Düşük Mertebeden Zaman Gecikmeli Sistemlerin Oransal Kontrolörler İle Kararlı Kılınması

Abstract

Bir sistemin girişine verilen bir işaretin etkilerinin, sistemin çıkışında belirli bir süre farkla gözlemlenmesi şeklinde kabaca tanımlanabilecek olan zaman gecikmesi, birçok fiziksel sistem için kaçınılamaz fiziksel bir olgudur. Bu olgu birçok nedenden meydana gelebilse de, bir kontrol sisteminde zaman gecikmesi, genellikle temelde sistemin kendi iç doğasından, kontrolör kaynaklı sebeplerden ve/veya sensörlerden meydana gelmektedir. Bir kontrol sisteminde zaman gecikmesi, özellikle miktarı arttıkça, sistem üzerinde yadsınamaz etkilere sahip olur. Bu etkilere iki bakış açısıyla yaklaşmak mümkündür; bunlardan birincisi, zaman gecikmesinin sistem üzerinde ne gibi etkilerinin olabileceğine dair sözel çıkarımlardır. İkincisi ve daha önemlisi ise, zaman gecikmesinin sistemler üzerindeki etkilerinin matematiksel anlamda incelenmesidir. Bu bağlamda, doğrusal zamanla değişmeyen (DZD) ve tek girişli tek çıkışlı (TGTÇ) sistemler ele alındığında, zaman gecikmesi bir kontrol çevriminin içinde yer aldığı takdirde; kapalı çevrimli sistemin kararteristik ifadesi bir polinom yerine polinomsu (quasipolynomial) ile ifade edilmektedir. Polinomsuların, polinomlardan en önemli farkı, sonsuz sayıda köke sahip olmasıdır; yani böyle bir durumda kapalı çevrimli sistemin kutup sayısı sonsuz olmaktadır. Belirtilen sistem çeşidinde de sistemin davranışı, kapalı çevrimli kutupların yerleriyle son derece ilişkili olduğundan, zaman gecikmesinin varlığı, sistemin tasarlanmasını güçleştirdiği gibi, sistemin davranışını analiz etmeyi dahi zorlaştırmaktadır. Bir kontrol sisteminden beklenen en önemli ve olmazsa olmaz kriterin kararlılık olduğu açıktır. Zaman gecikmesinin kararlılık üzerine etkileri de karmaşıktır: Nihai etkisi kararsız yapıcı yönde olsa da, zaman gecikmesi, kararsız bir sistemi kararlı da yapabilmektedir. Şöyle ki, belirli bir zaman gecikmesine sahip bir sistem, kapalı çevrimde kararsız iken, zaman gecikmesi artırıldığında, sağ yarı s düzlemindeki kutupları sol yarı s düzlemine geçerek kararlı hale gelebilmektedir. Ancak yine de belirtilmelidir ki, zaman gecikmesi belli bir düzeyin üstüne çıktığında sistem kararsızlığa gidecektir. Bu tezde amaçlanan temel husus, zaman gecikmesine sahip DZD ve TGTÇ sistemler için düşük mertebeli kontrolör tasarımına ilişkin literatüre katkı sağlamaktır. Bu bağlamda, bir tasarımcı için kıymetli bir bilgi niteliğinde olan “kararlılığı saylayan tüm kontrolör parametrelerinin belirlenmesi” konusuna yoğunlaşılmıştır. Buna ilaveten, proses endüstrisinde sıkça kullanılan ikinci mertebeden sistemler için zaman gecikmesinin yukarıdaki paragrafta değinilen kararlı yapıcı etkisinin hangi koşullarda ortaya çıktığı konusu araştırılmıştır. Bu bağlamda, tezde yapılan çalışmaların üzerine inşa edileceği bir kararlılık yönteminin benimsenmesi şarttır. Literatürde DZD ve TGTÇ sistemler için yapılan çalışmalar incelendiğinde, daha ziyade 3 temel yöntemin esas alındığı rahatça görülebilir. Bunlar sık kullanılandan seyrek kullanılana doğru sıralanacak şekilde; Hermite-Biehler Teoreminin polinomsular için genelleştirilmiş versiyonu, Nyquist