Berry Ayar Alanları Cinsinden Dirac Sistemleri Ve Bir Topolojik Yalıtkanın Efektif Alan Kuramı

Abstract

Berry ayar alanları cinsinden Dirac sistemleri ve zaman tersinmesi altında değişmez bir topolojik yalıtkanın etkin alan kuramı incelenmiştir. Dirac sistemleri ya da diğer bir ismi ile Dirac-benzeri sistemler, kütleli ve ya kütlesiz Dirac Hamilton fonksiyonu ile betimlenen yoğun madde sistemleridir. Tezde incelenen Dirac sistemleri zaman tersinmesi altında değişmez kalan topolojik yalıtkanlardır. Topolojik yalıtkanlar, iç kısımlarında yalıtkan olmalarına rağmen iletken kenar durumlarına sahip olan ve topolojik değişmezler ile karakterize edilen sistemlerdir. \\ Maddenin simetri kırılması ile sınıflandırılması bilinmektedir. Katı-sıvı- gaz sistemleri öteleme simetrisinin kırılması ile, manyetik malzemeler, dönme simetrisinin kırılması ile ve süperiletkenlik ayar simetrisinin kırılması ile betimlenmektedir. Topolojik yalıtkanın betimlemesi simetri kırılması ile verilememektir ve böylece topolojik yalıtkan, topolojik olarak betimlenen maddenin yeni bir fazı olarak ortaya çıkmıştır. Sıradan yalıtkan topolojik olarak bakıldığında trivial bir yapıda olmasına rağmen topolojik yalıtkan trivial olmayan bir yapıdadır. Topolojik yalıtkan kavramının ortaya çıkması esas olarak kuantum Hall olayının topolojik bir faz olduğunun anlaşılması ile başlamıştır. \\ Klasik Hall olayında dış bir manyetik alan içerisinde ilerleyen yüklü parçacıklar, manyetik alana ve ilerleme yönüne dik bir elektrik alan ve yük akımı oluştururlar. Oluşan yük akımı ile dik elektrik alanın oranı Hall iletkenliği ile verilir. Hall iletkenliği, dış manyetik alan ile sürekli ve doğru orantılı olarak artar. İki boyutlu etkileşmeyen elektron sisteminde düşük sıcaklık ve yüksek manyetik alan altında meydana gelen kuantum Hall olayında ise kuantum Hall iletkenliği $\frac{e^2}{h} \ '$ nin tamsayı katları olacak şekilde kuantize değerler almaktadır. Enine iletkenlikteki bu kuantizasyon $10^9$ mertebesinde hassastır. Safsızlıklardan etkilenmemektedir. Kuantum Hall sisteminin oluşumu herhangi bir simetri kırılması ilkesi ile verilememiştir. Kuantum Hall iletkenliğini betimleyen kuantize tamsayının topolojik bir değişmez olduğunun gösterilmesi ile beraber kuantum Hall sistemi topolojik fazların ilk örneği olarak ortaya çıkmıştır. Topolojik değişmezler, ilgili topolojik uzaya ait olan ve sürekli deformasyonlar altında değişmez kalan sayılardır. Kuantum Hall olayının, topolojik fazların ilk örneği olarak ortaya çıkması ile yoğun madde sistemlerinin incelenmesinde geometri ve topoloji önem kazanmaya başlamıştır. İki boyutlu bir sistem olan grafen yapraklarında yük taşıyıcıların etkin olarak kütlesiz Dirac denklemini sağladığının gösterilmesi de bu gelişmede önemli bir