Genelleştirilmiş Weyl Uzaylarında Eğri Şebekeleri Teorisi

Abstract

Simetrik bir V konneksiyonuna ve V tarafından korunan simetrik, konform bir g metrik tensörüne sahip n-boyutlu bir manifolda Weyl uzayı denir. Buna göre, yerel koordinatlarda Vkgn ~2Tkgij = 0, (1) olacak şekilde bileşenleri Tk (k = 1,2,...,n) olan bir T kovaryant vektör alanı mevcuttur. Böyle bir Weyl uzayını Wn(V,g,T) ile gösterelim. T vektör alanına Weyl uzayının komplemanter vektör alanı denir. r*-fc, V konneksiyonunun katsayılarını gösterrnek üzere (1) ile verilen uygunluk koşulundan elde edilir. Asimetrik bir V* konneksiyonuna ve V konneksiyonu tarafından korunan asimetrik, konform g* metrik tensörüne sahip n-boyutlu bir manifolda genelleştirilmiş Weyl uzayı denir. Buna göre, yerel koordinatlarda, Vk*-2T^*. = 0, (2) olacak şekilde bileşenleri Tk* (k = 1,2,...,n) olan bir T kovaryant vektör alanı mevcuttur. T vektör alanına genelleştirilmiş Weyl uzayının komplemanter vektör alanı denir. Böyle bir genelleştirilmiş Weyl uzayını W*(V*,#*, T*) ile gösterelim. W"(V, g,T) uzayına W*(V*,g',T) genelleştirilmiş Weyl uzayının eş-uzayı denir. Burada g, g tensörünün simetrik kısmıdır. iv Dört bölüm içeren bu çalışmanın birinci bölümünde, genelleştirilmiş W*(W,g,T) Weyl uzayı ve bunun eş-uzayı ile ilgili temel tanım ve özellikler verilmiştir. g tensörünün g~ ' = A g konform dönüşümü altında A = Xp A şeklinde değişen A büyüklüğüne g tensörünün {p} ağırlıklı bir uydusu denir. A uydusunun V and V konneksiyonlarına göre, VA ve vA ile gösterilen kovaryant türevleri sırasıyla VkA = VkA-pTkA (3) ve VlA = VkA-PT*kA (4) ile tanımlanmıştır. n-boyutlu bir Weyl uzayında tanımlanmış lineer bağımsız ^, \, ??., vn vektör alanları tarafından oluşturulan sisteme bir şebeke denir ve 8 = ( vx, ^,..., vn ) ile gösterilir. Wn (W,g,T) uzayına ait 8 = (^, v2,..., vn) şebekesinin her bir vektör alanı geriye kalan vektör alanlarının integral eğrileri boyunca paralel kayıyorsa 8 şebekesine birinci cins Chebyshev şebekesi denir. Eğer 8 şebekesine ait n - 1 boyutlu alan elemanları geriye kalan vektör alanının integral eğrileri boyunca paralel kayıyorsa şebeke ikinci cins Chebyshev şebekesi adını alır. İ=T*? (r*s) > h = f»$ (r^5) > H&V* (*,c,r,' = l,2,...,n) şeklinde tanımlanan r, p, n fonksiyonlarına 8 şebekesinin, sırasıyla, birinci cins Chebyshev, ikinci cins Chebyshev ve geodezik eğrilikleri; ?: = t vfcr' = i;î. h = -&kvk% = pTvi, e^v^vi^vi vektör alanlarına da şebekenin, sırasıyla, birinci cins Chebyshev, ikinci cins Chebyshev ve geodezik vektör alanları denir. Burada (3) sembolü s indisi üzerine toplam alınmayacağını göstermektedir. n *. n. 8 şebekesi için Ş^ bi = 0 ise şebekeye b-şebekesi, ^ cl = 0 olması halinde s=l s=l * T ise şebekeye c-şebekesi adı verilir. Belirli bir r değeri için V [**>,-] = 0 ise, 8 şebekesine r-metriksel Chebyshev şebekesi, r nin her değeri için V[kvi\ = O ise, şebekeye kuvvetli metriksel Chebyshev şebekesi denir. ikinci Bölümde, (2) uygunluk koşulunu kullanarak, asimetrik V* konneksiyonunun U-k katsayıları L)k = ^k + \i n« 9 w + nj» 9(hk) + n}* gfa } g*{H) = v)k + Q)k şeklinde elde edilmiştir. Burada f2*-fc, V konneksiyonunun burulma tensörünün bileşenleri, T%jk ise V konneksiyonunun katsayılarını göstermektedir. Genelleştirilmiş W*(V,g*,T) Weyl uzayına ve Wn(V,g,T) eş-uzayma ait 8 şebekesini gözönüne alalım. Once, 6 şebekesinin W*(V,g*,T) ve Wn(W,g,T) uzaylarına göre birinci cins Chebyshev eğrilikleri, ikinci cins Chebyshev eğrilikleri ve geodezik eğrilikleri. arasındaki ilişkiler bulunarak Wn(V,g,T) uzayına göre birinci cins, ikinci cins Chebyshev veya geodezik şebeke olan 6 şebekesinin W*(S7,g*,T) uzayına ait aynı cinsten bir şebeke olması için gerek ve yeter koşullar, sırasıyla, Vt

