Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/11527/16434
Title: Sınır eleman yönteminin çok bağımlı bölgeler için ortotrop malzemelere uygulanması
Other Titles: An Extension of the boundary element method in orthotropic materials for multiply connected regions
Authors: Kadıoğlu, Necla
Ataoğlu, Şenol
100720
Yapı Mühendisliği
Structural Engineering
Keywords: Ortotropik malzemeler
Sınır elemanlar yöntemi
Orthotropic materials
Boundary element method
Issue Date: 1999
Publisher: Fen Bilimleri Enstitüsü
Institute of Science and Technology
Abstract: Bu çalışmada, ortotrop malzemeler için sınır eleman yöntemiyle düzlem lineer elastisite problemlerinin çözümü için bir yöntem geliştirilmiştir. Çözülecek problem ilk temel problem olarak düşünülmektedir. Bu çeşit problemlerde dış gerilme vektörü, bölgenin sınırını belirleyen yüzey üzerinde verilmektedir. Problemle ilgili olarak, seçilen bölge çok bağımlıdır. Şimdi, amaç bölge içerisinde ve sınır üzerinde yerdeğiştirme vektörünü belirlemektir. Buna ilave olarak, gerilme tansörü bileşenleri bölge içerisinde ve de sımr üzerinde belirlenmelidir. Ortotrop malzeme ile dolu bir V bölgesinin sınırı S ile gösterilmektedir. Düzlem problemlerde, S ve V sırasıyla düzlem bir eğri ve düzlem bir bölgeye dönüşürler. Sınır eleman yönteminin standart formülasyonunda, V bölgesinde herhangi bir y noktasında yerdeğiştirme vektörünün^=7,2j k. bileşeni aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: uk(y) = \v(x)uk (x,y)ds-\rk (x,y)u(x)ds (1) burada, t(x) S sının üzerinde verilen yüzey gerilme vektörüdür ve u(x) sımr üzerindeki x noktasının yerdeğiştirme vektörünü gösterir, u (x,y) ve t (x,y) çekirdekleri aşağıda verilmektedir. A=l M Kİ (2) t* = -Re( Z - Pu -^Qa^ni -n2)- X=\l7t Kİ ZX burada IX x=xı-yı y=X2-y2 zj=x+juıy z2=x+fJoy ve P, ju\, /12, Q ve Vkx {X=\,2) ortotrop ortamın malzeme sabitlerine bağlı sabitlerdir. n(x) x noktasında S yüzeyinin dış birim normalidir. Çok bağımlı bir bölge için, S sınırı sonlu sayıda ayrık eğriden oluşur. S üzerindeki integral, bu ayrık eğriler üzerindeki integraller toplamına indirgenmektedir. (1) ifadesi incelendiğinde sınır üzerindeki yerdeğiştirme vektörünü elde etmek için, V bölgesinin herhangi bir y noktasındaki yerdeğiştirme bileşenini belirlemenin yeterli olduğu açıktır. Fakat bu problemle ilgilenmeden önce, (1) ifadesindeki çekirdeklerin anlamını açıklayalım. Verilen problemle aynı sabitleri olan sonsuz bir ortam göz önüne alınmıştır. x ve y bu ortamın iki farklı noktasını simgelemektedir, u (x,y) ve t (x,y) sırasıyla birim tekil yükün (k=l,2) doğrultusunda y noktasına etkimesinden dolayı x noktasındaki yerdeğiştirme vektörü ve gerilme tansörüdür. (1) numaralı integral denklemi çözmek için, S sınırı doğru parçalarının toplamı olarak idealize edilmektedir. Bu yeni sınırda, eğer doğru parçalarının sayısı N ise kapalı bir sınır için, bunların uç noktalarının sayısı da İV olacaktır. Bu uç noktalar nod noktalan olarak adlandırılır. Bu doğru parçalan üzerinde yerdeğiştirme bileşenlerinin değişiminin lineer olduğu kabul edilmektedir. Sonuçta, problemin bilinmiyenleri nod noktalanndaki yerdeğiştirme bileşenlerinin değerleri olacaktır. Her doğrultuda, her nod noktasında bir tekil yükleme olduğu kabul edilerek 2N integral denklem yazılabilir. Bu integral denklemlerde, sınır üzerindeki integraller doğru parçalan üzerindeki integraller toplamına indirgenmektedir. İlave olarak, nod noktaları hariç, doğru parçalannı içeren yeni suni bir sımr tanımlanacaktır. Her nod noktası civarında noktayı dışarıda bırakan keyfi küçük bir eğri parçası bu yeni suni sımn tamamlamak için ilave edilecektir. Bu küçük eğri parçaları üzerinde yerdeğiştirme bileşenlerinin sabit olduğu kabul edilecektir. Gerekli hesaplamalardan sonra, bu küçük eğri parçalan nod noktalanna dönüşmektedir. Bu suni sınır üzerinde integralleri hesapladıktan sonra, nod noktalanndaki yerdeğiştirme bileşenleri olan, 2İV bilinmiyenli 2N denklemden oluşan bir lineer sistem elde ederiz Bünye denklemleri yardımıyla yerdeğiştirme alam ve suni sınır kullanılarak, bu lineer sistemin çözümünden sonra içerideki keyfi bir y noktasında gerilme bileşenleri hesaplanabilir. Sımr elemanlar üzerinde gerekli tüm integrallerdeki tekillikleri ortadan kaldırmak için integraller analitik olarak alınmaktadır. Çok değerli kompleks fonksiyonları hesaplamak için yeni bir algoritma kurulmuştur. Bu hesaplamalardan sonra tüm gerilme bileşenleri içeride ve sımr üzerinde hiçbir zorlukla karşılaşılmadan hesaplanabilir. Yerdeğiştirme bileşenleri için bağıl hata 1x1 0"6 olarak bulunmuştur. Fakat bu hatadan dolayı gerilme bileşenleri için bağıl hata 1.5x1 0"2 olmaktadır. Eğer yerdeğiştirmeler kesin olarak biliniyorsa o zaman gerilmeler hatasız hesaplanabilir. Seçilen örnek problem malzemenin asal doğrultularından birine paralel çekme gerilmesi etkisi altında dairesel delikli bir levhadır. Sonuçlar sonsuz bir plak için Lekhnitskii tarafından verilen teorik çözümle uyuşmaktadır.
