Plane Wave Diffraction By A Slit İn A Thick İmpedance Screen

Abstract

Bu çalışmada, yüzeylerinde empedans türünden sınır koşullarının sağlandığı yarı-sonsuz iki tabakanın arasında kalan yarıktan bir düzlemsel elektromagnetik dalganın saçılması incelenmiştir (Bk. Şekil 1.). Gelen dalganın ayrıta dik yönde yayılmakta olduğu (TMz-polarizasyon) varsa yılarak ve Fourier transform tekniği kullanılarak, problem, önce bir çift üçüncü tipten modifiye Wiener-Hopf denklemine indirgenmiş, sonra da bunlar bir takım basit işlemlerle dekuple edilerek ikinci türden Fredholm integral denklemlerine indirgenmiştir. Sözü edilen bu integral denklemler de sonsuz boyutlu bir lineer denklem sistemine dönüştürülmüş ve sayısal tekniklerle yaklaşık olarak çözülmüştür. Şekil 1. Problemin geometrisi 2. Problemin Formülasyonu Oxyz verilmiş bir kartezyen koordinatlar sistemi olmak üzere Sı : {x < 0,y G (-d,d),z G (-00,00)} ve S2 : {x > l, y G (- d, d), z G (-00, 00)} ile tanımlı yarı-sonsuz iki tabakanın arasında kalan bölge (Bk. Şekil 1.) Eİ = U\x,y) = e-^(x cos 00+3/ sin 0o) (j) şeklindeki bir düzlemsel dalga ile aydınlatılmış olsun. Zq boşluğun karakteristik empedansı olmak üzere, yarı sonsuz tabakaların x < 0, y = ±d vı ve x > /, y = ±d yatay yüzeylerinin Z\ = rjı Zq yüzey empedansı ile, x = 0,l,y ? (-d, d) düşey yüzeylerinin de Z2 = r/2Zo yüzey empedansı ile modellenebildiği kabul edilmektedir. Bu halde, toplam uT(x: y) alanı değişik bölgelerde aşağıdaki gibi yazılabilir: ut(x,y) + ur(x,y) + u1(x,y),y > d u (x,y) = < u2(x,y),-d <="" d="" (2a),y="" -d="" u*{x,y)="" burada="" tı'(x,y),="" (1)="" ile="" verilmiş="" olan="" gelen="" alanı,="" ur(x,y)="" ise,="" tümüyle="" z\="" empedansına="" sahip="" y="d" düzleminden="" yansıyan="" alanı="" göstermektedir:="" rjı="" sin<="" style="margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; color: rgb(34, 34, 34); font-family: Verdana, Arial, sans-serif; font-size: 10px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">0 - 1 u \x,y) -ik[x cos Q - (y- 2d) sin 4>o] (2b) r/ı sin<^o + 1 Problem uı, u2 ve uz ün belirlenebilmesi ve analizinden ibarettir. (2a)da yer alan u% ve ur terimleri homogen Helmholtz denklemini sağladığından y > d ve y < -d bölgelerinde gözlenen uı(x,y) ve us(x,y) fonksiyonları da aynı denklemi, yani uı(x,y) d2 d2 u3(x,y) = 0 x E (- oo, oo) (3) denklemini sağlarlar. Bunu kolayca çözebilmek için önce eîaa;/v27r ile çarpıp x'e göre (-00,00) aralığında integre edelim. Sonuçta, u\ ve u3 ün Fourier dönüşümleri F ve H olmak üzere, \F(a,y)} lj? + K*W H(a,y) = 0 (4a) buluruz. Burada, K(a) = yjk2 - a2 (U) konmuş olup, karekök fonksiyonu, Şekil 2. 'deki gibi kesilmiş kompleks a- düzleminde A"(0) = k olacak şekilde tanımlanmıştır. (4a)'da görünen F(a,y) ve ff(a,y)'yi aşağıdaki gibi yazmak uygun olacaktır: faa Şekil 2. Kompleks ev- düzlemi vıı Burada, F(a, y) = F-(a, y) + Fi (a, y) + eialF+(a, y) H{a,y) = ff_(a,y) + i?ı(a,y) + eia,taxdx (66) (6c) olarak tanımlanmıştır. Fourier integralinin bilinen analitik özellikleri nedeniyle, F-(a,y) ve H-(a,y) fonksiyonları Jra(a) < Im(k) yarı-düzleminde, F+(a,y) ve iî+(a,y) fonksiyonları da Im(a) > Im(-k) yarı-düzleminde regüler olan fonksiyonlardır. F\(a,y) ile H\(a,y) ise tam fonksiyonlardır. (4a)nm y > d ve y < - c? bölgelerinde radyasyon koşulunu sağlayan çözümleri göz önüne alınırsa, F_(a,y) + F!