Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/11527/14213
Title: Hiperbolik Ve Yarı-hiperbolik Uzaylarda Sonlu Tipten Genelleştirilmiş Gauss Tasvirine Sahip Alt Manifoldlar
Other Titles: Submanifolds Of Hyperbolic And Pseudo-hyperbolic Spaces With Finite Type Generalized Gauss Map
Authors: Dursun, Uğur
Şen, Rüya
10103728
Matematik Mühendisliği
Mathematics Engineering
Keywords: Sonlu Tipten Tasvir
Hiperbolik Gauss Tasviri
Yarı-Hiperbolik Gauss Tasviri
Hiperbolik Uzay
Yarı-Hiperbolik Uzay
İzoparametrik Hiperyüzeyler
Finite Type Map
Hyperbolic Gauss Map
Pseudo-Hyperbolic Gauss Map
Hyperbolic Space
  Pseudo-Hyperbolic Space
Isoparametric Hypersurfaces
Issue Date: 1-Mar-2016
Publisher: Fen Bilimleri Enstitüsü
Institute of Science And Technology
Abstract: Öklid uzaylarında sonlu tipten alt manifoldlar  kavramı 1970'lerin sonlarında B.-Y. Chen  tarafından verilmiştir. Öklid veya yarı-Öklid uzaylarında  kompakt bir Riemann alt manifoldunun yer vektörü, alt manifold  üzerinde metrik tarafından indirgenen Laplace operatörünün sonlu sayıda  özvektörlerinin toplamı olarak yazılabiliyorsa, alt  manifolda sonlu tipten bir alt manifold denir. Bu özvektörler,  Laplace operatörünün $k$ tane ayrık özdeğerine karşı geliyorsa  alt manifolda $k$-tipinden bir alt manifold denir. Öklid ve yarı-Öklid uzaylarında sonlu tipten alt manifoldlarının  sınıflandırılması ve karakterizasyonu ile ilgili çok sayıda  çalışma yapılmıştır. Daha sonra, sonlu tipten alt manifold kavramı,  kompakt manifoldlardan Öklid uzayı veya yarı-Öklid  uzayı içine tanımlanan düzgün tasvirlere, özellikle  alt manifoldların Gauss tasvirlerine  genişletilmiştir ve sonlu tipten Gauss tasvirine  sahip alt manifoldların sınıflandırılması ile  ilgili birçok çalışma yapılmıştır. Küresel bir alt manifold aynı zamanda Öklid uzayının bir  alt manifoldu olduğundan, küresel alt manifoldlar için  Gauss tasviri, klasik Gauss tasvirinden farklı değildir ve  Obata küresel alt manifoldların Gauss tasvirinde değişiklik  yaparak genelleştirilmiş (küresel veya hiperbolik) Gauss  tasvirini tanımlamıştır. $\textbf{x}: M^n \rightarrow \widetilde M^m$, $n$-boyutlu yönlendirilebilir bir $M^n$ Riemann manifoldundan, $m$-boyutlu bir  $\widetilde M^m$ uzay formuna izometrik bir daldırma olmak üzere, $M^n$ manifoldunun her $p$ noktasını,  $\textbf{x}(p)$ noktasında $\textbf{x}(M^n)$ manifolduna teğet olan $\widetilde M^m$ manifoldunun bir $n$-boyutlu tümden jeodezik uzayına götüren tasvire Obata anlamında genelleştirilmiş  Gauss tasviri denir.  $\widetilde M^m$ manifoldunun  $\mathbb  S^{m}(1)$ birim küresi (ya da $\mathbb  H^{m}(-1)$ hiperbolik uzay) olması durumunda genelleştirilmiş Gauss tasvirine küresel Gauss  (ya da hiperbolik Gauss) tasviri denir. Son zamanlarda, sonlu tipten küresel (veya hiperbolik) Gauss  tasvirine sahip küresel (veya hiperbolik) alt manifoldların  bazı sınıflandırılması ve karakterizasyonu yapılmıştır.  Bu çalışmada, hiperbolik ve  yarı-hiperbolik uzayların  sonlu tipten genelleştirilmiş Gauss tasvirine sahip alt  manifoldları incelenmiştir. İlk olarak, yarı-hiperbolik uzayların alt manifoldları için Obata anlamında genelleştirilmiş Gauss tasviri  tanımlanmıştır. Ardından, hiperbolik ve yarı-hiperbolik uzaylarda   sonlu tipten hiperbolik ve yarı-hiperbolik Gauss tasvirine  sahip alt manifoldların bazı karakterizasyonları verilmiş ve sınıflandırılması yapılmıştır.  Tezin birinci bölümünde,  literatür araştırmasına yer verilmiştir.  