In this study, an improvement is introduced to solve the plane problems of linear elasticity by boundary element method for orthotropic materials. It is considered that the problem to be solved is the first fundamental problem. In this kind of problems the external stress vector is given on the surface which represents the boundary of the region. It is chosen that the region concerning the problem is multiply connected. Now, the aim is to determine the displacement vector in the region and on the boundary. In addition to this, the components of the stress tensor must be determined both inside the region and on the boundary. Let V be a region filled by an orthotropic material and S be its boundary. In plane problems, S and V are a closed curve and a plane region respectively. In the standard formulation of boundary element method any k th component of the displacement vector(A=/,2) at a point y in the region V can be expressed as follows: uk(y) = \r{x)uk{x,y)ds-\xk{x,y)uix)ds (1) where, r(x) is the surface traction vector given on the boundary S and u(x) is the displacement vector on the boundary point x. The kernels u (x,y) and r (x,y) are given below «f(x,jO = Rei x A=i in K^ k(x,y) = Re( İ Pa ±-Pkk -\h*x)) k=\in Kf zx (2) Xll where y=x2-y2 z1=x+y]y z2^x+ju2y and P, fi\, ju2, Q and Vkx are constants related to material constants of the orthotropic medium. n(x) is the unit outward normal vector of the surface S at the point x. For a multiply connected region, the boundary S contains a finite number of disjoint curves and the integral over S is reduced to the summation of the integrals over these disjoint curves. After examining the equation (1) it is clear that to obtain the displacement vector on the boundary it is enough to determine the displacement components at any point y of V. But before dealing with this problem, we have to explain the meanings of the kernels in the expression (1). An infinite medium having the same constants with the given problem is considered. x and y represent two different points of this medium, u (x,y) and x (x,y) are the displacement vector and the stress tensor at point x due to a singular body force of unit magnitude acting at the point y in the k (k=l,2)th directions, respectively. For solving the integral equation (1), boundary S is idealized as a collection of line segments. In this new boundary if the number of these line segments are N, the number of the end points of them will also be N. These end points are named as nodal points. It is assumed that the variation of the displacement components on any of these linear segments is linear. Then the unknowns of the problem are reduced to the values of the displacement components on the nodal points. IN integral equations can be written by assuming there is a singular loading at every nodal point on each direction. In these integral equations, the integrals over the boundary are reduced to the summation of the integrals over the line segments. In addition, we shall define a new artificial boundary which includes line segments but not the nodal points. Around each nodal point a small arbitrary curvilinear part which leaves the point outside is added to complete this new artificial boundary. It is assumed that displacement components are constant on these small curvilinear parts. After necessary calculations, these small curvilinear parts will be shrunk to the nodal points. Xlll After calculating integrals over this artificial boundary we obtain a linear system of 2N equations with 2JV unknowns which are the displacement components at nodal points. After solving this linear system using the displacement field and the artificial boundary by the help of constitutive equations, one can calculate the stress components at any arbitrary internal point y. To eliminate the singularities all necessary integrals are calculated analytically on the boundary elements. A new algorithm is developed to calculate multivalued complex functions. After these calculations all stress components are calculated without any difficulty at the points inside and on the boundary. The relative error is calculated being equal to lxl 0"6 for displacement components. But because of this error the relative error for stress components becomes 1.5xl0"2. Only if the displacements are precisely known, then the stresses can be calculated with no error. The chosen sample problem is a plate having a circular hole stretched by the forces parallel to one of the principal directions of the material. Results are compatible with the theoretical solution given by Lekhnitskii for an infinite plate. 
Description: Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1999
Thesis (Ph.D.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 1999
URI: http://hdl.handle.net/11527/16434
Appears in Collections:Yapı Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
100720.pdf4.69 MBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.