Nano Gaz Transportunda Kuantum Ölçek Etkileri

Abstract

Yarıiletken teknolojilerinde kullanılan mikro fabrikasyon tekniklerinin gelişimi, yeni fiziksel etkilerin ortaya çıktığı mikro/nano boyutlarda sensörler, aktuatörler, tıbbi cihazlar, güç üreten mikro makineler, ısı değiştiricileri, pompalar, valfler, mikro-nano pipetler ve mikro iticilerin üretilmesini de mümkün kılmıştır. Klasik ölçeklendirme yaklaşımında sistemin özelliklerinin ve fiziksel sabitlerin ölçeklendirmeden bağımsız olduğu kabul edilir. Bununla beraber, sistemin karakteristik uzunluğu sistemi kontrol eden mekanizmaya ait karakteristik uzunluğa yaklaştığında bu varsayım geçerliliğini yitirir ve parçacığın dalga karakteri önem kazanır. Bu nedenle nano boyutlardaki sistemlerde var olan farklı ölçek etkileri nedeniyle gazların transport davranışları makro ölçektekilerden oldukça farklıdır. Mikro/nano sistemlerde termodinamik denge durumunda dahi yoğunluk dağılımı homojen olmayıp sınırlarda yoğunluğun sıfıra gittiği bir sınır tabaka oluşmaktadır. Bu tabaka, kalınlığı Planck sabiti ile orantılı olduğundan kuantum sınır tabakası olarak adlandırılır. Kuantum sınır tabakası sebebiyle gaz parçacıkları geometrik hacmi değil ondan daha küçük olan etkin (efektif) bir hacmi doldururlar. Parçacıkların dalga karakteri nedeniyle sınırlar ile parçacıklar arasında yerel olmayan itici bir etkileşme vardır. Bu yüzden parçacıklar domenin iç bölgelerinde toplanırlar ve bunun sonucu olarak da iç bölgelerdeki yoğunluk klasik yoğunluktan daha yüksek olur. Kuantum sınır tabakasının kalınlığı parçacıkların termal de Broglie dalga boyu mertebesinde olup bu mertebe karakteristik bir uzunluk tanımlar. Bu nedenle, sistemin boyutları kuantum sınır tabakası ile karşılaştırılabilir olduğunda kuantum ölçek etkileri sistem üzerinde etkin olur. Ayrıca sınırlar ile parçacıklar arasındaki yerel olmayan etkileşme sebebiyle parçacıklar sınırları termal de Broglie dalga boyu mesafesinde hissederler. Bundan dolayı, parçacıkların gördükleri potansiyel dalga karakterine sahip olmayan klasik parçacıkların gördükleri potansiyelden farklıdır. Bu fark klasik potansiyele etkin kuantum potansiyel olarak adlandırılan diğer bir potansiyelin eklenmesiyle ifade edilebilir. Etkin kuantum potansiyel yaklaşımında, klasik dağılım fonksiyonu, etkin kuantum potansiyelin ilave edilmesiyle kuantum dağılım fonksiyonu ile yer değiştirilir. Böylece, yerel yoğunluk üzerindeki kuantum etkiler etkin kuantum potansiyel yardımıyla modellenir. Çoğu tersinmez süreçte akılar sürücü kuvvetler ile lineer ilişkili olarak yazılabilir. Aynı anda birden fazla sürücü kuvvetin var olduğu bir sistemde bileşik transport söz konusu olur ve bir sürücü kuvvet birden fazla transportun sürücü kuvveti olarak işlev görür. Örneğin sıcaklık gradyeni sadece ısı transferine yol açmaz aynı zamanda difüzyona da yol açar. Sürücü kuvvetlerin bu tür ikincil etkileri çapraz etkiler olarak adlandırılır. Özellikle nano sistemlerde, gaz moleküllerinin ortalama serbest yolu sistem boyutları ile karşılaştırılabilir olduğundan çapraz etkiler ihmal edilemez ve bileşik transport önem kazanır. Makro sistemlerde ise direkt sürücü kuvvetler transport üzerinde baskın olduğundan çapraz etkiler ihmal edilirler. Sonuç olarak, nano ölçekte kuantum ölçek etkilerinin hem direkt hem de çapraz transport katsayıları üzerindeki etkilerinin araştırılması önem kazanmaktadır. Bu çalışmada; dikdörtgen transport geometrisi için relaksasyon zamanı yaklaşımı altında Boltzmann transport denklemi kullanılarak Maxwellian, Fermi ve Bose gazlarının direkt ve çapraz transport katsayıları hem kuantum ölçek etkisi dikkate alınmadan hem de kuantum ölçek etkisi dikkate alınarak çıkarılmıştır. Parçacık-parçacık ve parçacık-duvar çarpışmaları sonucu meydana gelen transport süreçleri ayrı ayrı incelenmiştir. Parçacık-duvar çarpışmaları sonucu meydana gelen transport süreçlerinde transport katsayıları üzerindeki kuantum ölçek etkilerinin, parçacık-parçacık çarpışmaları sonucu meydana gelen transport süreçlerindekilerden daha güçlü olduğu görülmüştür. Direkt (iletim, difüzyon ve termal iletkenlik) ve çapraz (Soret, Peltier ve Dufour) transport katsayıları 1, 2 ve 3 boyutlu dikdörtgen geometrilerde Maxwellian, Fermi ve Bose gazları için çıkarılmış ve D boyutlu dikdörtgen geometriler için genelleştirilmiştir. Kuantum ölçek etkisi ihmal edildiğinde, kuantum dejenerasyonunun transport katsayıları üzerindeki etkileri ayrıca incelenmiştir. Transport katsayıları üzerinde kuantum ölçek etkileri hem klasik hem de dejenere durumlarda incelenmiştir. Genel olarak, Fermi gazında artan dejenerasyonla transport katsayıları üzerinde kuantum ölçek etkilerinin azaldığı, bununla beraber Fermi gazındaki bu durumun tersine Bose gazında ise kuantum ölçek etkilerinin arttığı görülmüştür. Ayrıca, transport katsayılarında kuantum ölçek düzeltmeleri ile termal düzeltmelerin yanı sıra bileşik bir düzeltme olarak termo-ölçek düzeltmeleri de ortaya çıkmıştır. Evrensel Wiedemann-Franz yasasının kuantum ölçek etkileri nedeniyle evrenselliğini kaybettiği gösterilmiştir. Sonuç olarak, hem direkt hem de çapraz etkilere ait transport katsayıların kuantum ölçek etkileri nedeniyle transport domeninin ölçek ve geometrisine bağlı olduğu görülmüştür. Bu sebeple domenin şekli ve ölçeği transport süreçleri üzerinde ilave bir kontrol parametresi olmaktadır. Bu kontrol parametreleri kullanılarak yeni transport süreçleri tanımlanabilir ve kuantum ölçek etkilerini kullanan yeni mikro ve nano makineler dizayn edilebilir.