Bugüne kadar yapılmış olan çalışmalar ve içerikleri açıklanmıştır. Ayrıca, tez çalışmasında  elde edilen sonuçlar özetlenmiştir. İkinci bölümde, tez çalışmasında kullanılan  bazı temel tanımlar ve denklemler yarı-Riemann  manifoldlarının yarı-Riemann alt manifoldları  düşünülerek verilmiştir. $n$-boyutlu, $t$ indeksli ve  yönlendirilebilir bir  $M^n_t$ yarı-Riemann manifoldundan  $\mathbb{E}^m_s$ yarı-Öklid  uzayına tanımlanmış bir daldırma için klasik Gauss tasvirinden  bahsedilmiştir.  Üçünde bölümde ise, ilk olarak Obata anlamında Gauss tasviri detaylı olarak açıklanmıştır. Obata anlamında Gauss tasviri kullanılarak hiperbolik ve yarı-hiperbolik Gauss tasvirleri tanımlanmıştır. Ayrıca, yarı-hiperbolik Gauss tasvirinin  Laplace operatörü hesaplanmıştır.  Son olarak, $M^n_t$ yarı-Riemann manifoldundan $\mathbb{E}^m_s$ yarı-Öklid uzayı içine tanımlanmış sonlu tipten düzgün bir tasvir için  minimal polinom kriteri verilmiştir. Çalışmanın dördüncü bölümünde, hiperbolik uzaylarda sonlu tipten  hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar incelenmiştir. Bu bölüm iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda,  hiperbolik uzaylarda 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar için bir karakterizasyon verilmiştir. $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ hiperbolik uzayı içinde tümden jeodezik $\mathbb{H}^{n}(-1)$  hiperbolik uzayının 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip  yegane minimal izoparametrik hiperyüzey olduğu gösterilmiştir. $\mathbb{H}^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$ hiperbolik uzayı içindeki  bir yüzeyin 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter koşullar elde edilmiştir.  Ayrıca, $\mathbb{H}^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$  hiperbolik uzayı içinde spektral açılımında sıfırdan farklı  sabit terimi olan 1-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar sınıflandırılmıştır. İkinci kısmında ise, hiperbolik uzaylarda 2-tipinden hiperbolik Gauss tasvirine sahip uzaysal hiperyüzeylerin bir  karakterizasyonu verilmiştir. $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ hiperbolik uzayı içinde bir horohiperkürenin  biharmonik Gauss tasvirine sahip olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, bu bölümde, 3-boyutlu hiperbolik uzayın tümden ombilik olmayan,  sıfırdan farklı sabit ortalama eğrilikli  2-tipinde hiperbolik Gauss tasvirine sahip yüzeyleri sınıflandırılmıştır. Son bölümde ise, yarı-hiperbolik uzaylarda sonlu tipten yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip alt manifoldlar incelenmiştir. Bu bölüm, iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda, $\mathbb{H}_s^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}^m_{s+1}$ yarı-hiperbolik uzayında 1-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine  sahip yarı-Riemann alt manifoldlar için gerek ve yeter koşullar  verilmiştir. $\mathbb{H}_2^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}^m_{3}$ yarı-hiperbolik uzayı içinde  maksimal yüzeyler için sınıflandırma yapılmıştır. Ayrıca, $\mathbb{H}_1^{4}(-1)\subset \mathbb{E}^5_{2}$  yarı-hiperbolik uzayı içinde ışıksal ortalama eğrilik vektörüne  sahip uzaysal ve 1-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip yüzeyler sınıflandırılmıştır.  Bununla birlikte, $\mathbb{H}_s^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}^m_{s+1}$ yarı-hiperbolik uzayı içinde $n$-boyutlu $t$ indeksli, ışıksal  olmayan ortalama eğrilik vektörüne sahip ve yönlendirilebilir bir $M^n_t$ yarı-Riemann manifoldunun spektral  açılımında sıfırdan farklı sabit terimi olan 1-tipinden  yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip olması için gerek  ve yeter koşullar belirlenmiştir.  