeki etkileri fig. 4.4'den görülebilir. Büyük açıklık oranlannda frekans oranlan da büyümektedir. Buradan şu etki de görülebilir : Plağın görünüş oram küçük ise, plağa eğim vermenin önemi yok gibidir. Sadece büyük görünüş oranlannda plağa verilen eğim, frekans oranlarım azaltıcı yönde etkilere sebeb olmaktadır. Plağın üzerindeki akışkan yükün mod şekilleri üzerinde de tesirleri vardır : Plak x ve/veya y eksenleri doğrultusunda eğimlenirse, akışkanın kütle merkezi değiştiği için konturlarda x ve/veya y eksenleri doğrultusunda kaymalar görülmektedir. Eğim her iki yönde aynı zamanda verilirse, simetrik olmayan bu yük anti-simetrik modlann oluşmasına sebeb olmaktadır. Bir önceki sayfada matris formuyla verilen denklemde K matrisi gerçek ve simetrik bir matristir. Aerodinamik yük matrisin simetrikliğini bozmaktadır. Dinamik basınç parametresi X'nin değeri artarken frekans değerleri bir Xa değerine kadar artar ve iki özdeğer burada birleşir. X daha da artırılırsa frekanslar kompleks iradeler haline gelir. İşte tam bu nokta kararsızlığın başladığı yer olup flater sının olarak adlandırılır. Yapılan çalışmada plağın yüksüz halde kararsızlık analizi de yapılmıştır. Daha sonra akışkan yük ilave edilerek ve plağa eğim verilerek flater sının belirlenmiştir. Üzerinde akışkan olmayan dört köşesinden basit mesnetlenmiş kare bir plak için, kritik dinamik basınç parametresi 512.714 olarak bulunmuştur. Bu andaki kritik özdeğer ise 1848.29'dur. Dinamik basınç parametresi ve özdeğer için tam sonuçlar 512.651 ve 1848.21'dir. Bu sonuçlardan, Galericin Metodu ile yaptığımız çözümün tam değerlere çok yalan olduğunu görmekteyiz. Plak eğiminin flater sının üzerindeki etkileri fig. 4.5'de gösterilmiştir. Eğer x ekseni yönünde negatif eğim varsa, eğimlenmemiş plağın dinamik basıncından daha küçük bir basınçta flater vuku bulur. Tersine olarak x ekseni yönünde pozitif yönde plak eğimi varsa, flater düz plağa göre daha geç meydana gelmektedir. Aynca orijinde akışkan varsa, eğime bağlı olarak bunun da kararsızlığın başlama sınırına etkisi olmaktadır. Düz plakta bu etki söz konusu değildir. Plak x ekseni yönünde pozitif eğimlenirse, orijinde bulunan akışkan flater sınırım düşürürken; negatif yöndeki eğimlenmede orijindeki akışkanın seviyesinin artışı bu sının büyütmektedir. Flatere ait mod şekillerinde ise şu görülür : Dinamik basmç parametresinin küçük değerlerinde, plak üzerindeki akışkanın mod şekilleri üzerindeki etkisi fazla görülmezken, kararsızlığın başladığı sınıra yaklaştıkça akışkanın etkisi fark edilir. Akışkan yüklü eğimli bir plağın Kirchoff Teorisi temel alınarak ve Gaierkin Metodu kullanılarak titreşim ve aeroelastik kararlılığı incelendi. Yapılan titreşim ve lineer flater analizlerinde tam sonuçlara benzer değerler bulundu. Akışkan yük tüm durumlarda tabii frekanslan düşürmektedir. Yüksek modlarda frekansların azalması düşük modlara göre daha fazladır. Akışkan yük daralan bir tabii frekans spektrumuna sebeb olur. Bunun plağın dinamik davranışı üzerinde etkisi vardır. Eğim sebebiyle oluşan frekans oranı değişimleri, plak eğiminin küçük değerleri için öneme haizdir. Orijinde bulunan akışkanın yüksekliğinin, tabii frekansları azaltma eğilimi vardır. Y ekseni boyunca eğim, frekans oram değişimlerini x eksenine göre değiştirmez fakat oranlan azaltır. Bu tip eğimin, plağın anti-simetrik mod şekilleri üzerinde önemli tesirleri mevcuttur. Plak görünüş oranının frekans oranlan üzerinde etkileri şu şekilde ifade edilebilir : Büyük görünüş oram yüksek frekans oranlarına sebeb olur ve burada plak eğikliği frekans oranım düşürücü yönde çalışır. Küçük görünüş oranlarında plak eğiminin frekans oranlarına etkileri önemsizdir. Mod şekülerindeki kontur çizgileri üzerindeki değişmeler ve maksimum yer değiştirme noktalan üstündeki kaymalar, eğiklik sebebiyle oluşur. Diğer bir söyleyişle, akışkanın kütle merkezinin değişimi aeroelastik kararsızlığın başlama sınırına etkir. x ekseni boyunca pozitif plak eğimi, kritik dinamik basıncın araşma neden olur, bu da kararsızlık noktasını öteler. Bu çalışmada yapı ve aerodinamik modellerde lineer teoriler kullanıldı. Plağın hareket denklemi, sıcaklığın malzeme özelliklerini etkilediği durumda elde edildi. Çözümde ise tüm termal etkiler ihmal edildi. Bu etkiler hesaba katılarak çözüm yapılabilir. Non-lineerlikler dikkate alarak titreşim ve flater analizleri yapılabilir. Akışkan yükün plak eğriliğinin değişimi üzerine olan etkileri incelenebilir.

