Please use this identifier to cite or link to this item: http://hdl.handle.net/11527/14212
Title: Davey Stewartson Sisteminde Temel Kafes Solitonları
Other Titles: Fundamental Lattice Solitons In Davey Stewartson Systems
Authors: Antar, Nalan
Bağcı, Mahmut
10105290
Matematik Mühendisliği
Mathematics Engineering
Keywords: Schrödinger denklemi
Gürbüz kararlılık
Elektromanyetik dalgalar
Schrödinger equation
Robust stability
Electromagnetic waves
Issue Date: 21-Mar-2016
Publisher: Fen Bilimleri Enstitüsü
Institute of Science And Technology
Abstract: Eğrisel (nonlinear) dalga denklemlerinin çözümleri, optik, akışkanlar dinamiği veya plazma fiziği gibi alanlarda geniş olarak yer tutan önemli bir konudur. Fizik ve matematikte çeşitli yönetici denklemler (modeller) kullanılarak dalga çözümleri elde edilebilir. Elde edilen çözümlerin yapısı ve kararlılığı kullanılan fiziksel modele ve bu model için kullanılan parametrelere göre değişir. Bu çözümler kararlı lokalize dalgalar (soliton) veya sönümlü dalgalar olabilir.  Sayısal yöntemlerden faydalanarak birçok dalga denkleminin soliton çözümlerinin varlığı gösterilmiştir. Bu dalga denklemlerine örnek olarak Korteweg-de Vries (KdV) denklemi, eğrisel Schrödinger (NLS) denklemi veya bu çalışmada da model olarak kullanılan NLS denklemine kuadratik katkıları içeren (NLS with mean term) NLSM sistemi gösterilebilir. NLSM sistemi, Davey-Stewartson ve Benney-Roskes tipi sistem olarak da bilinmektedir. Çözüm elde edilmek istenen ortam (malzeme) simetri merkezli (centro-symmetric) ise üçüncü dereceden (kübik) NLS denklemi yönetici denklem olarak kullanılabilir. Simetri merkezli olmayan ortamda çözüm elde edebilmek için NLS denklemine ikinci dereceden (kuadratik) katkılar eklenmelidir. Kübik NLS denklemine kuadratik katkılar eklendiğinde aşağıda verilen NLSM sistemi elde edilmektedir.  \begin{equation}  \label{} \begin{split}  iu_z  +\sigma\Delta u + \left| u \right|^2 u-\rho\phi u = 0, \\ \phi_{xx}+\nu\phi_{yy}=(\left| u \right|^2)_{xx}. \end{split}  \end{equation}  Burada $u$  birinci harmoniğin genliğe katkısını,  $\phi$ kuadratik etkileri göstermektedir.  $ \rho $ bağlantı katsayısını, $\nu$  kullanılan malzemenin (ortamın) yönlere bağımlılığını (anizotropisini) yansıtan sabiti göstermektedir. $ \rho0$ durumunda elektromanyetik dalgalar elde edilir. $\rho=0$ durumunda sistem NLS denklemine indirgenir. Yönetici denklemlere doyurulabilir doğrusal olmayan terim veya dış potansiyel (latis veya kafes) ekleyerek  kararlı çözümler elde etmek, literatürde bilinen bir yöntemdir. Son yıllarda, düzenli (kristal veya yarı kristal) potansiyeller kullanılarak elde edilen temel dipol ve çoklu (vorteks) solitonlarla ilgili çok sayıda çalışma yayınlanmıştır. Ayrıca karmaşık (kompleks) değerli (Parity Time Symmetric) potansiyellerin varlığında dalga çözümlerine önem verilmektedir. Kompleks değerli potansiyeller parite zaman ($\mathcal{PT}$) simetrik olarak tanımlanmaktadır. NLSM sistemi için bir dış potansiyelin (kafesin) varlığında çözümlerin incelendiği herhangi bir çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışmada, NLS denklemi ve NLSM sisteminin sayısal çözümleri çeşitli dış potansiyeller kullanılarak hesaplanmaktadır.  Kullanılan fiziksel sistemin yönetici modeli, bir dış potansiyel içeren NLSM Sistemi, \begin{equation} \label{} \begin{split}  iu_z  + \frac{1}{2}\Delta u + \left| u \right|^2 u-\rho\phi u-V(x,y)u = 0, \\ \phi_{xx}+\nu\phi_{yy}=(\left| u \right|^2)_{xx}.     \end{split}  \end{equation}  ile verilir. Burada $V(x,y)$  potansiyeli göstermektedir. Potansiyelleri elde etmek için kullanılan genel form \begin{equation}  \label{}  V(x,y)=\frac{{V_0 }}{{N^2 }}\left| {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {e^{i(k^n_xx+k^n_yy)} } } \right|^2  \end{equation} şeklindedir. Potansiyel derinliği $V_0$ sabiti ile belirlenmektedir. Dalga vektörü $(k^n_x,\, k^n_y)=[K cos(2\pi n/N),\,K sin(2\pi n/N)]$ ile tanımlanır. $N=2,3,4,6$ durumları periyodik potansiyelleri, $N=5,7$ durumları yarı kristal potansiyelleri elde etmek için kullanılır.  Çalışmanın ilk bölümünde NLS denklemi ve NLSM sistemleri asimptotik yöntemler kullanılarak elde edilmiştir.  Bu kısım, tezin sonraki bölümlerinde sayısal olarak elde edilen çözümlerin fiziksel karşılıklarını anlamamıza yardımcı olmuştur. Denklemler elde edildikten sonra soliton çözüm elde etmek için Ablowitz ve Musslimani'nin ortaya koyduğu Spektral Renormalizasyon (SR) yöntemi NLSM sistemine uyarlanmıştır. SR yönteminde, NLSM sistemi Fourier uzayında ele alınıp, $u(x,y,z) = f(x,y)e^{ - i\mu z}$ çözüm önerisi ile doğrusal olmayan terime göre bir yakınsama faktörü belirlenir. Bu çalışmada yakınsama koşulu $10^{-8}$ olarak alınmıştır. SR yöntemiyle soliton çözüm elde etmek için kullanılan Gaussian başlangıç koşulu aşağıdaki şekildedir. \begin{equation} \label{} w_0(x,y) = \sum\limits_{n = 0}^{M-1} {e^{ - A[(x + x_n )^2  + (y + y_n )^2 ] + i\theta _n } } \end{equation} Burada $x_n$, $y_n$ solitonların yerini, $\theta_n$ faz farkını, $M$ soliton sayısını (temel, dipol, çoklu) belirlemek için kullanılır. $A$ değeri, solitonu belirlenen yere odaklamak ve yakınsaklığı sağlamak için kullanılır. SR algoritması çalışmanın her aşamasında soliton çözüm elde ederken kullanılmaktadır. Elde edilen soliton çözümlerin doğrusal ve eğrisel kararlılık analizleri için kullanılan sayısal yöntemler ayrıca açıklanmıştır. Kararlılık analizi yapılmadan önce soliton gücü ($P$) ile kararlılığı arasındaki ilişkiyi ortaya koyan Vakhitov-Kolokolov (VK) kararlılık kriterleri açıklanmıştır. Güç ($P$) – özdeğer ($\mu$) analizi yapıldıktan sonra NLSM sisteminin ana denklemindeki mekansal türevler ($u_{xx}$ ve $u_{yy}$) sonlu farklar yöntemiyle doğrudan çözülüp solitonlar $z$ ekseni boyunca dördüncü dereceden Runge-Kutta yöntemiyle ilerletilerek solitonların eğrisel kararlılığının sayısal analizi yapılmıştır. Eğrisel kararlılık analizi yapılırken SR yöntemi ile elde edilen temel solitonun genliğine ve fazına $\%1$ gürültü (noise) eklenmiştir. Doğrusal kararlılık analizi için SR yöntemiyle elde edilen temel soliton pertürbe edilip çözüm etrafında doğrusallaştırılmıştır. Kullanılacak sayısal yöntemler açıklandıktan sonra ilk olarak NLSM sistemi için periyodik potansiyelin olduğu veya olmadığı durumlarda soliton çözüm elde edilebileceği gösterilmiştir. NLSM sisteminde yer alan parametrelerin ($\rho$, $\nu$) çeşitli değerleri için bant yapısı ve güç analizleri karşılaştırmalı olarak ortaya konmuştur.  SR yöntemi kullanılarak elde edilen bu temel solitonların doğrusal ve eğrisel kararlılık analizleri yapılmıştır. Potansiyelin olduğu ve olmadığı durumlarda temel solitonların doğrusal olarak kararsız oldukları belirlenmiştir. Sonrasında, potansiyelin olmadığı durumda elde edilen kararsız solitonların periyodik potansiyelin varlığında eğrisel kararlılığa sahip olabilecekleri ortaya konmuştur.  