aşama olmuştur. Zira, Dirac Hamilton fonksiyonunun topolojik özellikleri, yankı uyandıran bu gelişmeler olduğunda halihazırda önemli bir araştırma konusuydu. Berry ayar alanları, Dirac Hamilton fonksiyonu ile betimlenen yoğun madde sistemlerinin topolojik yapısını incelemek için kullanılmıştır. Berry ayar alanından elde edilen Berry eğriliği topolojik bir değişmez olan Chern sayısının hesaplanmasını sağlar. Zaman tersinmesine sahip bir topolojik yalıtkanın Chern sayısı sıfırdan farklı çıkmaktadır. \\ Teorik altyapıyı oluşturmak icin öncelikle graphene üzerindeki kütlesiz $2+1$ boyutlu Dirac Hamilton fonksiyonunun çıkarımı verilmiştir. En yakın komşu etkileşmesi içeren sıkı bağlanma Hamilton yoğunluğundan başlayarak, Dirac noktaları etrafında ve sürekli limitte kütlesiz $2+1$ boyutlu Dirac Hamilton fonksiyonu elde edilir. Grafen, karbon atomlarından oluşan iki boyutlu altıgen bir örgü yapısına sahiptir. Altıgen Brillouin bölgesinin kenar noktaları Dirac noktaları olarak adlandırılır. Grafenin kuramsal açıdan önemi, enerji dağınım bağıntısının Dirac noktaları civarında lineer olması ve bu noktalar civarında yapılan yaklaşıklık ile elektronların grafen üzerinde etkin olarak $2+1$ boyutlu kütlesiz Dirac denklemini sağlamasıdır. Foldy-Wouthuysen dönüşümü, Dirac Hamilton fonksiyonunu köşegenleştirmeye yarayan bir dönüşümdür. Foldy-Wouthuysen dönüşümü kullanılarak bir ayar alanı tanımlanabilir. Bu saf bir ayar alanıdır ve ilgili eğrilik özdeş olarak sıfırdır. Foldy- Wouthuysen dönüşümü ile edilen ayar alanının pozitif enerji özdurumları üzerine izdüşümü alınırak Berry ayar alanı ve Berry ayar alanı kullanılarak ilgili Berry eğriliği tanımlanır. Bu şekilde Berry ayar alanı ve Berry eğriliği herhangi bir boyutta tanımlanabilir. $2+1$ boyutta Berry eğriliğinin entegrali birinci Chern sayısını verir. $4+1$ boyutta Berry eğriliği uygun bir şekilde entegre edilerek ikinci Chern sayısı elde edilir. \\ Dirac-benzeri denklem sağlayan fiziksel sistemler için kuantum spin Hall etkisinin incelemesi yarı klasik bir formulasyon ile yapılmıştır. Bu incelemede diferansiyel formlar kullanılmıştır. Kullanılan yarı klasik formulasyonda, klasik faz uzayı değişkenleri olan konum ve momentum dinamik serbestlik değişkenleri iken spin dinamik bir serbestlik derecesi olarak alınmamıştır. Spin, kullanılan yarı klasik formulasyonun matris değerli büyüklükler içermesinde kendini göstermektedir. Herhangi bir boyutta Dirac denkleminin pozitif enerji çözümleri kullanılarak kurulan dalga paketi yoluyla dalga paketinin dinamiğini betimleyen 1-form elde edilmiştir. Bu 1-form kullanılarak herhangi bir boyuttaki simplektik 2-form elde edilmiştir. $2+1$ boyutlu simplektik 2-form ve Liouville denklemi kullanılarak, yarı klasik hareket denklemleri elde