Teoremi ve Direkt yöntemdir (direct method). Bunlardan ilki olan Hermite-Biehler teoreminin polinomsular için genelleştirilmiş versiyonu, adından da anlaşılabileceği gibi, meşhur Hermite-Biehler Teoreminin polinomsular için genelleştirilmiş biçimidir. Bu yöntem, literatürde en sık karşılaşılan yöntem olmakla birlikte, uygulanması uzun ve zahmetli adımlara sahiptir. Ayriyeten bu yöntem, belirli bir zaman gecikmesine sahip bir sistemin sadece o zaman gecikmesi değeri için kararlı olup olmadığını söyler; bu yöntemle kaç kapalı çevrim kutbunun sağ yarı s düzlemde yer aldığını tespit etmek kolay değildir. Yine bunlara ek olarak, zaman gecikmesi arttıkça veya azaldıkça sistem kararlılığının bundan nasıl etkileneceği, sağ yarı s düzlemindeki kutup sayısının değişip değişmeyeceği hususlarında veri elde edebilmek de oldukça güçtür. İkincisi ise meşhur Nyquist teoremidir. Sayıca Hermite-Biehler teoremi kadar olmasa da, bu yöntem üzerine inşa edilmiş çok sayıda çalışma literatürde mevcuttur. Bu teorem, karmaşık fonksiyonlardaki argümanlar ilkesine dayandığından, polinomsular için de doğrudan kullanılabilir. Gerek Nyquist eğrisinin reel eksene göre simetrik olması, gerekse çizilen Nyquist eğrisinin belli bir frekans değerinden sonra tahmin edilebilir olması nedeniyle, genellikle tüm frekans değerleri için Nyquist eğrisini çizmeye gerek olmamaktadır. Bu bağlamda Hermite-Biehler teoremine kıyasla genellikle daha hızlı sonuç veren bir yöntemdir. Üstelik belli bir zaman gecikmesine sahip bir sistem için, sistemin kararlı olup olmadığında ek olarak, o zaman gecikmesi değeri için kaç adet kapalı çevrim kutbunun sağ yarı s düzleminde olduğu da rahatlıkla belirlenebilir. Ancak zaman gecikmesi arttıkça veya azaldıkça, Nyquist eğrisi kestirilmesi zor bir şekilde değiştiğinden, zaman gecikmesinin değişimiyle sağ yarı s düzlemindeki kutup sayısının bundan nasıl etkileneceğini tahmin etmek bu yöntemle kolay olmamaktadır. Üçüncüsü ve diğer ikisine kıyasla literatürde çok daha az rastlanılan metodoloji ise, Walton ve Marshall’ın 1987’de literatüre kazandırdığı direkt metodudur. Bu yöntem ilgilenilen polinomsunun sadece belirli bir zaman gecikmesi için kararlılığının ne olacağını söylemekle kalmaz; zaman gecikmesi uzayını her bir parçası belli bir sayıda sağ yarı s düzlemi kutbu içerecek şekilde parçalara ayırır. Yani zaman gecikmesi uygun bir şekilde artırılarak, hangi gecikme değerleri için hangi yöne (sol yarı s düzleminden sağ yarı s düzlemine veya tam tersi) kök geçişi olacağı tek tek tespit edilir. Böylelikle zaman gecikmesi-sağ yarı s düzlemi kök sayısı arasında komple bir harita çıkarılır ve zaman gecikmesi değiştiği vakit, kararlılığın ve sağ yarı düzlemdeki kök sayısının bundan nasıl etkileneceği kolaylıkla anlaşılabilir. Bu tezde, belirtilen direkt yöntem baz alınarak öncelikli olarak birinci mertebeden sonlu sıfıra sahip zaman gecikmeli sistemler için, kararlılığı sağlayan tüm P tipi kontrolörlerin kümesi analitik olarak hesaplanmıştır. Birinci mertebeden tersi de nedensel (biproper) olarak anılabilecek bu sistemler, kesin nedensel kardeşleri kadar olmasa da, füze güdümleyici dinamikleri, polikromatik ve yüksek güçlü LEDlerin ısıl-elektriksel modelleri ve belirli koşullar altında robotların kuvvet dinamiğinin modellenmesinde tasarımcının karşısına çıkmaktadır. Tezde bu husuta elde edilen sonuçlar, frekans tanım bölgesinde modellenmiş DZD ve TGTÇ sistemler için literatürde yer almamaktadır. 