(a,y) + e^F+(a,y) = A(«)eİK^-d] (7a) H-(a,y) +H1(a,y) + eialH+(a,y) = D(a)e-İK^+dl (76) yazılabileceği anlaşılır. Buradaki A(a) ve D (a) sınır ve ayrıt koşulları aracılığıyla belirlenecektir. x £ {(- oo,0) U(/, oo)}, y = ±d yüzeyleri r\\ bağıl yüzey empedansına sahip yüzeyler olduğundan, uı(a;,y) ve u3(x,y) aşağıdaki sınır koşullarını sağlayacaktır: <ı+ &£>«><*.<'> =° x e {(-oo,0)U(Z,oo)} f1 -&£>-<*. -">=° x ? {(-oo,0)U(/,oo)} Bu koşulların Fourier dönüşümü alınıp (7a, 6) kullanılırsa P(a) = Fl(a,d) + ^Fl{a,d) Q(a) = Hl(a,-d)-T±Hl(a,-d) (8a) (86) (9a) (96) vııı olmak üzere P{a) = A(a)[l + jK(a)} (10a) Q(a) = D(a)[l + jK(a)] (106) elde edilir. - d < y < d bölgesindeki U2(x, y) alanına gelince; bu, x £ (0, /) aralığında homogen Helmholtz denklemini sağlar. Bunun sonlu Fourier dönüşümü ı Gx(*,y) = -~Ju2(x,y)eiaxdx (11) o olsun. U2{x,yynixı düşey yüzeylerde sağladığı (l + ^^>2(0,j/) = 0, -d<y<yü) __ j + Af" (a) a 72 a- -)#(*)] sin Ktdt K rjı a - h cos <^>o (20a) «Are" -ii^rf -İZ(a) = *_(«) + e'a'#+(a) + -A ^ gjj(a - kcosfio) _ i Me(a)[?7ı + */#(«)] ~"v"/ v"/ ' " ~rv~v ' ^ " a~kcos^>0 d + ^y /[(l + <*f )/(') + ^'a/(l - «f M*)J cos tffofc (206) elde edilir. Burada, 7r 1 -f î;i sin ^o (20c) konmuştur. (186, c) eşitlikleri f(t) ve g(t) fonksiyonlarım aşağıdaki gibi Fourier sinüs ve Fourier kosinüs serilerine açma olanağını verirler: /(*) m m-l J m ff°m sia K°t + J n ? e m 9m cos K*mi (21) Şimdi (21) ifadesi (20a, 6)de yerine konur ve terim terim integral alınırsa, aşağıdaki üçüncü tip modifîye Wiener- Hopf denklemleri elde edilir:, x(0) __ i r)\ a - A; cos <$o KLcosKld, (22a) ATe(a) İ2(a) - $_(«) - eîa'$+(a) = - A ?Ar eil(a<-kcos0) __ ı KemsmKemd, _/ a2-(«^): ?7ı a - A; cos <^o Ar (226) xı ve Burada Ne'°(a) = eİK^dMe>°(a) (22c) xW^hi + k/Kia)]-1 (22d) dir. Bu modifiye Wiener-Hopf denklemlerinin Im{ - k) < Im(a) < Im(k) bandında geçerli olmasına rağmen, analitik uygunluk bakımından, regüler- lik bandı aşağıda Im(k cos <="" im(a)="" im(k)="" şeklinde="" kısıtlanacaktır.="" 3.="" modifiye="" wiener-hopf="" denklemlerinin="" yaklaşık="" Çözümü="" (22a)da="" görülen="" denklemini="" çözmek="" için="" önce="" bu="" ifade="" deki="" x(a)="" n°(a)="" çekirdek="" fonksiyonunu="" anlamında,="" yani,="" x(«)="" _="" x+(°0="" x-(«)="" ç23.="" nl(a)="" n°_(a)="" ayrıştırmak="" gerekir.="" buradaki="" ue="" n+(a)="" fonksiyonları="" style="margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px;">Im(-k) üst yarı- düzleminde, X-{a) ue N?_(a) fonksiyonları da Im(a) < Im(k) alt yarı-düzleminde regüler olan fonksiyonlardır [15,16]. (22ö)nın iki tarafı NH(a)/x-(a) ile çarpıldıktan sonra Wiener-Hopf anlamında dekompoze edilirse, Liouville teoremi uyarınca, N. X- -(«) 2tti J X-(r) T ~~ a "Hı X-{kcos(po) a - kcoscpo c- ^Jm\ »> k ' a°m(a + a°m) x+(a°m) ^ ' olduğu görülür. Benzer şekilde, (22a)nın iki yanının e~talN+(a)/x+{ot) ile çarpılıp dekompoze edilmesiyle de N+(a)Lro{a) = _ J_ J NUr)L0(r)c_İTldT + ikh e-iklc°s° N$(kcos0) X+(a) 2-rci J X+(r) T ~ a Vı a- kcos(j>0 x+(kcoscl>0) c+ oV2,K0mcoSK0mdN0+(a°m) ra=l bulunur. Burada, - Y £(i - <%rm,m\+,[ (24&) ik e-ifc»coS*0 n2,^ K°cosK°d U°(a) = *+(a) + -h~ - 2(1 - af) Y g°n m' T7ı a - fccosöio