Self-tuning Structures Of Interval Type-2 Fuzzy Pid Controllers

Abstract

Bulanık mantık tabanlı sistemler kontrol, robotik, görüntü işleme, karar verme, tahmin, modelleme gibi birçok farklı mühendislik uygulanasında başarıyla uygulanmıştır. Günümüzde ise bulanık mantık tabanlı sistemler özellikle kontrol teorisi üzerinde önemli bir araştırma konusunu bulmaktadır. Literatürde bulanık mantık sistemlerin özel bir hali olan bulanık PID kontrolörler üzerine birçok çalışma bulunmaktadır çünkü giriş çıkış ilişkileri gereğince bu kontrolörler, klasik PID kontrolörlere eşdeğer olabilmektedirler. Ancak sıradan yani tip-1 bulanık mantık sistemlerinin belirsizlikleri ve doğrusal olmayan özellikleri ifade etme konusunda yetersiz kalabileceği yapılan çalışmalarla gösterilmiştir. Ayrıca bu sınırlamanın temelde tip-1 bulanık kümelerin keskin üyelik değerlerinden kaynaklandığı gösterilmiştir. Bu yüzden tip-1 bulanık sistemler tip-2 bulanık sistemlere genişletilmiştir ancak karmaşık iç yapıları ve tip-2 bulanık kümelerin hesaplama yükü sebebiyle tip-2 bulanık sistemler günümüzde hala yeterince geliştirilememiştir. Çünkü tip-1 bulanık kümeler yerine tip-2 bulanık kümeler ile uğraşmak bulanık çıkarım mekanizmasına tip-indirgeme adında yeni bir operasyon eklemiştir. Tip indirgeme işlemi, bulanık kuralların öncül kısmındaki tip-2 bulanık kümelerini durulama işlemi öncesinde tip-1 bulanık kümelere indirgemek için kullanılır. Ancak tip-indirgeme genelde iteratif algoritması ile gerçeklenmesi tip-2 bulanık sistemlerin hesaplama yükünü arttırmış ve iç yapısının incelenmesini engellemiştir. Bu sebeple tip-2 bulanık sistemlerin zorluklarını yok etmek için, tip-2 bulanık sistemlerin özel bir hali olan aralık değerli tip-2 bulanık sistemler önerilmiş ve günümüzde de aralık değerli tip-2 bulanık sistem açık bir şekilde bulanık mantık alanında yapılan çalışmalara yön vermektedir. Aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemler, sıvı seviye kontrolü, otonom mobil robot kontrolü, süreç kontrolü, pH kontrolü, biyoreaktör kontrolü ve modelleme gibi birçok farklı kontrol alanındaki uygulamalarda gerçeklenmiştir. Yapılan çalışmalarla gösterilmiştir ki aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemleri öncül üyelik fonksiyonlarındaki belirsizlik izdüşümü tarafından sağlanan fazladan serbestlik derecesi sayesinde tip-1 eşdeğerlerine kıyasla daha iyi kontrol performansı sağlamaktadır. Ayrıca aralık değerli tip-2 bulanık mantık tabanlı sistemler, tip-1 eşdeğerlerine kıyasla daha yumuşak kontrol eylemine sahiptir ve bu durum belirsizlikler karşısında daha iyi kontrol performanları sağlamaktadır. Yapılan bazı çalışmalarda değinilmiş olmasına rağmen, aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemlerinin tasarımı hala geliştirmeye açık bir konudur. Bunlara ilaveten, hesaplama yükünü azaltmak için orijinal Karnik-Mendel algoritmasına bir çok alternatif algoritmalar önerilmiştir. Ancak temel problemler hala devam etmektedir çünkü alternatif yöntemler Karnik-Mendel algoritmasının yenilikçi ve uyarlamalı olmak üzere iki temel özelliğini taşımamaktadır, gelişmiş algoritmalar ise orijinal Karnik-Mendel algoritması gibi açık bir biçimde ifade edilememektedir. Bunlara ilaveten günümüzde aralık değerli tip-2 bulanık mantık sistemlerinin iç yapıları ve kararlılıkları farklı yönlerden incelenmektedir. Bu bağlamda alternatif tip indirgeme yöntemi kullanılarak Takagi-Sugeno-Kang bulanık sistemlerin özel durumlar için kararlılıkları gösterilmiş, aralık değerli tip-2 bulanık PI ve PD kontrolörlerin analitik ifadeleri giriş uzayı çok sayıda alt parçaya bölünerek elde edilmiş olsa da bu konudaki çalışmalar hala devam etmektedir. Günümüzde araştırmacıların ilgisi aralık değerli tip-2 bulanık kontrolörleri daha iyi anlamak, kararlılık analizlerini gerçekleştirmek, tasarım yöntemleri önermek ve öz-ayarlama gibi daha karmaşık kontrol yapıları geliştirebilmek için devam etmektedir. Bu tez çalışmasında, Karnik-Mendel tip-indirgeme algoritmasına alternatif iki yöntem önerilmiştir. Bu iki yöntem ile kesme noktası seçiminin daha iyi anlaşılması ve kapalı biçimde ifade edilmesi hedeflenmektedir. Önerilen ilk yöntem Kesme Noktaları Haritasının Yüzeyi olarak adlandırılmakta ve bu yeni görsel yöntem Karnik-Mendel algoritmasının kesme noktalarını açık bir biçimde göstermektedir. Kesme Noktaları Haritasının Yüzeyi, kesme noktalarını ve bu noktaların geçerli olduğu bölgeleri giriş uzayı üzerinde temsil etmektedir. İkinci önerilen yöntem Sınır Fonksiyonları tabanlı Karnik-Mendel tip-indirgeme yöntemi olarak adlandırılmakta ve bu yöntem Karnik-Mendel algoritmasının optimal kesme noktalarını ayrıştırma özelliğinden yararlanarak bulmaktadır. Ayrıştırma özelliği