2010 yılında yayınlanmış buna benzer olan tek çalışmada ise, sadece açık çevrim kararsız olan tersi de nedensel birinci mertebeden sistemler için kararlılığı sağlayan kontrolörler kümesi hesaplanmıştır. Bu tezde, bir önceki paragrafta belirtilen kararlı kılan kontrolör kümesine ek olarak, sistem sıfırının kararlılığı sağlayan kontrolör kümesine etkileri de açıkça ortaya konmuştur. Bu bağlamda, sistem sıfırı sağ yarı s düzleminde iken kararlılık kümesinin, sistem sıfırı sol yarı düzlemdeyken bulunan kararlılık kümesine kıyasla her zaman daha dar olacağı analitik olarak ispatlanmıştır. Ayrıca sadece açık çevrim kararsız sistemler için mevzu bahis olan, izin verilen en büyük zaman gecikmesi (maximum allowable time-delay) (İVEBZG) olarak adlandırılan hadisenin niçin ortaya çıktığı da ele alınmış, sistemin kutbunun ve sıfırının bir fonksiyonu biçiminde, analitik olarak elde edilmiştir. Bir başka deyişle, anılan açık çevrim kararsız sistemin, kapalı çevrimde bir P tipi kontrolörle kararlı kılınabilmesi için sistemin zaman gecikmesinin, değeri sistem sıfır ve kutbuyla dinamik olarak değişen İVEBZG’den küçük olması şarttır. Tezde elde edilen bir diğer sonuç ise, yine proses endüstrisinde sıkça karşılaşılan ikinci mertebeden sonlu sıfıra sahip olmayan zaman gecikmeli sistemlerle alakalıdır. Normalde iki kutbu da sağ yarı s düzleminde olan ikinci mertebeden zaman gecikmesine sahip olmayan bir sistem, bir P tipi kontrolörle kararlı kılınamaz. Ancak sistem zaman gecikmesine sahip olduğunda, ve zaman gecikmesinin sağ yarı s düzleminden sol yarı s düzleminde kutup geçirme özelliği bulunduğunda, bu kararlı kılma durumu mümkün olabilmektedir. Bu bağlamda, bu tip sistemlerin P tipi kontrolörle kararlı kılınabilmesi için gerek ve yeter koşullar türetilmiştir. Türetilen bu koşullardan hareketle, pozitif geri besleme konfigürasyonunun, negatif geribesleme konfigürasyonuna göre daha etkili olduğu saptanmıştır. Öyle ki, zaman gecikmesinin sol yarı s düzlemine kök geçirme özelliği bulunduğunda, sistem negatif geri besleme konfigürasyonunda iken bulunan bu gerek ve yeter koşullar sağlanmak zorunda değil iken, pozitif geribesleme konfigürasyonunda ise, gerek ve yeter koşulları sağlayan en az bir zaman gecikmesi-kontrolör ikilisi mevcut olacaktır. Bu bağlamda, her iki konfigürasyon için sistemi kararlı kılacak kontrolör kümesi de analitik olarak ayrı ayrı hesaplanmıştır. Ayriyeten, gerek ve yeter koşulların sonsuz bölge için sağlandığı özel bir durum olan 2. mertebeden zaman gecikmeli osilatör durumu da ele alınmış, bu yapılar için hem pozitif hem de negatif geri besleme altında, zaman gecikmesi-kontrolör düzleminde sonsuz adet kararlılık bölgesinin bulunduğu gösterilmiştir. Bu durumda, pozitif geribeslemenin etkinliği daha da açık bir şekilde görülmektedir. Ayrıca bu durum için bulunan sonuçlar, zaman gecikmesi üzerinde parametrik bir belirsizliğe sahip olan sistemler için de genişletilmiştir.