İkinci kısımda ise, indeksi 1 ya da 2 olan yarı-hiperbolik uzaylarda  2-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine  sahip uzaysal alt manifoldlar araştırılmıştır. $\mathbb{H}_1^{n+1}(-1)$ yarı-hiperbolik  uzayı içinde uzaysal, sıfırdan farklı sabit ortalama eğrilikli  bir hiperyüzeyin 2-tipinden yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip olması için gerek ve yeter koşullar verilmiştir.  $\mathbb{H}_1^{3}(-1)\subset \mathbb{E}^4_{2}$ yarı-hiperbolik uzayın tümden ombilik olmayan, sıfırdan  farklı sabit ortalama eğrilikli, 2-tipinden yarı-hiperbolik  Gauss tasvirine sahip uzaysal yüzeyleri sınıflandırılmıştır. Ayrıca, hiperbolik Veronese yüzeyinin 2-tipinden  yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip  olduğu gösterilmiştir. Son olarak, tamamen  $\mathbb{H}^{4}_2(-1)\subset\mathbb{H}^ {m-1}_2(-1)$ yarı-hiperbolik uzayı  içinde uzaysal maksimal, 2-tipinden  yarı-hiperbolik Gauss tasvirine sahip yegane yüzeyin hiperbolik Veronese yüzeyi  olduğu ispatlanmıştır.
The notion of finite type submanifolds of a Euclidean space was introduced by B.-Y. Chen in late 1970's.  Since then the finite type submanifolds of Euclidean spaces or  pseudo-Euclidean spaces have been studied extensively,  and many important results have been obtained. A Riemannian submanifold  of a Euclidean space or pseudo-Euclidean  space is said to be of finite type  if its position vector can be written  as a sum of finitely many eigenvectors of  the Laplace operator. If these eigenvectors  are corresponding to $k$ distinct eigenvalues  of the Laplace operator, then the submanifold  is said to be of $k$-type.  For an isometric immersion  ${\bf x}: M^n \longrightarrow \mathbb{E}^m$  of a compact  Riemannian manifold $ M^n$ into an Euclidean space $\mathbb{E}^m$,  the constant vector ${\bf x_0}$ in the spectral  decomposition is exactly the center of mass of $ M^n$ in  $\mathbb{E}^m$, where $\bf{x_0}$ is the eigenfunction  of the Laplacian with eigenvalue $\lambda_0=0$.  A spherical finite type map ${\bf x}$ of a Riemannian manifold $M^n$ into the unit sphere $\mathbb S^{m-1}(1)$ centered at the origin  of $\mathbb{E}^m$ is called mass-symmetric if the vector $\bf{x_0}$ in its spectral decomposition is the center of $\mathbb S^{m-1}(1)$. Finite type non-compact submanifolds of Euclidean spaces  and pseudo-Euclidean spaces are studied by many researcher. When $ M^n$ is compact, the component $\bf{x_0}$  in the spectral decomposition is a constant vector.  However, when $ M^n$ is non-compact the component  $\bf{x_0}$ is not necessary a constant vector.  If $ M^n$ is not compact, we can not make the spectral decomposition of   a map on $ M^n$ in general.  But, it is possible to define the notion of  a map of finite type on a non-compact  manifold.   Finite type submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean  spaces have been studied by many geometers, and also  many classifications and characterizations of finite  type submanifolds have been obtained. Later, the notion of finite type was extended to differentiable   maps on compact manifolds, in particular to Gauss map of submanifolds. And many results  have been obtained on the classification of  submanifolds of Euclidean spaces and pseudo-Euclidean  spaces with finite type Gauss map.  