Flutter and divergence phenomena are defined respectively as the dynamic or static instability of an aeroelastic system, characterized by the interactions of elastic deformation and aerodynamic loads. They are aeronautically very important since the onset of flutter/divergence may quickly develop into catastrophic structural failure or undesirable limit cycle oscillations. Fluid-loaded plates and shells have primary interest especially in the aerospace and offshore structures. Flutter of a plate in the supersonic flow (panel flutter) falls in the category of self-excited oscillations. The panel flutter differs from wing flutter in that the aerodynamic force acts only one side of the panel and that the phenomena of panel flutter is generally less catastrophic than wing flutter. Small amplitude linear structural theory indicates that there is a critical dynamic pressure above which the panel motion becomes unstable and grows exponentially with time. On the other hand, the determination of free vibration characteristics of a fluid loaded plate is essential to obtain dynamic and aeroelastic responce of a plate subjected to dynamic loading. A vibrating plate with fluid load is under the effect of an added pressure due to the fluid motion. If the high frequency vibrations are of primary concern as in problems of noise and sound, the added pressure loading will be mainly proportional to velocity.In the problems above the effects of added mass are negligible. On the other hand, there are many instances such as vibration and flutter of fuel-loaded wing panels and hydroelastic problems of hydrofoils, in which low frequency characteristics of such elastic plates are of importance. In these cases the effect of added mass predominate. In this study, free vibration and flutter of a fluid-loaded plate is studied numerically. The equations of motion for the plate are stated within the frame of KirchofFs thin plate theory with temperature dependent material properties. The coupling between the vibrating plate and the fluid is of the form of an induced pressure at the interface. This pressure may be conveniently interpreted as added inertia of plate. The aerodynamic pressure is considered by the use of Piston theory of linear aerodynamics. The interaction problem among the airflow, plate and fluid is solved numerically using the Galerkin method. Vibration and flutter characteristics of the inclined fluid-loaded plate are obtained. Then, influence of geometrical properties of the plate and fluid on the vibration and flutter characteristics of the plate are studied. Fluid load reduces the natural frequencies of the plate in all the considered cases. The spectrum of the frequencies has importance on the dynamic behavior of the plate. Due to the added mass the thickness of base fluid has tendency to reduce the natural frequencies. The aspect ratio of the plate also effect the frequency ratios for different inclinations. This study may be extended to investigation of nonlinear behavior of fluid- loaded plate. Having obtanied thermal effects can be taken into account. The flutter analysis of fluid-loaded inclined plates with temperature effects will have importance for aerospace structures. Influence of the change of plate's curvature due to the fluid load on the vibration and flutter characteristics may be analyzed.