giriş uzayının birçok alt uzaya bölünmesini sağlamakta ve önerilen Sınır Fonksiyonları tabanlı Karnik-Mendel tip-indirgeme yöntemi bu alt uzaylara bağlı olarak optimal kesme noktaları hesaplamaktadır. Aslında önerilen bu alternatif yöntemler birbirini tamamlayıcı yöntemlerdir çünkü Sınır Fonksiyonları tabanlı Karnik-Mendel tip-indirgeme yöntemi optimal kesme noktalarını hesaplarken, Kesme Noktaları Haritasının Yüzeyi ise bu noktaları açıkça görsel hale getirir. Tez çalışmasının ikinci aşamasında 4 kurallı aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörin analitik çıkarımları yapılmıştır. Bu amaçla 4 kurallı aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolör yapılarının matematiksel ifadeleri önerilen Karnik-Mendel tip-indirgeme yöntemine alternatif yöntemler kullanılarak elde edilmiştir. Böylece kullanılan aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörlerin çıkış ifadeleri açıkça ifade edilmiştir. Bu çalışmanın en önemli getirilerinden biri olarak aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörlerinin kontrol kurallarının giriş değişkenleri ve tasarım parametreleri cinsinden matematiksel olarak ifade edilmesi gösterilebilir. Ayrıca bu çalışmalar esnasında kontrol kurallarının giriş değerlerine bağlı olarak zamanla birbirini arasında değiştiği de gözlenmiştir. Elde edilen kontrol kuralları doğrusal olmayan karmaşık ifadeler olsa bile bu ifadeler kontrolör tasarımı ve kararlılık analizlerinde rahatlıkla kullanılabilir olduğu görülmüştür. Ayrıca bu tezde biri sezgisel fonksiyon diğeri optimizasyon tabanlı olmak üzere aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörler için iki farklı öz-ayarlamalı yöntem önerilmiştir. Sezgisel öz-ayarlamalı fonksiyon en basit aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolör için elde edilen matematiksel ifadelere bağlı olarak önerilmiştir. Ele alınan fonksiyon en basit aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörün sürekli hal noktası etrafındaki kazanç eğrisine bağlı olarak oluşturulmuştur. Bu öz ayarlamalı yöntem, alt üyelik fonksiyonlarının yüksekliklerini sürekli bir şekilde değiştirerek belirsizlik izdüşümünün büyüklüğünü ayarlamaktadır. Diğer öz-ayarlama yöntemi 9 kurallı aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörlerin kural ağırlıklarını optimizasyon tabanlı ve sürekli bir şekilde ayarlamaktadır. Optimizasyon işlemi sistemi en hızlı şekilde ve uygun bir kontrol işareti ile referansa ulaşmasını sağlayacak olan bulanık kural ağırlıklarını belirlemektedir. Son olarak, önerilen öz-ayarlamalı yöntemlerin başarımlarını ve aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörler ile eşdeğerleri arasındaki temel farkları göstermek amacıyla, iki benzetim çalışması ve kapsamlı bir gerçek zamanlı karşılaştırmalı deney çalışması gerçekleştirilmiştir. Gerçek zamanlı deneyler açık çevrim kararsız doğrusal olmayan ve zamanla değişken bir manyetik askı sisteminde gerçeklenmiş ve aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörler dört farklı yöntem ile karşılaştırılmıştır. Deney sonuçları göstermiştir ki aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörler daha iyi kontrol performansları sergilemiştir. Ayrıca aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörlerinin üstünlüğün fazladan serbestlik derecesine sahip olmasından ziyade belirsizlikler ile başa çıkma şeklinden kaynaklandığı görülmüştür. Buna ilaveten, önerilen öz-ayarlamalı kontrol yapılarının zorlu örnek test modelleri üzerinden benzetimleri yapılmıştır. İlk olarak öz ayarlamalı en basit aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolör yapısı bozulmuş birinci mertebeden ölü zamanlı sistemler üzerinde, kontrolör performansını belirsizlik altında incelemek adına benzetimler yapılmıştır. Daha sonra, aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolör için önerilen optimizasyon tabanlı kural ağırlıklandırma yöntemi ikinci mertebeden doğrusal olmayan bir modeli olan kaskat çift tank sistemi üzerinde, kontrolör performansını doğrusal olmayan dinamikler altında incelemek adına benzetimler yapılmıştır. Elde edilen benzetim sonuçları göstermiştir ki önerilen yapılar kontrol sistem performansını arttırmakta ve genel anlamda belirsizliklere ve doğrusal olmayan dinamiklere karşı daha dayanıklı gözükmektedirler. Bu çalışmada özetle, Karnik-Mendel tip indirgeme yöntemine eşdeğer olan iki adet alternatif yöntem önerilmiş, iki farklı aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolör için kapalı formda analitik ifadeler elde edilmiş, iki farklı öz-ayarlamalı yöntem önerilmiştir, önerilen yöntemlerin performansları doğrusal olmayan dinamikler ve belirsizler içeren sistemler üzerinde denemiş ve aralık değerli tip-2 bulanık PID kontrolörler diğer kontrolörler ile gerçek zamanlı bir çalışmanın parçası olarak karşılaştırılmıştır.