Since a spherical submanifold can be viewed as  a submanifold of a Euclidean space the Gauss map  of the spherical submanifold can be determined  in the ordinary sense. For the Gauss map to  reflect the properties of submanifolds in sphere  instead of Euclidean space, Obata modified the definition  of Gauss map appropriately as follows: Let $\textbf{x}: M^n \rightarrow \widetilde M^m$  be an oriented isometric immersion from a Riemannian  $n$-manifold $M^n$ into a space form $\widetilde M^m$ of constant curvature. The generalized Gauss map in the Obata's sense is a map which assigns to each $p\in M^n$ the totally geodesic  $n$-space of $\widetilde M^m$ tangent to $\textbf{x}(M^n)$ at $\textbf{x}(p)$. In the case, $\widetilde M^m = \mathbb  S^{m}(1)$\; (or resp.  $\widetilde M^m = \mathbb  H^{m}(-1)$ the hyperbolic space) the generalized Gauss map is also called the spherical Gauss map\;(or resp. the hyperbolic Gauss map). Recently, spherical (or hyperbolic) submanifolds with finite type  spherical (or hyperbolic) Gauss map have been  characterized and classified in some papers. It is known that the geometric behavior of classical and spherical Gauss map are different.  For example, the classical Gauss map of every compact Euclidean submanifold is mass-symmetric; but the spherical Gauss map of a spherical  compact submanifold is not mass-symmetric in general. In this thesis, submanifolds  of hyperbolic spaces and pseudo-hyperbolic  spaces with finite type generalized  Gauss maps are studied. Firstly,  the definition of pseudo-hyperbolic Gauss map of  pseudo-hyperbolic submanifolds  in the Obata's sense is given, and then characterization  and classification of submanifolds of hyperbolic space  and pseudo-hyperbolic space with finite type generalized  Gauss map are obtained. In the first chapter, it is mentioned about  a review of literature. And then, results  obtained this thesis are summarized. In the second chapter, it is introduced  some fundamental definitions and equations of pseudo-Riemannian submanifolds  of pseudo-Riemannian manifolds. It is  mentioned about the classical Gauss map from an oriented pseudo-Riemannian manifold  into a pseudo-Euclidean space. In the third chapter, firstly, by using the definition of generalized Gauss map in Obata's sense, the definition of hyperbolic Gauss map and pseudo-hyperbolic Gauss map  are given. Laplacian of pseudo-hyperbolic Gauss map of the pseudo-Riemannian $n$-submanifold  $M^n_t$ with index $t$ in a pseudo-hyperbolic $(m-1)$-space $\mathbb{H}^{m-1}_s(-1)\subset \mathbb{E}_{s+1}^m$ with index $s$ is obtained. Then, the minimal polynomial criteria is given for a finite type differentiable map  from the pseudo-Riemannian $n$-submanifold $M_t^n$ with index $t$ to  $\mathbb{E}^m_s$ pseudo-Euclidean space.  In the fourth chapter, submanifolds of  hyperbolic spaces with finite type hyperbolic Gauss map are investigated. This chapter contains two sections.  In the  first section, the characterization and classification of  submanifolds of hyperbolic  space with 1-type hyperbolic Gauss map are obtained.  It is concluded that a totally geodesic hyperbolic space   $\mathbb{H}^{n}(-1)$ is the only minimal isoparametric  hypersurface in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$  with 1-type hyperbolic Gauss map. Also, it is proved that  an oriented surface $M$ in $\mathbb{H}^{m-1}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$  has  1-type hyperbolic Gauss map if and only if $M$ is an open part of a  totally geodesic hyperbolic 2-space $\mathbb{H}^{2}(-1)$  in $\mathbb{H}^{m-1}(-1)$.  Moreover, a classification theorem  is given for a submanifold of  $\mathbb{H}^{m}(-1)\subset \mathbb{E}_1^m$ with  1-type hyperbolic Gauss map such that its spectral decomposition  contains a non-zero constant component.  