Time-delay, which can be loosely defined as the time lag between the input and the output of a control system, is almost an inevitable phenomenon for most of the physical systems. In control systems, this phenomenon may be caused by several factors; but the most general contributors are the intrinsic dynamics of the physical system itself, the controller, which is probably running a complex control algorithm, and/or the sensors which needs time to analyze the data. When the effects of the time-delay to the system is analyzed, its effects become nonnegligible, especially when the amount of the time-delay gets larger. To understand and explain the effects of the time-delay on the control systems; two approaches can be adopted: verbal explanations of the possible effects of the time-delay on the system and the explanation of the effects by means of the mathematics. In this way, the focus will be given to the mathematics: When a linear time invariant (LTI) and a single input single output (SISO) system is considered, the closed loop structure no longer forms a polynomial: when time-delay is inside the control loop, the closed loop structure forms a quasipolynomial. The main difference between a polynomial and a quasipolynomial is that the latter has infinite number of roots; implying that the related closed-loop system possess infinite number of closed-loop poles. Since the behavior of a LTI-SISO system is strongly related with the location of the closed-loop poles; the existence of the time-delay complicates the design process of a control system, even it complicates the analysis of it. As expected, the first and the foremost important criterion of a control system is the stability. As on the other criteria, the effects of time-delay on the stability criterion is rather complicated. Even if this effect is finally in the destabilizing way, time-delay may be sometimes stabilizing, as well. That is; if a system is unstable for a specified value of time-delay, it may become stable when the time-delay is increased. Nevertheless, it should be mentioned that, the system becomes unstable eventually, when the time-delay is increased. In this thesis, the main aim is to contribute to the literature about the low order controller design issues for LTI SISO time-delay systems modeled in the frequency domain. In this way, it is focused on the concept of the analytical determination of all stabilizing controller parameters; which is an invaluable information for the designer. Additionally, second order time-delay systems, which is generally utılized in process industry to approximately model the physical systems, are taken into account, and it is investigated that under which circumstances the stabilizing effect of the time-delay emerges. As might be expected, in order to construct such kind of studies, it is necessary to decide the suitable stability analysis methodology as the basis. In the works about LTI SISO time-delay systems in the literature, it can be observed that three distinct stability methods are usually employed: Hermite-Biehler Theorem for Quasipolynomials, Nyquist Theorem and the Direct Method. The first and the most frequently used one, Hermite-Biehler Theorem for Quasipolynomials is the generalized version of the well-known Hermite-Biehler theorem for quasipolynomials. This methodology has quite long steps which are tedious to apply. Moreover, this method tells only the system is stable or not, for a fixed value of time-delay. In other words, using this method, it is hard to determine the number of right half s plane closed loop poles. Furthermore, it is hard to detect the effect of varying the time-delay on stability and on the number of right half s plane closed loop poles. The second frequently used one is the well-known Nyquist theorem. As this theorem is based on the principles of argument on complex functions, it can be used for quasipolynomials as it is, without any further modifications. In general, plotting the entire Nyquist plot is unnecessary; since the plot is symmetric for negative frequencies about the real axis and since the plot is generally predictable for sufficiently great frequencies. These facts greatly facilitates to construct the whole shape of the plot; thus resulting in a more easy to apply and faster methodology than the Hermite-Biehler Theorem offers. Moreover, in addition to assessment of the stability for a fixed time-delay, the number of the right half s plane closed loop poles can be determined using Nyquist Theorem. However, when the time-delay varies, it is difficult to determine the change in the number of the right half plane poles, due to the unpredictable changes of the Nyquist plot. In other words, in most of the cases, the Nyquist plot must be plotted again, should the time-delay be changed. The third and the most rarely employed one is the direct method, which is proposed by Walton and Marshall in 1987. This methodology not only tells the stability of the closed-loop system for a fixed value of the time-delay, but also divides the delay space into intervals for which the number of the right half s plane roots is fixed. That is, the entire delay space is detected by increasing the delay