k t-* m a2 - (a° )2 (24c) xn L (a) = W_(a) n : : 2(1 - at-) > fm - 7. , ",9 v ' v ' m a - k cos fa kJ^/ma2-(a°)2 m-1 (240) C+ ? V* e/, e ^2^^ singed JNT^(a^) Burada Le(a =$-H A - +2(l+a-f)\ fem T m (25c) v ' v ' r)x ol - & cos 0 & _n <* ~ (am) m=l ".,, -,, **, e-ÎKİCOS^ _ *72,v- £ KemsinKemd Ue(a) = $+(a)+ - h - +2(l-a-7- ) > gem T. - *2- (25d) şeklinde tanımlanmıştır. ki yeterince büyük olduğunda (24a, b) ve (25a, 6)deki integraller ihmal edilebilir ve L°'e(a) ve U0,e(a) için geniş bir yarığa ilişkin birinci merte beden çözümler elde edilir. Bu çözümler (22a, 6)deki Wiener- Hopf denklemlerinden elde edilen 5(a) ve R(a) ifadelerinde yerine konursa, S(a) ve R(cx) ifadeleri 5(±o;^) ve R(±a^l) katsayıları cinsinden yazılabilen f^e ve g^f bilinmeyen katsayılarını içerir. (17a, b) ifadeleri de kullanılırsa, aşağıdaki gibi, sonsuz bilinmeyenli sonsuz denklem içeren dört denklem sistemi elde edilir: xııı [dk + f cos2 K°md](l + a°mf) x+(a°m) A^cosA^c* ^«J17T^^ Nl(k cos (j)0) e-ifcicos^° 1 1 1 x+(A;cos^o) OL°m - kcos(f)0 l-cos^0 1 - a^/k Nl(k cos 0) 1 1 1 1 x-(^cos^o) oi°m + kcos4>0 1 + cos^o l-a°m/k ik Nl(k cos o) 1 ik N^(k cos (j>0) e-iklcos0 rji x-(^cos^0) «m - kcos(j)0 r)i x+(k cos <^0) a^ + £cos<^0 X [ + -A_ _L_] (26a) [^ + ^cos2A^(l + aQmf)x+(g^) K°m cos K°md NU0 l-cos(j>0 \-a0m/k Nl(k cos ^ 1 1 1 X-{k cos 4ü) a°m + k cos (f>Q l + cos^0 l-a°mjk ik Nj(k cos 0) 1 ik N^(k cos * r?i x-(^cos<^o) «m - kcos0 x [ -^- - - ] (266) l[dk + fsm*K*md}(l + *emf)x+(gp) e~iklcoSo t j X+(&cos<^o) aem - kcoscj>Q l-cos^0 l-aem/k _ B Nj(k cos 0) 1 1 1 X-(fccos<^o) ocem + kcos0) 1 ik N^(k cos (f>0) e-ikicos0 T)! X-(&COS<^o) «m - &COS<^o ?7l X+(&COS<£0) «T + & COS 0 1 1 X+(A;cos^o) «T - kcoscj)o l-cos^0 1 - o^/& N±{k cos fa) 1 1 1 X-(fccos<^o) a^ + fccoso 1 + cos^o 1 - c^/fc ik N±(k cos p) 1 ik N^(k cos (/>q) e~ikl cos ^° r/i x-(fccos^o) am - fccos^o t/i X+(kcosşi>o) «m + kcos(j)0 x [-TT-T + 7^7" 77^]. (26d) Buradaki A\, A2 ve B\, B2 katsayıları Al, -^f Wd + M'iZ&r^ (27a) /2tt »71 -/4. -X+(*Q- «*'*' ^ = r_(M)2(1 +,lAM)2[^U]2__ (m) /27T B1 = -^= -M^HPV (27c) V^F»7ı LİV^(fc)J VH V ; 52 - V^[nW)] Wi (27d) olarak tanımlanmıştır. 4. Saçılan Alanın Analizi S(a) ve R(a) yukarıda söylendiği gibi bulunduktan sonra y > d ve y < - d bölgelerinde gözlenen u%(x,y) ve Uz(x,y) alanlarını bulmak için gereken A(a) ve D(a) spektral katsayıları da (9a, b) ve (14c)den şeklinde elde edilir. A(a) ve D(«)'nın bu ifadeleri (7a, 6) ve (5a, 6)de kullanıldıktan sonra, elde edilen F(a, y) ve H(a, y) fonksiyonlarının ters Fourier dönüşümü semer noktası yöntemi ile değerler dirilirse, y > d ve y < -d bölgelerinde kırman alanın asimptotik ifadeleri bulunmuş olur. Bunların hem analitik ifadelerini hem de grafiklerini çıkarmak kolaydır. </y

A uniform asymptotic high-frequency solution is developed for the problem of diffraction of plane waves by a slit in an impedance screen of finite thickness. By using the Fourier transform technique the boundary- value problem is formulated into a pair of simultaneous modified Wiener- Hopf equations of the third kind which are decoupled and solved approx imately. Several numerical results illustrating the effects of the surface impedances, slit width and slit thickness on the diffraction phenomenon are presented.