In the second section,  the necessary and sufficient condition  for hypersurfaces with non-zero constant mean curvature of hyperbolic  space having 2-type hyperbolic Gauss map is  obtained. A horohypersphere  in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ is introduced and  then, it is showed that the horohypersphere in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ has biharmonic  hyperbolic Gauss map. It is also obtained that the standard product $\mathbb{H}^k(-\frac{1}{1+r^2})\times\mathbb{S}^{n-k}(\frac{1}{r^2})$ in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ is the only  isoparametric hypersurface in $\mathbb{H}^{n+1}(-1)$ with 2-type hyperbolic Gauss map. Finally, it is proved that a non-totally umbilical surface with non-zero constant mean curvature in $\mathbb{H}^{3}(-1)\subset \mathbb{E}_1^{4}$ has 2-type hyperbolic Gauss map if and only if it is an open portion of  the product surface $\mathbb{S}^1(a^{-2})\times\mathbb{H}^1(-b^  {-2})$ in $\mathbb{H}^3(-1)$. In the last chapter,  the pseudo-Riemannian  submanifolds of pseudo-hyperbolic spaces  with finite type  pseudo-hyperbolic Gauss map  are studied. It contains two sections. In the first section, a characterization of pseudo-Riemannian submanifold of a pseudo-hyperbolic space   $\mathbb  H^{m-1}_s (-1)$  with 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map  is obtained. It is given some examples of surfaces in  $\mathbb{H}_1^3(-1)\subset \mathbb{E}^4_2$ and in $\mathbb{H}_1^4(-1)\subset \mathbb{E}^5_2$ such  that they have finite type pseudo-hyperbolic Gauss map. Then, the classification of maximal   surfaces in  $\mathbb  H^{m-1}_2 (-1) \subset \mathbb E^m_{3}$  with 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map is obtained. A classification theorem on space-like oriented surfaces in the anti-de Sitter 4-space with null mean curvature vector  and 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map is given.  Finally, pseudo-Riemannian submanifolds in  $\mathbb  H^{m-1}_s (-1) \subset \mathbb E^m_{s+1}$   with 1-type pseudo-hyperbolic Gauss map having non-zero constant component in  its spectral decomposition are classified. In the second section, a characterization of space-like hypersurfaces with 2-type  pseudo-hyperbolic Gauss map lying in  $\mathbb{H}^{m-1}_1(-1)\subset \mathbb{E}^m_{2}$ is obtained.  It is proved that a non-totally umbilical, space-like, oriented hypersurface $M^n$ with non-zero constant  mean curvature in  $\mathbb{H}^{n+1}_1(-1)\subset \mathbb{E}_2^{n+2}$ has 2-type  pseudo-hyperbolic Gauss map if and only if it has constant  scalar curvature. A classification is obtained for space-like oriented surfaces with constant mean curvature  in $\mathbb{H}^{3}_1(-1)\subset \mathbb{E}_2^{4}$  having 2-type  pseudo-hyperbolic Gauss map. Moreover, it is proved that hyperbolic Veronese surface in $\mathbb{H}_2^{4}(-1)$ is the only maximal surface  fully lying in  $\mathbb{H}_2^{4}(-1)\subset \mathbb{H}_2^{m-1}(-1) $,\;$m \geq 5$ with 2-type pseudo-hyperbolic Gauss map.  Finally, it is concluded that  there is no minimal space-like surface lying fully  in $\mathbb{H}^4(-1)\subset \mathbb{E}^5_1$ with 2-type  hyperbolic Gauss map and   there is no maximal space-like surface lying fully  in $\mathbb{H}^4_1(-1)\subset \mathbb{E}^5_2$ with 2-type  pseudo-hyperbolic Gauss map.
Description: Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2016
Thesis (PhD) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2016
URI: http://hdl.handle.net/11527/14213
Appears in Collections:Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora

Files in This Item:
There are no files associated with this item.


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.