Kozmolojik Sabitli Dönen Silindirik Simetrik Elektrovakkum Uzayları

Abstract

Bu çalışmada M.M. Som ve N.O. Santos'un "Cylindrically Symmetric Stationary Fields In General Relativity - (Genel Görelilikte Durağan Silindirik Simetrik Alanlar)" (1978) başlıklı makalesindeki elektromanyetik alana sahip dönen silindirik simetrik denklemlerin çözümlerinin kozmolojik sabit varlığında genelleştirilmesi incelenmiştir. Bu amaçla, öncelikle literatürdeki kozmolojik sabitin olmadığı durumda kullanılan yöntemler incelenmiş ve çözümler elde edilmiş, ardından kozmolojik sabitin olduğu durumda yeni metrik çözümleri bulunmuştur. Tezin giriş bölümünde durgun ve dönen silindirik simetrik metrikler genel hatlarıyla ele alınmıştır. Bunun yanı sıra, literatürde daha önce elde edilmiş olan silindirik simetrik metrik çözümleri özetlenmiştir. Tezin ikinci bölümünde, Som ve Santos'un makalelerinde (1978) tanımlanan ve iki farklı çözümü verilen, dönen silindirik simetrik elektro-vakum (fon uzayında boşluk elektromanyetik alan denklemlerini sağlayan) alanı temsil eden metriği kozmolojik sabitin olmadığı durumda ele alınmıştır. Bu metriğe ait elektro-vakum çözümleri için literatürdeki yöntemler ayrıntılı olarak incelenmiş ve çözümler elde edilmiştir. Bu yöntemler; T. Lewis'in "Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravitational Fields (Eksensel Simetrik Kütleçekimsel Alan Denklemlerinin Bazı Özel Çözümleri)" başlıklı makalesinde (1932) bu çalışmada ele alınan metriğin boşluk çözümlerini elde etmekte kullandığı ve B.K. Datta ve A.K. Raychaudhuri'nin "Stationary Electromagnetic Fields in General Relativity (Genel Görelilikte Durağan Elektromanyetik Alanlar)" başlıklı makalesinde (1968), aynı metriğin elektro-vakum çözümlerinin elde edilmesinde kullandığı yöntemlerdir. Üçüncü bölümde, dönen silindirik simetrik madde için kozmolojik sabitli elektro-vakum çözümleri iki farklı uzunluk elemanı için sunulmuştur. Öncelikle ikinci bölümde incelenen metrik ele alınarak özel bir çözüm grubu elde edilmiştir. Diğer yandan, alan denklemleri incelendiğinde, kozmolojik sabit eklenmesinin Lewis varsayımını geçersiz kıldığı görülmüştür. Bu nedenle, Lewis varsayımının geçerliliğinin kozmolojik sabit varlığında korunup korunmayacağını incelemek amacıyla silindirik simetrik dönen elektro-vakum uzayı için daha genel bir metrik gözönüne alınmış ve alan denklemleri elde edilmiştir. Bu genelleştirmenin sonucunda Lewis varsayımının kullanılabileceği gösterilmiş ve bu varsayım kullanılarak özel bir çözüm grubu elde edilmiştir. Çalışmamızdaki hesapları Mathematica programlama dili ile kontrol ederek kodları ekte daha sonra bu konuda çalışmak isteyenlere yardımcı olması düşüncesiyle verdik.

Regarding observations, homogeneous and isotropic properties of the space direct us to investigate spherical symmetric solutions of the field equations and therefore, in literature, spherical symmetric solutions of Einstein's theory of relativity are the most studied ones. Spaces with cylindrical symmetry which have translational symmetry and rotational symmetry about that axis are paid less attention. Cosmic strings, cylindrical black strings, charged and rotating cosmic string solutions are some examples of these type of metrics having singularity along the symmetry axis. In this thesis we study electro-vacuum cylindrically symmetric stationary spaces in the presence of cosmological constant. In the article "Cylindrically Symmetric Stationary Fields in General Relativity", M.M. Som and N.O. Santos (1978) studied electro-vacuum cylindrically symmetric stationary spaces, here we generalize the field equations to include cosmological constant. Following the method given in Lewis (1932), B.K. Datta and A.K. Raychaudhuri (1968) and M.M. Som and N.O. Santos (1978), we linearize metric components and solve the field equations for electro-vacuum source. In the first chapter we give definitions of general static and stationary cylindrical symmetric metrics and give some well known examples having these properties that is, all metric components are radial functions only. In chapter 2, by considering rotating cylindrical space for electro-vacuum source, we give in detail the method used in "Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravitational Fields" by T. Lewis (1932) and "Stationary Electromagnetic Fields in General Relativity" by B.K. Datta ve A.K. Raychaudhuri (1968). In those papers, it is assumed that there is a linearity between some components of the metric and Weyl-like canonical coordinates are introduced for those components. Chapter 3 is devoted to find and present new solutions of the field equations considered in chapter 2 including cosmological constant. Here, we first keep all rules of the articles mentioned above and try to solve the field equations. We show that introducing Weyl-like canonical coordinates is impossible in the presence of cosmological constant. On the other hand, a metric solution is found by using the linearity condition. In the second approach, we extend the line element with an extra function, so that the field equations become compatible and the system is now solvable. Regarding all conditions used in the articles cited above, we find another metric solution. We see that our new found solutions have singularities on the symmetry axis and that the first metric can be written in a conformal factor.