Ayrıca NLSM sisteminde elde edilen solitonların şekli (mod profili) ile kararlılığı arasındaki bağlantı gözlenmiştir. Potansiyelin var olduğu durumda kararsız olan solitonların daha derin potansiyel içindeki davranışları incelenmiş ve derin potansiyelin kararsız solitonları kararlı hale getirebileceği (veya çökmeyi geciktirebileceği) saptanmıştır. Bu bölümün sonunda NLSM sisteminde ikili (dipol) solitonlar elde edilmiş ve kararlılıkları incelenmiştir.  Sonraki bölümde, periyodik ve periyodik olmayan (düzensizlik içeren) potansiyellerin varlığında NLS denkleminin ikili (dipol) ve çoklu (vorteks) soliton çözümleri incelenmiştir. Boşluk düzensizliği (vacancy defect) içeren potansiyel ile sınır düzensizliği (edge dislocation) içeren potansiyel ayrı ayrı ele alınmıştır. Bu potansiyellerin maksimumlarına ve minimumlarına odaklanan ikili ve çoklu solitonlar elde edilmiştir. Maksimuma odaklanan tüm solitonların kararsız oldukları görülürken, minimuma odaklanan solitonların  belirli koşullar altında eğrisel kararlılığa sahip olabilecekleri ortaya konmuştur.  Elde edilen solitonların güç analizlerinden yola çıkarak kararlılık analizi sonuçlarının VK kararlılık kriterleri ile uyum içinde olduğu tespit edilmiştir. Sınır düzensizliği içeren potansiyelin daha güçlü bir düzensizlik yarattığı ve bu potansiyel için kararlı soliton elde etmenin boşluk düzensizliğine göre daha zor olduğu gözlenmiştir.  NLS denklemi için düzensiz potansiyellerin varlığında eğrisel olarak kararlı çözümler elde edildikten sonra NLSM sistemi için boşluk düzensizliği içeren potansiyelin varlığında temel, ikili ve çoklu solitonların elde edilebileceği ve bu soliton yapılarının belirli koşullar altında eğrisel kararlılığa sahip olabilecekleri gösterilmiştir. Bu analizlerden yola çıkılarak, boşluk düzensizlği içeren potansiyelin varlığında, NLS denklemi ve NLSM sisteminin bant yapıları ve soliton güçleri karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonucunda, ele alınan modellerin bant yapıları benzer olsa da soliton güçleri arasında önemli farklar olduğu görülmüştür. Çalışmanın son bölümünde karmaşık (kompleks) değerli ($\mathcal{PT}$-simetrik) potansiyellerin varlığında NLS denkleminin soliton çözümleri incelenmiştir. Burada periyodik $\mathcal{PT}$-simetrik potansiyel ile boşluk düzensizliği içeren $\mathcal{PT}$-simetrik potansiyelin varlığında temel solitonlar elde edilmiştir. Bu solitonların doğrusal kararlılıklarını test etmek için doğrusal tayfları (spektrumları) incelenmiştir. Eğrisel kararlılık analizleri iki durum için karşılaştırmalı olarak yapılmış ve her bir durum için solitonların kararsız oldukları görülmüştür. Karşılaştırma sonucunda boşluk düzensizliğinin olduğu durumda elde edilen solitonların ilerleme mesafelerinin periyodik potansiyel solitonlarına göre daha uzun olduğu (daha geç çöktükleri) tespit edilmiştir. Ayrıca potansiyel içindeki sanal kısmın derinliği arttıkça elde edilen solitonların ilerleme mesafelerin kısaldığı (daha hızlı çöktükleri veya patladıkları) saptanmıştır.     Tezin sonuç bölümünde, NLS denklemi ve NLSM sistemi için elde edilen sonuçlar özetlenmiş ve sonraki çalışmalar için öneriler ortaya konmuştur.
