Üçüncü mertebeden Rivlin-Ericksen akışkanının biri sabit diğeri hareketli olan kesişen iki düzlem arasındaki yavaş akımı

Abstract

Başlıkta belirtilmiş olan problem, non-Newtonian parametrelerin akış üzerinde meydana getireceği etkiler hakkında fikir sahibi olabilmek ve aynı problemi Newtonian ve farklı tipten akışkan modelleri için inceleyen daha önceki araştırmalarla karşılaştırma yapabilmek amacıyla analiz edilmiştir. Çalışmanın ilk bölümünde, kesişen düzlemler arasındaki akış problemine kısa bir giriş yapılarak, bu akış geometrisinin teknolojik önemini vurgulayan bazı örnekler verilmektedir. Katılar ve akışkanlar için önerilen non-lineer bünye denklemlerinin gerekliliğinin tartışılmasıyla başlayan ikinci bölümde, dördüncü mertebeye kadar olan Rivlin Ericksen akışkanlarının bünye denklemleri verilmektedir. Ayrıca, termodinamiğin ikinci yasası ve bazı moleküler teoriler tarafından yapısal sabitler üzerine getirilmiş olan kısıtlamalardan da söz edilmektedir. Bu bölümün son kısmında, üçüncü mertebeye kadar olan Rivlin-Ericksen tansörlerinin hız gradyanlanna bağlı olan ifadeleri silindirik koordinatlarda elde edilmektedir. Newtonian ve çeşitli tipten non-Newtonian akışkan modellerinin kesişen iki düzlem tarafından oluşturulan daralan veya genişleyen kanal içindeki hareketleri üzerine yapılmış olan daha önceki çalışmalar üçüncü bölümde özetlenmektedir. Dördüncü bölümün tamamı üçüncü mertebeden Rivlin-Ericksen akışkanının biri sabit, diğeri sabit bir hızla hareket eden kesişen iki düzlem arasındaki yavaş akımının formülasyonuna ayrılmıştır. Akım fonksiyonu için seri şeklindeki bir açılım kullanılarak, problemi yöneten denklemler üç adet lineer diferansiyel denkleme indirgenmiş ve bu denklemler ilgili sınır şartlan altında analitik olarak çözülmüştür. Yukarıda sözü edilen analize dayanılarak elde edilen grafikler eklerde verilmektedir. Bu grafikler hakkındaki bazı önemli yorumlar ise sonuçlar ve tartışma bölümünde yapılmaktadır. Bu çalışmada elde edilen en önemli sonuç; köşe noktası civarındaki akım çizgisi halkalarının varlığıdır. Bu türden akım çizgisi halkalarına Newtonian akışkanlarda rastlanmamaktadır. İkincisi; yapısal sabitlerin oranı olarak tanımlanan o parametresinin hız alanı üzerinde herhangi bir etkisinin olmamasıdır. Bu sonuç, ikinci mertebeden Rivlin-Ericksen akışkanının yavaş hareketleri için Tanner tarafından verilmiş olan teoremle uyumludur. Yukarıda bahsedilen sonuçlara ilâve olarak; aynı problemi farklı tipten viskoelastik akışkan modelleri kullanarak inceleyen daha önceki çalışmalar ile bu çalışma arasında ilişkiler kurabilmek mümkün olmaktadır.

The problem noted in the title has been analysed with a view to estimating qualitatively the effects of the non-Newtonian parameters on the flow and make a comparative study later with previous investigations on the same problem for Newtonian and different viscoelastic fluid models. Making a short introduction to the flow problem between intersecting planes, some examples which emphasize the technological significance of this flow geometry are given in the first chapter of the present study. The second chapter begins with the discussion of the significance of nonlinear constitutive models for solids and fluids. Later in this chapter, constitutive equations of Rivlin-Ericksen fluids up to grade four are listed. Also, restrictions on the material constants placed by the second law of thermodynamics and several molecular theories are mentioned. In the last section of the second chapter, expressions for the Rivlin-Ericksen tensors up to grade three have been obtained in terms of the velocity gradients in cylindrical coordinate system. Previous studies dealing with the flow of Newtonian and various non-Newtonian fluids through converging or diverging channel bounded by two non-parallel planes are summarized in the third chapter. The fourth chapter is devoted entirely to the formulation of the slow flow of the third order Rivlin-Ericksen fluid between two intersecting planes, one of which is fixed and the other moving with constant velocity along its plane. Using a truncated series expansion for the stream function, the governing equations of the problem are reduced to three linear ordinary differential equations. These equations have been solved analytically subject to the relevant boundary conditions. The figures based on the foregoing analysis are presented in the appendixes. Some important comments about the figures are made in the results and discussion section. The first and most important conclusion which can be drawn from this analysis is, unlike the case of a Newtonian fluid, the existence of circulating cells near the corner of two intersecting planes. Secondly, the parameter o which is the ratio of two material constants has no effect on the velocity field, which is a consequence of a theorem of Tanner on creeping flow of the second order Rivlin-Ericksen fluid. In addition to the results mentioned above, it is possible to establish relations with previous analyses of the same problem using different viscoelastic constitutive equations.