edilmiştir. Bu hareket denklemlerinin yardımıyla, faz uzayı ölçüsü, konum ve momentumun zaman evrimleri için klasik faz uzayı değişkenleri konum ve momentum cinsinden yarı klasik denklemler elde edilmiştir. Spin Hall akımı faz uzayı ölçüsü ve konumun zaman evrimi ile tanımlanmıştır. Formulasyon, anomal kuantum Hall etkisi, Rashba spin yörünge etkileşmesi içeren ve içermeyen Kane-Mele modeli üzerinden örneklenmiştir. Rashba spin yörünge etkileşmesi içeren ve içermeyen Kane-Mele modeli örneklerinde kuantum seviyesinde spinin korunup korunmadığından bağımsız olarak spin Hall iletkenliğine gelen temel katkının spin Chern sayısı ile verildiği gösterilmiştir. Spin Chern sayısı, yukarı spin taşıyıcıları ile ilgili Chern sayısı ile aşağı spin taşıyıcıları ile ilgili Chern sayısının farkının yarısı olark tanımlanır. \\ Kane-Mele modeli, zaman tersinmesi simetrisine sahip $2+1$ boyutlu içsel spin yörünge etkileşmesi içeren grafen modelidir. Bu teorik model, grafende spin yörünge etkileşmesi sayesinde spin Hall olayının gerçekleşebileceğini öngörmektedir. Kane-Mele modeli, zaman tersinmesi simetrisine sahip topolojik yalıtkanların ilk örneğidir. Matematiksel olarak, spin yörünge etkileşmesi Dirac Hamilton yoğunluğunda kütle benzeri bir terim olarak ortaya çıkmıştır. Bu kütle benzeri terim Dirac noktaları için ters işaretli olarak gelmektedir. Ayrıca her Dirac noktasında, yukarı spin taşıyıcıları ve aşağı spin taşıyıcıları için iki ayrı Hamilton fonksiyonu mevcuttur. Spin yörünge teriminin yol açtığı enerji aralığını geçen kenar durumları kuantum spin Hall olayının oluşmasını sağlar. Kuantum spin Hall iletkenliği, topolojik olarak korunan kenar durumları vasıtasıyla taşınan ters spin akımlarının zıt yönlü ilerlemesi ile gerçekleşmektedir ve sistemin Hamilton yoğunluğunun zaman tersinmesi simetrisine sahip olmasını gerektirmektedir. Bu model, grafendeki içsel spin yörünge etkileşmesinin çok küçük olmasından dolayı fiziksel olarak gerçeklenebilir olmamasına rağmen, zaman tersinmesi altında değişmez kalan topolojik yalıtkanların teorisinin oluşmasını sağlamıştır. Kane-Mele modeli için Foldy-Wouthuysen dönüşümleri kullanılarak Berry ayar alanı ve ilgili Berry eğriliği hesabı yapılmıştır. Ayrıca Rashba spin yörünge etkileşmesi içeren Kane-Mele modeli incelenmiştir. Rashba spin yörünge etkileşmesi ilgilenilen spin yönündeki korunumunu bozar. Sadece içsel spin yörünge etkileşmeli Kane-Mele modelinden en büyük farkı budur. Rashba spin yörünge etkileşmesi içeren Kane-Mele modeli için hem enerji özdurumları bazında hem de ilgilenilen spin bileşeninin özdurumları bazında Berry ayar alanı hesabı ve ilgili Berry eğriliği hesabı yapılmıştır. Bu model için, ilgilenilen spin bileşeninin köşegen olduğu bazda Berry eğriliği de köşegendir. Dolayısıyla