The fuzzy logic systems have been successfully implemented in various engineering areas including control, robotics, image processing, decision making, estimation and modelling. Nowadays, the fuzzy logic systems have been attracting massive research interest especially in control theory due to their superiority against nonlinearities and uncertainties of system dynamics. In literature there are various study on fuzzy logic controllers and also, in most of control studies, the fuzzy PID controllers is preferred because analogous structures to conventional PID controller from the input-output relationship point of view. Lately, it is demonstrated that there might be some obstacles for the ordinary (type-1) fuzzy logic systems in the ability of expressing the uncertainties and nonlinearities. It is also showed that this limitation might partly occurred due to the crisp membership grades of the employed type-1 fuzzy sets. Therefore, type-1 fuzzy logic system are generalized to type-2 fuzzy logic systems, however, dealing with type-2 fuzzy sets (instead of type-1 fuzzy sets) requires an additional procedure in fuzzy inference mechanism called type reduction. The type reduction procedure is used to reduce type-2 fuzzy sets in antecedent part of the fuzzy rules into type-1 fuzzy sets before the defuzzification process. The type reduction is generally be performed by iterative algorithms. The type-2 fuzzy logic systems is still not well developed research topic due to its complex internal structures and computational burden caused by type-2 fuzzy sets. Therefore, in order to overthrow the bottlenecks of the type-2 fuzzy logic systems, the interval type-2 fuzzy systems is proposes as a special case of type-2 fuzzy logic systems. Recently, interval type-2 fuzzy logic systems obviously dominate the research areas on the fuzzy logic theory and relating research topics. Recently, interval type-2 fuzzy logic systems have been successfully implemented in various control applications such as liquid level control, autonomous mobile robots, nonlinear plant control, pH control, bioreactor control and fuzzy modelling. It is demonstrated the interval type-2 fuzzy logic systems provide better control performances when comparing to its type-1 or conventional counterparts due its additional degree of freedom provided by the footprint of uncertainty in their antecedent membership functions. It is also shown that the interval type-2 fuzzy logic systems provide more smooth control actions comparing to type-1 counterparts and this feature provides better control performances in case of uncertainty. Moreover, interval type-2 fuzzy logic systems use a well-known iterative type reduction algorithm, namely Karnik-Mendel type reduction method. The various alternative methods to original Karnik-Mendel algorithm and extended versions of original Karnik-Mendel algorithm is proposed in order to reduce computational burden. Yet, the problem still exists since the alternative methods do not have superior features of Karnik-Mendel algorithm, adaptiveness and novelty, while extended algorithms cannot be explicitly represented like original Karnik-Mendel algorithm. Furthermore, the internal structures and the stability analysis of the interval type-2 fuzzy logic controllers have been investigating. The stability analysis for a Takagi-Sugeno-Kang fuzzy system is performed for particular circumstances. The analytical derivation of interval type-2 fuzzy PI and PD controllers are examined by dividing input space into several number of subregions. Although some studies for the design of interval type-2 fuzzy logic controllers is performed, the topic is still not well-develop. Therefore, the research interest on this topic still continues in order to better understand of the nature of the interval type-2 fuzzy logic controller and develop more complex controller structures such as self-tuning mechanisms. In this thesis, first two alternative approaches to the Karnik-Mendel type reduction method is proposed in order to better understand the switching point selection of the iterative Karnik-Mendel algorithm and represent it in a closed form. The first proposed approach is called as Surface of Switching Points Map; it is a novel visualizing method that shows the switching points of Karnik-Mendel algorithms clearly. The Surface of Switching Points Map points outs the switching point sets and their valid region on the input space. The second proposed approach is called as Boundary Function based Karnik-Mendel type reduction method and it determines the optimal