value, and it is tracked for which values of the time-delay a root pair crosses the imaginary axis along with the direction of the crossing (left to half or vice versa). Therefore, a complete map is constructed between the delay space and the number of the right half s plane closed-loop poles. This fact also implies that, the relation between the variations of the time-delay and the number of the right half s plane closed-loop poles can easily be obtained. In the proposed thesis, first of all, the frequently employed stability methods are compared concisely. Then in order for the reader to follow the thesis easily, a brief overview about the direct method is given. Then the methodology is applied to two different systems as examples in order to dispel any confusions and/or obscurations. Then by taking the direct stability method as the basis, all stabilizing P type controllers are analytically determined for first order biproper systems with time-delay. Even though they have not a widespread application area compared to the strictly proper ones, biproper first order transfer functions can be utilized to approximately model the seeker dynamics in the autopilot mechanism of the missiles, the thermal-electric model of the polychromatic and the high power LED luminaries and the force dynamics of the robots under particular circumstances. When the results obtained in the thesis about such kind of systems are considered, it can be contentedly mentioned that they do not exist in the literature for LTI SISO systems modeled in the frequency domain. In a study proposed in 2010 a similar problem is covered, but only the open-loop unstable plants are taken into consideration there. In addition to analytically determination of the all stabilizing set, the effects of the zero of the plant to this stabilizing set is clearly investigated. In this way, when the zero of the plant is on the right half plane, the stabilizing set always results in a narrower set, when compared to the case where the zero of the plant is on the left half plane. Moreover, the fact of maximum allowable time delay (MATD), which is only the case for the open-loop unstable plants, is investigated and clearly interpreted why this phenomenon occurs only for open-loop unstable plants. Additionally, MATD is explicitly expressed as a function of the location of the zero and the pole of the plant. To state succinctly, the value of the time delay must be smaller than the MATD, in order for the plant to be stabilized by a P type controller. Another result obtained in this thesis is about the second order systems without a finite zero with time-delay, which is frequently used to approximately model most of the processes in the industry. As might be expected, any second order system possessing two right half s plane poles cannot be stabilized by a P type controller, when the system does not include a time-delay. However, when the system possesses a time-delay, and when the time-delay has the effect of passing the poles from right half s plane to left half s plane, such a stabilization becomes possible. In that way, first of all it is clearly expressed under which circumstances the time-delay has the effect of passing the poles form right to left and the sufficient condition is analytically derived. This condition, indeed, is related with the relative distance of the right half plane poles of the system to the imaginary axis. After that the necessary and sufficient conditions are derived for such kind of systems to be stabilized by a P type controller. While this derivation process, it is proved that, positive feedback configuration has much more stabilizing effect than the negative feedback configuration, which is an astonishing result under normal circumstances. In other words, the necessary and sufficient conditions for stabilizability are always satisfied for positive feedback configuration; whereas this satisfaction does not necessarily hold for negative feedback configuration. That is, if the time delay has the effect of passing the poles from right half s plane to the left half s plane, then employing a positive feedback configuration, a stabilizing delay-controller pair is guaranteed to be found, which is not the case for the negative feedback configuration. Additionally, the all stabilizing P type controller sets for both cases are derived analytically under the assumption that the necessary and the sufficient conditions for stabilizability are satisfied. Moreover, the second order oscillators, for which the necessary and the sufficient conditions are satisfied for k∈N, are taken into account, and all stabilizing P controllers are derived for each of the positive-negative feedback case. In this derivation, it is evidenced that the stabilizing regions in the delay-controller plane is infinite, and it is also proved that a stabilizing controller set can be always found, whatever the delay value is; except some distinct points in the delay space. In this special type second-order systems, the superiority of positive feedback effect against negative feedback is better shown. Additionally, the results are extended to the case, for which the oscillator has an uncertain time-delay.