Fabrication of micro and nano electromechanical systems have led to the possibility of small scales devices such as, sensors, actuators, biomedical devices, pumps, propulsion system and micro engines for power generation with new physical effects. Classic scaling approaches generally assumes that physical constants or material properties remain independent of the scale. However, this assumption breaks down when the length scale of the system approaches to the characteristic length scale of the mechanism that controls the property of interest and the wave character of gas particles is taken into account. Therefore, transport behavior of gases confined in nano scale is considerably different than that in macro scale due to different kinds of size effects. In nano systems, even at thermodynamic equilibrium, density distribution is not uniform and there is a boundary layer near to the boundaries where the density goes to zero. This layer is called quantum boundary layer since the thickness of the layer is proportional to the Planck?s constant. Due to quantum boundary layer, gas particles fill an effective volume which is less than the geometric one. Due to wave character of particles, there is a non-local repulsive interaction between boundaries and particles. Therefore particles tend to accumulate in the inner part of the domain and it causes a higher local density than the classical one for the interior regions. Thickness of this boundary layer is in the order of thermal de Broglie wavelength of the particles and it defines a characteristic length scale. Therefore, quantum size effects appear when the size of the domain becomes comparable with the thickness of the boundary layer. Due to non-local interaction between boundaries and particles, particles feel the boundaries when the distance is on the order of thermal de Broglie wave length. Thus, the potential acting on the wave-like particles is different than the potential acting on the particle-like ones. This difference can be represented by adding an effective quantum potential to the classical one. In an effective potential approach, one replaces the quantum distribution function by a classical distribution function with a modified potential. Thus, all the quantum effects on local density are modeled through the effective quantum potential. In most irreversible processes, there is a linear relation between fluxes and driving forces. If two or more driving forces affect the system simultaneously, coupled transport occurs and each driving forces drive more than one transport processes. For example, temperature gradient causes not only heat transport but also causes diffusion. The secondary effects of the driving forces are called cross effects. Especially in nano scale, when the mean free path of gas molecule becomes comparable to system dimensions, cross effects can not be neglected and coupled transport become important. In macro systems, only self effects dominate on the transport processes while the cross effects are negligible. Consequently, in nano scale, it is important to examine the quantum size effects on the transport coefficients of both self and cross effects. In this study, self and cross transport coefficients in the rectangular transport domains are derived for Maxwellian, Fermi and Bose gases with quantum size effects by using Boltzmann transport equation under the relaxation time approximation. The particle-particle and particle-boundary collisions based transport processes are examined individually. In case of particle-boundary collision dominated transport regime, it is shown that quantum size effects are stronger in comparison with those in particle-particle collision dominated one. Self (conductivity, diffusion and thermal conductivity) and cross (Soret, Peltier and Dufour) transport coefficients are derived and generalized for Maxwellian, Fermi and Bose gases confined in a D dimensional rectangular transport domain and they are studied for 1, 2 and 3 dimensional cases. The effects of the quantum degeneracy on the transport coefficients without size effects are also analyzed. Quantum size effects on the transport coefficients are examined under both classical and degeneracy conditions. In general, it is observed that quantum size effects on transport coefficients decrease for Fermi gas and increase for Bose gas with the increase of degeneracy. Besides the quantum size and thermal corrections on transport coefficients, thermo-size corrections are appeared in nano scale. Furthermore, it is shown that the universal Wiedemann-Franz law loses its universality in nano scale due to quantum size effects. Consequently, it is shown that both self and cross transport coefficients depend on size and geometry of the transport domain due to quantum size effects. Therefore, shape and size of the domain become additional control parameters on the transport processes. Because of these control parameters, new transport processes can be defined and new micro and nano engines can be designed by using the quantum size effects.