switching points of the Karnik-Mendel algorithm without performing an iterative algorithm by the advantage of the decomposition property. Decomposition property provide to dividing input space into subcontroller and the proposed Boundary Function based Karnik-Mendel type reduction method determines the optimal switching points for corresponding subcontroller for an input set. The proposed alternative approaches is complementary studies because the Boundary Function based Karnik-Mendel type reduction method determines the optimal switching points exactly and the Surface of Switching Points Map visualize them clearly. Secondly, the analytical derivations of interval type-2 fuzzy PID controller performed. Here, the mathematical expressions of the 4-rule interval type-2 fuzzy PID controller is analytically derived with the aids of the proposed alternative approaches. The output formulations of the employed interval type-2 fuzzy PID controllers are explicitly expressed. The main goal of these derivations is that the control laws of the interval type-2 fuzzy PID controllers is represented mathematically in closed form in terms of input variables and design parameters. It is also discovered that the control laws switches to other in time with respect to the values of the switching points. Even though the obtained control laws is nonlinear functions, these observations the might be useful for the stability analysis of the controller or the controller design for the further research studies. Thirdly, two novel self-tuning structures based a heuristic function and optimization for interval type-2 fuzzy PID controllers is proposed. A simple heuristic self-tuning function is proposed for the simplest interval type-2 fuzzy PID controllers with respect to the derived mathematical expressions. The function is constructed according to the obtained controller gain curve of the simplest interval type-2 fuzzy PID controller around the origin. The self-tuning structure adjust the size of the FOU via changing the heights of the lower membership functions in online manner. Another self-tuning structure adjust the rule weights of the 9-rule interval type-2 fuzzy PID controller in an online manner via optimization regarding to a control cost function. The optimization procedure determines the optimal rule weights that force the system to attain to the reference as fast as possible with an applicable control effort. Finally, in order to show effectiveness of proposed self-tuning structures and the main differences between interval type-2 fuzzy PID controller and its counterparts, two simulation studies and a comprehensive comparative real-time experimental study are performed. The real-time comprehensive comparative study is performed on an open loop unstable, time varying and nonlinear magnetic levitation plant and the interval type-2 fuzzy PID controller is compared with four fuzzy PID controller including self-tuning type-1 structures. The real-time results demonstrated that the interval type-2 fuzzy PID controller has better control performances in most cases comparing to the other controllers. In addition, the superiority of it lies in the way to handle against uncertainties rather than only having extra degree of freedom. In addition, the proposed self-tuning structures is simulated on challenging benchmark models. First, the self-tuning simplest interval type-2 fuzzy PID controller is tested on a perturbed first order plus dead time process in order to verify the controller performance in cases of uncertainty. Then, the optimization based rule-weighting method for interval type-2 fuzzy PID controllers is tested on a two cascaded tank process with a second order nonlinear model in order to verify the controller performance in case of nonlinearity. Therefore, the simulation results show that the proposed self-tuning interval type-2 fuzzy PID controllers improve the overall performances of the closed loop control system and they are more robust against uncertainties and nonlinearities when comparing to their interval type-2 bases and type-1 counterparts.In this thesis, two novel methods are proposed as alternative approaches to the Karnik-Mendel type reduction algorithm, the mathematical expressions of two kinds of interval type-2 fuzzy PID controller is analytically derived in a closed form formulation, two self-tuning structures for interval type-2 fuzzy PID controller is proposed, it is shown to be an effective method in controlling processes which inherit nonlinear dynamics and uncertainties and the interval type-2 fuzzy PID controller is compared with various controllers as a part of a comprehensive comparative real-time study.