An n- dimensional differentiable manifold having a symmetric connection V and a symmetric conformal metric tensor g preserved by V is called a Weyl space. In local coordinates we have the compatibility condition ykgij-2Tkgij = 0, (1) where Tk(k = 1, 2,..., n) are the components of the covariant vector field T called the complementary vector field of the Weyl space. Such a Weyl space will be denoted by Wn(V,g,T). Let Tljk denote the coefficients of the connection V. Then, from the compatibility condition given by (1) we get ^k^[jk]-{SiiTh + SihTj--gligikTl). An n-dimensional differentiable manifold having an asymmetric connection V and an asymmetric conformal metric tensor g* preserved by V is called a generalized Weyl space. In local coordinates, we then have v;^--2r^*. = o, (2) where Tk (k = 1,2,...,n) are the components of the covariant vector field T* called the complementary vector field of the generalized Weyl space which will be denoted by W*(V*, g*,T*). The Weyl space W"(V, g, T) is called the associate space to the generalized Weyl space W*(V*,g',T), where g is the symmetric part oig'. IX This work contains four chapters. In Chapter I, the fundamental definitions and properties concerning the generalized Weyl space W*(V*,g*,T) and its associate Weyl space are given. An object A is called a satellite with weight {p} of the fundamental tensor g, if under a renormalization of g of the form 'g - X2 g it changes according to the rule A = Xp A. The prolonged covariant derivatives of the satellite A relative to V and V denoted respectively by V A and V A are defined by VkA = VkA-pTkA (3) and VlA = VkA-pT*kA. (4) A set of n linearly independent vector fields v,v,...,v defined on an n- dimensional Weyl space is called a net which will be denoted by S = (v v v ) u - \ 1 ) 2 ' "' ' n ). The net 8 in WnÇV,g, T) is said to be a Chebyshev net of the first kind if every vector field belonging to 8 is parallelly translated along the integral curves of the remaining field of the net. The net 8 in Wn(V,g,T) is said to be a Chebyshev net of the second kind if every (n - l)-dimensional area element belonging to 8 is parallelly translated along the integral curves of the remaining field of the net. 3 The vector fields a1, b{, d defined respectively by are called the first Chebyshev, the second Chebyshev and the geodesic vector fields of the net 8 relative to W^Vj^T), where the symbol (s) indicates that the summation on s will not be made. The net 8 is said to be a b-net or a c-net if its Chebyshev vectors of the n s second kind and the geodesic vectors satisfy the respective conditions y^ b- = 0 s=l and S3 c% - 0. If for a fixed r, the condition Vj* v^ = 0 holds, 6 is said to be a 8=1 ' metrically r-Chebyshev net where the bracket indicates the antisymmetrization. If this condition holds for all r = 1, 2,..., n the net is named as a strongly-metrically Chebyshev net. In Chapter II, by using the compatibility condition (2) we first obtain the coefficients LXjk of the asymmetric connection V in the form L)k = r)k + \ [ nhkl g*Uh) + n* 9ihk) + n% 5(*w) ] gw = rjk + Q)k where n*-fe and Vjk are, respectively, the components of the torsion tensor of the connection V and the coefficients of the Weyl connection V. We next consider the net 6 belonging to the generalized Weyl space W*(V,g*,T) and its associate Weyl space Wn(V,g,T) and find the relations between the first, the second Chebyshev curvatures and the geodesic curvatures of 6 relative to W*(V*, g*, T) and W"(V, g, T). Then we prove that, if the net 6 is a Chebyshev net of the first kind, the second kind or a geodesic net relative to Wn(V,<7, T) it will also be a net of the same kind for W*(V,g*,T) if and only if, the respective conditions vjfQ)k = 0 (r^s), ®&kQjik = 0, vJtQ)k = 0 are satisfied. Furthermore, if the net 8 is a b- net or a c-net relative to WnÇV,g, T) and W*(V,g*, T) we have the respective relations s=l where fi,- is the Vranceanu's vector of the connection V. If the components of the torsion tensor of the connection V are given by n - 1 then V is called a semi-symmetric connection. If, the condition v;a-v;nfc = o XI is satisfied, V is named as an jE-connection. Let 8 be a Chebyshev net of the first kind relative to WnÇV,g,T) and W*(V,g*,T) and suppose that the connection V is semi-symmetric. In this case, the Vranceanu's vector of V is a solution of the system of equations cos £ g