spin Hall iletkenliği hesaplanabilmiştir. Kullanılan yarı klasik formulasyon ile, $2+1$ boyutta spin Hall iletkenliği hem elektrik alanda hem Berry eğriliğinde lineer olan konumun zaman evriminden elde edilmiştir. Bu anomal hız terimi herhangi bir $d+1$ boyutta mevcuttur. \\ Ayrıca, $2+1$ ve $4+1$ boyutta Chern-Simons kuramı ve bir boyut indirgeme yöntemi ile topolojik yalıtkanların alan kuramsal bir incelemesi sunulmuştur. Chern-Simons eylemleri, dış ayar alanları içeren Dirac eylemlerinin etkin alan kuramları olarak ortaya çıkar. Etkin alan kuramı, ilgili yol entegralinde fermiyon serbestlik dereceleri entegre edilerek elde edilir. Öncellikle, $2+1$ boyutta zaman tersinme simetrisi içermeyen kuantum Hall olayının topolojik alan kuramı incelenmiştir. $2+1$ boyutlu zaman tersinmesi simetrisine sahip bir topolojik yalıtkanın etkin alan kuramı $2+1$ boyutlu Chern-Simons kuramı ile verilmiştir. $2+1$ boyutlu Chern-Simons kuramı birinci Chern sayısı ile orantılıdır ve $2+1$ boyutlu Chern-Simons eyleminden elde edilen akım ifadesinde birinci Chern sayısı yer alır. Boyutsal indirgeme yöntemi kullanılarak ve yük kutuplanması açıkca elde edilerek $2+1$ boyutlu Chern-Simons kuramından elde edilen $1+1$ boyutlu bir kuram sunulmuştur. Daha sonra temel topolojik yalıtkanı betimlediği gösterilen $4+1$ boyutlu Chern-Simons kuramı incelenmiştir. $4+1$ boyutlu kütle benzeri terim içeren Dirac kuramının Foldy-Wouthuysen dönüşümü kullanılarak elde edilen Berry ayar alanı ve ilgili Berry eğriliğinin hesabı ayrıntılı olarak sunulmuştur. Bu Berry ayar alanı Abelyen olmayan bir ayar alanıdır. İlgili Berry eğriliği kullanılarak ikinci Chern sayısı hesaplanmıştır. $4+1$ boyutlu zaman tersinmesi simetrisine sahip bir topolojik yalıtkanın etkin alan kuramı $4+1$ boyutlu Chern-Simons kuramı ile verilmiştir. $4+1$ boyutlu Chern-Simons kuramının katsayısı ikinci Chern sayısı ile orantılıdır ve $4+1$ boyutlu Chern-Simons eyleminden elde edilen akım ifadesinde ikinci Chern sayısı yer alır. Bu etkin alan kuramından boyut indirgeme yöntemi kullanılarak $3+1$ ve $2+1$ boyutlu kuramlar elde edilmiştir. Grafendeki kuantum spin Hall olayından esinlenerek, $3+1$ boyutta yitimsiz spin Hall akımına yol açan, zaman tersinme simetrisine sahip kuramsal bir topolojik yalıtkan modeli öne sürülmüştür. $2+1$ boyutlu indirgenmiş eylemde yer alan ayar alanlarının açık formu elde edilmiştir. Modelin zaman tersinme simetrisi açıkca gösterilmiştir. Sunulan ayrıntılı çıkarımlar topolojik yalıtkanların $\mathbb{Z}_2$ sınıflandırılmasını takip edilebilir bir şekilde tartışılmasını sağlamaktadır. Bu bölümde sunulan yaklaşımın Foldy-Wouthuysen dönüşümünün pertürbatif olarak geçerli olduğu etkileşim içeren Dirac sistemlerine de genelleştirilmesi prensipte mümkündür.