Nonlinear wave problems are of wide physical and mathematical interest and arise in a variety of scientific fields such as nonlinear optics, fluid dynamics, plasma physics, etc. The solutions of the governing nonlinear wave equations often exhibit important phenomena, such as stable localized waves (e.g., solitons) or self-similar structures and wave collapse (i.e., blow-up) where the solution tends to infinity in finite time or at finite propagation distance. Recently, wave collapse and the role of ground-state on global-existence theory are investigated for the Nonlinear  Schr\"odinger equation (NLSE) with Mean Terms (NLSM or Davey Stewartson Systems). It is found that NLSM collapse can be arrested by small nonlinear saturation. Another way of arresting wave collapse is adding an external potential (lattice) to the governing equation (model). In recent years, there has been considerable interest in the study of solitons that are generated by the NLSE with various type external lattices, in particular those that can be generated in nonlinear optical materials. On the other hand, NLSM systems with additional external potentials have not been studied in current literature yet. NLSM system with an external potential is given by  \begin{equation}  \label{} \begin{split}  iu_z  + \frac{1}{2}\Delta u + \left| u \right|^2 u-\rho\phi u-V(x,y)u = 0,  \\ \phi_{xx}+\nu\phi_{yy}=(\left| u \right|^2)_{xx}.     \end{split}  \end{equation}  where $u$ corresponds to the field associated with the first-harmonic,  $\phi(x,y,t)$ corresponds to the mean field, $\rho$ and $\nu$ are real constants that depend on the physical parameters, and $V(x,y)$ is an external optical potential.  The NLSE can be obtained from the NLSM system by simply setting $\rho=0$. The external optical potential $V(x,y)$ can be written as the intensity of a sum of phase-modulated plane waves \begin{equation}  \label{}  V(x,y)=\frac{{V_0 }}{{N^2 }}\left| {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {e^{i(k^n_xx+k^n_yy)} } } \right|^2  \end{equation} where $V_0>0$ is constant and corresponds to the peak depth of the potential, i.e., $V_0=max_{x,y}V(x,y)$, $(k^n_x, k^n_y)=[K cos(2\pi n/N),K sin(2\pi n/N)]$ is a wave vector. The potentials for $N=2, 3, 4, 6$ yield periodic lattices that correspond to standard $2D$ crystal structures, whereas   $N=5, 7$  correspond to quasicrystals. The lattice-free medium can be obtained by setting $V_0=0$. In this dissertation, we aim to investigate the existence and stability properties of solitons in the (2+1)-dimensional NLSE and NLSM system with various types of external lattices.  Chapter 2 describes the derivation of the NLSE and NLSM system by asymptotic methods. In Chapter 3, a numerical algorithm which is a modification of Spectral Renormalization (SR) method is given at the beginning. This algorithm will be used on each stage of the study to compute solutions of the models (NLSE and NLSM systems). Then, numerical methods for investigating the stability properties of solitons are explained. Chapter 4 is dedicated to the fundamental and dipole solitons in the NLSM systems. First we demonstrate the existence of solitons and, examine the stability properties of these solitons in the lattice-free medium. Then, we explain the effect of a periodic external potential as a collapse arrest mechanism in the NLSM system. The results of this part are considered as the main contribution to the thesis. Chapter 5 includes the multi-humped structures (dipoles and vortices) obtained in the NLSE with defective lattices. The NLSE is a special form of NLSM system. Therefore, understanding the dynamics of dipoles and vortices in the NLSE can be considered as a fundamental step for the NLSM systems. In Chapter 6, we present the fundamental and dipole solitons in the NLSM systems with a vacancy defect in the light of Chapter 5. Solitons in defective lattices have a significant importance in nonlinear science, this part of the study helps us to understand the effects of defects on the soliton properties in the NLSM systems.  Chapter 7 deals with the existence and stability properties of fundamental solitons in the (2+1)-dimensional NLSE with a defective $\mathcal{PT}$-Symmetric external potential.  Results of this dissertation are summarized in Chapter 8 where also a few ideas are outlined to further extend the research in this area.
Description: Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2016
Thesis (PhD) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2016
URI: http://hdl.handle.net/11527/14212
Appears in Collections:Matematik Mühendisliği Lisansüstü Programı - Doktora

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
10105290.pdf4.42 MBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.