Dirac systems in terms the of Berry gauge fields and the effective field theory of a time-reversal invariant topological insulator are investigated. Dirac systems or Dirac-like systems are non-relativistic systems, e.g. condensed matter systems, where the description of the physical system is given by either the massive or massless Dirac Hamiltonian. The Dirac systems investigated in this thesis are the time-reversal invariant topological insulators. A topological insulator is a bulk insulator with conducting edge states characterized by a topological number. The first theoretical model of the time-reversal invariant topological insulators is the Kane-Mele model of graphene where the intrinsic spin-orbit interaction and time-reversal symmetry is predicted to cause a quantized spin Hall current at the edges , leading to a quantized spin Hall conductivity given by the the topological Chern number. \\ As the theoretical background, the explicit derivation of $2+1$ dimensional massless Dirac Hamiltonian on graphene is given. The Berry gauge field and the corresponding Berry curvature are defined for massive free Dirac Hamiltonian in arbitrary dimensions employing the Foldy-Wouthuysen transformation of the Dirac Hamiltonian. The definitions of the first and second Chern numbers in terms of Berry curvature are given. \\ In the first part of the thesis, a semiclassical formulation of the quantum spin Hall effect for physical systems satisfying Dirac-like equation is introduced. Quantum spin Hall effect is essentially a phenomenon in two space dimensions. In the semiclassical formulation adopted in the thesis, the position and momenta are classical phase space variables, and spin is not considered as a dynamical degree of freedom. The derivation of the matrix-valued one-form lying at the heart of the semiclassical formulation adopted is made explictly using a wave-packet constructed from the positive energy eigenstates of free Dirac equation. Defining the symplectic two-form and employing Liouville equation, the semiclassical matrix-valued equations of motion are obtained. The phase space measure, $\tilde{w}_{1/2},$ and time evolutions of phase space variables, $\dot{\tilde x}_i\tilde{w}_{1/2}$ and $\dot{\tilde p}_i\tilde{w}_{1/2}$, are obtained in terms of the phase space variables. As an introductory example, the formalism is displayed through the anamolous Hall effect. The anamolous Hall conductivity is established from the term linear in the electric field and the Berry curvature in $\dot{\tilde x}_i\tilde{w}_{1/2}.$ The semiclassical formulation adopted is then illustrated within the Kane-Mele model of graphene in the absence and in the presence of the Rashba spin-orbit coupling term. The spin Hall current is defined with the aid of the equations for the time evolutions of phase space variables in terms of phase space variables. The spin Hall conductivity is established from the term linear in the elctric field and the Berry curvature in $\dot{\tilde x}_i\tilde{w}_{1/2}.$ It is shown that if one adopts the correct definition of the spin current in two space dimensions, the essential part of the spin Hall conductivity is always given by the spin Chern number whether the spin is conserved or not at the quantum level. In the absence of Rashba spin-orbit coupling, the third component of spin is conserved, and the definition of the spin Hall current is straightforward. In the presence of Rashba spin-orbit coupling, the third component of spin is not conserved so that a suitable base of spin eigenstates need to be employed to define spin Hall current. The anomalous velocity term survives in any $d+1$ spacetime dimension, since independent of the spacetime dimension and the origin of the Berry curvature in the time evolution of the coordinates there is always a term which is linear in both electric field and the Berry field strength. In the basis where a certain component of spin is diagonal this term will be diagonal. \\ In the second part of the thesis, a field theoretic investigation of topological insulators in $2+1$ and $4+1$ dimensions is presented using Chern-Simons theory and a method of dimensional reduction. Chern-Simons actions emerge as the effective field theories from the actions describing Dirac fermions in the presence of external gauge fields. A time-reversal invariant topological insulator model in $2+1$ dimensions is discussed and by means of a dimensional reduction the $1+1$ dimensional descendant is presented. The field strength of the Berry gauge field corresponding to the $4+1$ dimensional Dirac theory is explicitly derived through the Foldy-Wouthuysen transformation. Acquainted with it, the second Chern number is calculated for specific choices of the integration domain. The Foldy-Wouthuysen transformation which diagonalizes the Dirac Hamiltonian is proven to be a powerful tool to perform calculations in the effective field theory of the $4+1$ dimensional time-reversal invariant topological insulator. A method is proposed to obtain $3+1$ and $2+1$ dimensional descendants of the effective field theory of the $4+1$ dimensional time reversal invariant topological insulator. Inspired by the spin Hall effect in graphene, a hypothetical model of the time reversal invariant spin Hall insulator leading to a dissipationless spin current in $3+1$ dimensions is proposed. In terms of the explicit constructions presented in this thesis, one can discuss $\mathbb{Z}_2$ topological classification of TRI insulators in a tractable fashion. In principle, the approach presented can be generalized to interacting Dirac particles where the related Foldy-Wouthuysen transformation at least perturbatively exists.